Srednja vrijednost i medijana

Pokreni prezentaciju →

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: izračunati aritmetičku sredinu (prosjek) skupa podataka; pronaći medijanu skupa podataka, za neparan i paran broj podataka; objasniti razliku između sredine i medijane.

1. Aritmetička sredina

Aritmetička sredina (prosjek) skupa brojeva dobije se tako što saberemo sve vrijednosti i podijelimo sa njihovim brojem:

sredina = (zbir svih vrijednosti) / (broj vrijednosti)

2. Medijana

Medijana je vrijednost koja se nalazi tačno na sredini kad podatke poređaš po veličini (od najmanjeg ka najvećem):

Ako je broj podataka neparan, medijana je tačno srednji podatak.
Ako je broj podataka paran, medijana je aritmetička sredina dva srednja podatka.

💡 Zašto postoje obje mjere?Sredina je osjetljiva na vrlo velike ili vrlo male vrijednosti (npr. jedna ekstremna ocjena može „pomjeriti" prosjek), dok je medijana otpornija na takve izuzetke.

3. Glavni primjer: ocjene iz matematike

Primjer: Učenik je dobio ocjene: 4, 5, 3, 5, 4, 5, 2 (sedam ocjena). Izračunaj sredinu i medijanu.
Sredina: zbir = 4+5+3+5+4+5+2 = 28. Broj ocjena = 7. Sredina = 28/7 = 4.
Medijana: poređaj: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5 — sedam brojeva, srednji (četvrti po redu) je 4.
Obje mjere daju 4. To samo po sebi ne dokazuje ravnomjernu raspodjelu: pogledaj i pojedinačne vrijednosti.

Primjer iz života — lajkovi na Instagramu: Tvojih posljednjih 5 objava dobilo je ovoliko lajkova: 120, 95, 300, 110, 125. Izračunaj sredinu i medijanu.
Sredina: zbir = 120+95+300+110+125 = 750. Broj objava = 5. Sredina = 750/5 = 150 lajkova.
Medijana: poređaj: 95, 110, 120, 125, 300 — pet brojeva, srednji (treći) je 120.
Primijeti: sredina (150) je dosta veća od medijane (120)! Zašto? Jedna objava sa 300 lajkova je ekstremna vrijednost — ona "vuče" sredinu naviše. Medijana se ovdje ne mijenja zbog povećanja najvećeg podatka, pa bolje pokazuje "tipičnu" objavu.

4. Isprobaj sam: kalkulator sredine i medijane

🧮 Kalkulator srednje vrijednosti i medijane

Upiši brojeve odvojene zarezom (npr. 4, 5, 3, 5, 4) i izračunaj sredinu i medijanu, ili klikni dugme za nasumične podatke i gledaj kako se stupci i linija sredine mijenjaju.

Podaci

5. Rješenje korak po korak (parni broj podataka)

Dnevne temperature u sedmici (u °C): 2, 5, 8, 3 (samo 4 izmjerena dana). Izračunajmo sredinu i medijanu.

S=2+5+8+3 = 18 °CSaberi četiri izmjerene temperature.

x̄=184 = 4,5 °CZbir podijeli brojem mjerenja.

2, 3, 5, 8 °CZa medijanu najprije poredaj podatke.

n=4 ⇒ srednje vrijednosti: 3 i 5 °CParan broj mjerenja traži dvije srednje vrijednosti.

Me=3+52 = 4 °CMedijana 4 °C i sredina 4,5 °C ne moraju biti jednake.

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno poređati podatke prije medijane: medijana se traži isključivo iz poređanih (sortiranih) podataka.
Pogrešno uzet "srednji" kod parnog broja podataka: kod parnog broja uzimaš DVA srednja podatka i njihov prosjek, ne samo jedan.
Dijeljenje zbira pogrešnim brojem: dijeli se sa BROJEM PODATAKA, ne sa nekim drugim brojem (npr. brojem različitih vrijednosti).
Miješanje sredine i medijane: to su dvije različite mjere i često daju različite rezultate — nemoj ih poistovjećivati.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Kako se računa aritmetička sredina?

2. Skup podataka: 2, 3, 5, 8 (poređano). Kolika je medijana?

3. Ocjene: 4, 5, 3, 5, 4, 5, 2. Kolika je aritmetička sredina?

4. Zašto je medijana korisna uz sredinu?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Aritmetička sredina — tri riješena primjera

Primjer 1: Aritmetička sredina

Izračunaj aritmetičku sredinu podataka: 1, 2, 2, 3, 7.

n=5Prebroj sve podatke, uključujući ponavljanja.

S=1 + 2 + 2 + 3 + 7 = 15Saberi sve vrijednosti.

x̄=Sn = 155 = 3,0Podijeli zbir brojem podataka.

1 ≤ 3,0 ≤ 7 ✓Sredina mora biti između najmanje i najveće vrijednosti.

Primjer 2: Aritmetička sredina

Izračunaj aritmetičku sredinu podataka: 2, 3, 3, 4, 8.

n=5Prebroj sve podatke, uključujući ponavljanja.

S=2 + 3 + 3 + 4 + 8 = 20Saberi sve vrijednosti.

x̄=Sn = 205 = 4,0Podijeli zbir brojem podataka.

2 ≤ 4,0 ≤ 8 ✓Sredina mora biti između najmanje i najveće vrijednosti.

Primjer 3: Aritmetička sredina

Izračunaj aritmetičku sredinu podataka: 3, 4, 4, 5, 9.

n=5Prebroj sve podatke, uključujući ponavljanja.

S=3 + 4 + 4 + 5 + 9 = 25Saberi sve vrijednosti.

x̄=Sn = 255 = 5,0Podijeli zbir brojem podataka.

3 ≤ 5,0 ≤ 9 ✓Sredina mora biti između najmanje i najveće vrijednosti.

Medijana neparnog skupa — tri riješena primjera

Primjer 1: Medijana neparnog skupa

Odredi medijanu podataka: 3, 1, 7, 2, 2.

1, 2, 2, 3, 7Poredaj podatke od najmanjeg do najvećeg.

n=5 ⇒ srednje mjesto = 5 + 12 = 3Kod neparnog broja podataka izdvoji jedan srednji.

Me=2Medijana je vrijednost na trećem mjestu.

Primjer 2: Medijana neparnog skupa

Odredi medijanu podataka: 4, 2, 8, 3, 3.

2, 3, 3, 4, 8Poredaj podatke od najmanjeg do najvećeg.

n=5 ⇒ srednje mjesto = 5 + 12 = 3Kod neparnog broja podataka izdvoji jedan srednji.

Me=3Medijana je vrijednost na trećem mjestu.

Primjer 3: Medijana neparnog skupa

Odredi medijanu podataka: 5, 3, 9, 4, 4.

3, 4, 4, 5, 9Poredaj podatke od najmanjeg do najvećeg.

n=5 ⇒ srednje mjesto = 5 + 12 = 3Kod neparnog broja podataka izdvoji jedan srednji.

Me=4Medijana je vrijednost na trećem mjestu.

Medijana parnog skupa — tri riješena primjera

Primjer 1: Medijana parnog skupa

Odredi medijanu podataka 1, 3, 5, 7.

1, 3, 5, 7Podaci su već poredani.

n=4 ⇒ srednja mjesta: 2 i 3Za paran broj podataka postoje dvije srednje vrijednosti.

Me=3 + 52Uzmi aritmetičku sredinu tih vrijednosti.

Me=4Medijana ne mora biti član skupa.

Primjer 2: Medijana parnog skupa

Odredi medijanu podataka 2, 4, 6, 8.

2, 4, 6, 8Podaci su već poredani.

n=4 ⇒ srednja mjesta: 2 i 3Za paran broj podataka postoje dvije srednje vrijednosti.

Me=4 + 62Uzmi aritmetičku sredinu tih vrijednosti.

Me=5Medijana ne mora biti član skupa.

Primjer 3: Medijana parnog skupa

Odredi medijanu podataka 3, 5, 7, 9.

3, 5, 7, 9Podaci su već poredani.

n=4 ⇒ srednja mjesta: 2 i 3Za paran broj podataka postoje dvije srednje vrijednosti.

Me=5 + 72Uzmi aritmetičku sredinu tih vrijednosti.

Me=6Medijana ne mora biti član skupa.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.