Nejednačine sa dvije nepoznate

🎯 Cilj lekcije

Poveži linearnu nejednačinu s poluravni.
Razlikuj uključenu i isključenu graničnu pravu.
Odredi presjek rješenja i provjeri odabrane tačke.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Nejednačina x+y≤6 opisuje poluravan. Njena granična prava je x+y=6. Sistem traži dio ravni u kojem istovremeno vrijede svi uslovi.

3. Pravila i veze

Za ≤ ili ≥ granična prava pripada rješenju i crta se punom linijom. Za < ili > ne pripada, pa je linija isprekidana. Izaberi probnu tačku izvan prave i uvrsti je da odrediš stranu. Rješenje sistema je presjek poluravni.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

2+3=5≤6; tačka je u zelenom trouglu.

5. Rješenje korak po korak

x+y ≤ 6; x ≥ 0; y ≥ 0Granične prave su x+y = 6 i koordinatne ose.

A(6,0), B(0,6)Nacrtaj kosu pravu kroz njene presjeke s osama. Sve granice su pune.

(0,0): 0 ≤ 6 ✓Izaberi stranu kose prave koja sadrži početak, unutar prvog kvadranta.

O(0,0), A(6,0), B(0,6)Rješenje je zatvoreno trougaono područje. (2,3) pripada jer 5 ≤ 6, a (4,4) ne pripada jer 8 > 6.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Poluravan nejednačine — tri riješena primjera

Primjer 1: Poluravan nejednačine

Prikaži rješenja x + y ≤ 2. Odredi pripada li (0, 0) skupu.

x+y=2: A(2,0), B(0,2)Najprije nacrtaj graničnu pravu.

≤ ⇒ puna granična pravaZnak uključuje jednakost, pa granica pripada skupu.

(0,0): 0+0=0 ≤ 2Provjeri tačku koja ne leži na granici.

oboji stranu koja sadrži (0,0)Rješenje je poluravan zajedno s graničnom pravom.

Primjer 2: Poluravan nejednačine

Prikaži rješenja x + y ≤ 3. Odredi pripada li (0, 0) skupu.

x+y=3: A(3,0), B(0,3)Najprije nacrtaj graničnu pravu.

≤ ⇒ puna granična pravaZnak uključuje jednakost, pa granica pripada skupu.

(0,0): 0+0=0 ≤ 3Provjeri tačku koja ne leži na granici.

oboji stranu koja sadrži (0,0)Rješenje je poluravan zajedno s graničnom pravom.

Primjer 3: Poluravan nejednačine

Prikaži rješenja x + y ≤ 4. Odredi pripada li (0, 0) skupu.

x+y=4: A(4,0), B(0,4)Najprije nacrtaj graničnu pravu.

≤ ⇒ puna granična pravaZnak uključuje jednakost, pa granica pripada skupu.

(0,0): 0+0=0 ≤ 4Provjeri tačku koja ne leži na granici.

oboji stranu koja sadrži (0,0)Rješenje je poluravan zajedno s graničnom pravom.

Presjek poluravni — tri riješena primjera

Primjer 1: Presjek poluravni

Prikaži x ≥ 0, y ≥ 0 i x + y ≤ 2. Provjeri tačku (1, 1).

x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ prvi kvadrant s osamaPrve dvije nejednačine ograničavaju koordinate.

x+y=2: A(2,0), B(0,2)Nacrtaj i treću granicu.

O(0,0), A(2,0), B(0,2)Rješenje je zatvoreno trougaono područje OAB.

(1,1): 1≥0, 1≥0, 2≤2Tačka pripada samo ako zadovoljava sva tri uslova.

(1,1) pripada skupu rješenjaZaključak vrijedi za ovaj zadani sistem.

Primjer 2: Presjek poluravni

Prikaži x ≥ 0, y ≥ 0 i x + y ≤ 3. Provjeri tačku (1, 1).

x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ prvi kvadrant s osamaPrve dvije nejednačine ograničavaju koordinate.

x+y=3: A(3,0), B(0,3)Nacrtaj i treću granicu.

O(0,0), A(3,0), B(0,3)Rješenje je zatvoreno trougaono područje OAB.

(1,1): 1≥0, 1≥0, 2≤3Tačka pripada samo ako zadovoljava sva tri uslova.

(1,1) pripada skupu rješenjaZaključak vrijedi za ovaj zadani sistem.

Primjer 3: Presjek poluravni

Prikaži x ≥ 0, y ≥ 0 i x + y ≤ 4. Provjeri tačku (1, 1).

x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ prvi kvadrant s osamaPrve dvije nejednačine ograničavaju koordinate.

x+y=4: A(4,0), B(0,4)Nacrtaj i treću granicu.

O(0,0), A(4,0), B(0,4)Rješenje je zatvoreno trougaono područje OAB.

(1,1): 1≥0, 1≥0, 2≤4Tačka pripada samo ako zadovoljava sva tri uslova.

(1,1) pripada skupu rješenjaZaključak vrijedi za ovaj zadani sistem.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Za izlet kupuješ x sokova po 2 KM i y sendviča po 3 KM, uz najviše 12 KM. Model je 2x+3y≤12, x≥0,y≥0. Granica prolazi kroz (6,0),(0,4). Tačka (3,2) troši 12 KM i dozvoljena je. U stvarnom zadatku biraj samo cjelobrojne tačke.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Prikaži sistem x+y<4, x≥0,y≥0. Pripada li(2,2)?

Provjeri rješenje i postupak

Dio prvog kvadranta ispod isprekidane prave kroz(4,0),(0,4). Tačka(2,2) je na isključenoj granici i ne pripada.

Zadatak 2. Provjeri(1,2),(3,3) za 2x+y≤5 i x−y≤0.

Provjeri rješenje i postupak

(1,2):4≤5 i−1≤0, pripada. (3,3):9≤5 nije tačno, ne pripada.

Zadatak 3. Nacrtaj x≥2 i x<1. Šta je presjek?

Provjeri rješenje i postupak

Poluravni su razdvojene i presjek je prazan. Sistem nema rješenja.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

Prava je granica, a poluravan skup rješenja.
Tačka na graničnoj pravoj ne određuje koju stranu treba obojiti.
Sistem znači svi uslovi istovremeno, a ne bilo koji jedan.

8. Provjeri znanje

1. Da li (2,3) zadovoljava x+y≤6?

2. Za x+y<6 granica je

3. (4,4) u x+y≤6 je

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 40. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.