Klasična vjerovatnoća

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuPonavljanje i proširenje ranije uvedenih tema. U 8. razredu obrađuješ koordinate i funkcije te osnove podataka i vjerovatnoće.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: primijeniti formulu klasične vjerovatnoće na raznovrsne primjere; izračunati vjerovatnoću suprotnog događaja; riješiti zadatke s kuglicama, kartama i drugim svakodnevnim situacijama.

1. Podsjetnik na formulu

P(A) = broj povoljnih ishoda / broj mogućih ishoda

Ovaj omjer vrijedi kada su svi elementarni ishodi jednako vjerovatni. U ovoj lekciji vježbamo primjenu ove formule na različite situacije — ključ je uvijek pažljivo prebrojati i povoljne i moguće ishode.

2. Glavni primjer: kuglice u kutiji

Primjer: U kutiji se nalazi 4 crvene, 3 plave i 2 zelene kuglice (ukupno 9 kuglica). Izvlačimo jednu kuglicu nasumično. Kolika je vjerovatnoća da je crvena? A da nije zelena?
Ukupno mogućih ishoda: 4 + 3 + 2 = 9.
P(crvena) = 4/9.
P(nije zelena) = povoljni (crvena ili plava) = 4 + 3 = 7 ⇒ P = 7/9.

3. Vjerovatnoća suprotnog događaja

Događaj „A se NE desi" zove se suprotan događaj događaju A. Njihove vjerovatnoće uvijek daju zbir 1:

P(A) + P(ne A) = 1 ⇒ P(ne A) = 1 − P(A)

Ovo je koristan trik: ako ti je lakše izračunati vjerovatnoću da se nešto NE desi, izračunaj to pa oduzmi od 1.

Primjer: Iz kutije sa 4 crvene, 3 plave i 2 zelene kuglice izvlačimo jednu. Kolika je vjerovatnoća da NIJE zelena, pomoću suprotnog događaja?
P(zelena) = 2/9. P(nije zelena) = 1 − 2/9 = 7/9. Isti odgovor kao prije — provjereno!

Primjer iz razreda: Razred bira jednog učenika da predstavlja odjeljenje na takmičenju. U razredu ima 12 dječaka i 16 djevojčica (ukupno 28 učenika). Nastavnica izvlači ceduljicu sa imenom nasumično. Kolika je vjerovatnoća da bude izvučen dječak? A djevojčica?
Ukupno mogućih ishoda: 12 + 16 = 28.
P(dječak) = 12/28 = 3/7 (skraćeno sa 4).
P(djevojčica) = 16/28 = 4/7.
Provjera suprotnim događajem: P(dječak) + P(djevojčica) = 3/7 + 4/7 = 7/7 = 1 ✓ — tačno, jer je sigurno da će biti izvučen ili dječak ili djevojčica.

4. Isprobaj sam: kutija s kuglicama

🔴🔵🟢 Kutija s kuglicama

Upiši broj kuglica svake boje i izračunaj vjerovatnoću izvlačenja određene boje. Dugme „Izvuci kuglicu" simulira stvarno izvlačenje — jedna kuglica zatreperi kao da je upravo izvučena.

Crvenih Plavih Zelenih

5. Rješenje korak po korak

U špilu od 52 karte, kolika je vjerovatnoća da izvučena karta bude herc (jedna od 4 boje, 13 karata po boji)?

N=52Standardni špil ima 52 karte; svaka je jednako vjerovatna.

m=13Herc karata ima 13, po jedna svake vrijednosti.

P(herc)=1352Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

P(herc)=14Brojnik i imenilac podijeli s 13.

P(herc)=25%Špil ima četiri jednako velike boje pa je četvrtina očekivana.

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno sabrati sve kategorije za ukupan broj: broj mogućih ishoda je zbir SVIH kuglica/karata, ne samo jedne boje.
Neskraćen razlomak: uvijek pokušaj skratiti razlomak do najjednostavnijeg oblika.
Zaboravljeno da P(A) + P(ne A) = 1: ovo je odličan način da provjeriš svoj račun.
Brkanje "ili" i "i" u zadatku: "crvena ili plava" znači SABIRAŠ povoljne ishode, ne množiš.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. U kutiji je 4 crvene, 3 plave i 2 zelene kuglice. Kolika je P(plava)?

2. Ako je P(zelena) = 2/9, kolika je P(nije zelena)?

3. U špilu od 52 karte, kolika je vjerovatnoća da izvučena karta bude herc?

4. Kutija ima samo crvene kuglice (10 komada). Kolika je P(crvena)?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Jednako vjerovatni ishodi — tri riješena primjera

Primjer 1: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 2 crvenih i 3 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=2 + 3 = 5Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=2Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 25 = 25Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Primjer 2: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 3 crvenih i 5 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=3 + 5 = 8Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=3Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 38 = 38Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Primjer 3: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 4 crvenih i 6 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=4 + 6 = 10Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=4Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 410 = 25Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Suprotni događaj — tri riješena primjera

Primjer 1: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 25. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=25Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=55 − 25 = 35Oduzmi razlomke istog imenioca.

25 + 35=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

Primjer 2: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 38. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=38Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=88 − 38 = 58Oduzmi razlomke istog imenioca.

38 + 58=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

Primjer 3: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 410. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=410Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=1010 − 410 = 35Oduzmi razlomke istog imenioca.

410 + 610=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.