Algebarski izrazi i operacije s polinomima

🎯 Cilj lekcije

Razlikuj konstantu, promjenljivu i slične članove.
Saberi, oduzmi i pomnoži polinome.
Izračunaj brojevnu vrijednost izraza i provjeri preoblikovanje.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Konstanta ima stalnu vrijednost, a promjenljiva može predstavljati različite brojeve. Polinom je zbir članova u kojima promjenljive imaju nenegativne cjelobrojne izložioce.

3. Pravila i veze

Slični članovi imaju isti promjenljivi dio: 3x² i −5x² jesu slični; 3x² i 3x nisu. Sabiraj njihove koeficijente. Pri oduzimanju polinoma promijeni znak svakog člana druge zagrade. Pri množenju svaki član prve zagrade množi svakim članom druge. Vrijednost izraza dobijaš uvrštavanjem brojeva uz poštivanje redoslijeda operacija.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

Površina(x+2)²=x²+4x+4=16. Četiri dijela imaju površine 4, 4, 4 i 4.

5. Rješenje korak po korak

2x(x−4)=2x²−8xPrvo pomnoži član 2x sa svakim članom druge zagrade.

3·x + 3·(−4)=3x−12Zatim oba člana druge zagrade pomnoži sa 3.

2x²−8x+3x−12=2x²−5x−12Saberi slične članove.

x=2: 7·(−2) = −14; 8−10−12 = −14 ✓Provjera jednom vrijednošću može otkriti grešku, ali sama ne dokazuje identitet.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Sabiranje polinoma — tri riješena primjera

Primjer 1: Sabiranje polinoma

Saberi (2x² + 3x + 1) + (3x² − x + 2).

2x² + 3x + 1 + 3x² − x + 2Ukloni zagrade kojima prethodi plus.

(2+3)x² + (3−1)x + (1+2)Grupiši samo članove iste vrste.

5x² + 2x + 3Saberi koeficijente.

Primjer 2: Sabiranje polinoma

Saberi (3x² + 4x + 1) + (4x² − x + 3).

3x² + 4x + 1 + 4x² − x + 3Ukloni zagrade kojima prethodi plus.

(3+4)x² + (4−1)x + (1+3)Grupiši samo članove iste vrste.

7x² + 3x + 4Saberi koeficijente.

Primjer 3: Sabiranje polinoma

Saberi (4x² + 5x + 1) + (5x² − x + 4).

4x² + 5x + 1 + 5x² − x + 4Ukloni zagrade kojima prethodi plus.

(4+5)x² + (5−1)x + (1+4)Grupiši samo članove iste vrste.

9x² + 4x + 5Saberi koeficijente.

Oduzimanje polinoma — tri riješena primjera

Primjer 1: Oduzimanje polinoma

Oduzmi (2x² + 3x + 1) − (x² − 2x + 3).

2x² + 3x + 1 − x² + 2x − 3Minus ispred zagrade mijenja svaki znak u njoj.

(2−1)x² + (3+2)x + (1−3)Grupiši iste stepene.

1x² + 5x − 2Sredi koeficijente.

Primjer 2: Oduzimanje polinoma

Oduzmi (3x² + 4x + 1) − (x² − 3x + 4).

3x² + 4x + 1 − x² + 3x − 4Minus ispred zagrade mijenja svaki znak u njoj.

(3−1)x² + (4+3)x + (1−4)Grupiši iste stepene.

2x² + 7x − 3Sredi koeficijente.

Primjer 3: Oduzimanje polinoma

Oduzmi (4x² + 5x + 1) − (x² − 4x + 5).

4x² + 5x + 1 − x² + 4x − 5Minus ispred zagrade mijenja svaki znak u njoj.

(4−1)x² + (5+4)x + (1−5)Grupiši iste stepene.

3x² + 9x − 4Sredi koeficijente.

Množenje polinoma — tri riješena primjera

Primjer 1: Množenje polinoma

Pomnoži (x + 2)(x + 3).

x·x + x·3 + 2·x + 2·3Svaki član prve zagrade pomnoži svakim članom druge.

x² + 3x + 2x + 6Izračunaj četiri proizvoda.

x² + 5x + 6Saberi slične članove.

Primjer 2: Množenje polinoma

Pomnoži (x + 3)(x + 4).

x·x + x·4 + 3·x + 3·4Svaki član prve zagrade pomnoži svakim članom druge.

x² + 4x + 3x + 12Izračunaj četiri proizvoda.

x² + 7x + 12Saberi slične članove.

Primjer 3: Množenje polinoma

Pomnoži (x + 4)(x + 5).

x·x + x·5 + 4·x + 4·5Svaki član prve zagrade pomnoži svakim članom druge.

x² + 5x + 4x + 20Izračunaj četiri proizvoda.

x² + 9x + 20Saberi slične članove.

Stepeni pri transformaciji polinoma: korak po korak

Za nenegativne cijele izložioce m,n vrijedi xᵐ·xⁿ=xᵐ⁺ⁿ i (xᵐ)ⁿ=xᵐⁿ. Za n=0 tražimo x≠0, a 0⁰ ovdje ne definišemo. Pri dijeljenju ne smiješ dijeliti nulom. Koeficijente računaš odvojeno od stepena promjenljive.

Primjer 1: Stepeni pri transformaciji polinoma

Pojednostavi (2 x²)(3 x³).

(2x²)(3x³) = (2·3)(x²·x³)Grupiši brojeve i iste osnove.

= 6x²⁺³ = 6x⁵Pri množenju iste osnove saberi izložioce.

x=−1: (2·1)(3·(−1))=−6=6·(−1)⁵ ✓Provjera negativnim brojem pomaže uočiti pogrešnu parnost.

Primjer 2: Stepeni pri transformaciji polinoma

Pojednostavi (3 a²b)².

(3a²b)² = 3²·(a²)²·b²Stepen proizvoda primijeni na svaki faktor.

= 9a⁴b²Kod stepena stepena množi izložioce: 2·2=4.

a=2,b=1: (3·4·1)²=144=9·16·1 ✓Brojčana provjera može otkriti grešku; identitet opravdava pravilo.

Primjer 3: Stepeni pri transformaciji polinoma

Pojednostavi 12 x⁵ : 3 x² i navedi uslov.

x ≠ 0Početni djelilac 3 x² mora biti nenulti.

12x⁵ : 3x² = (12:3)x⁵⁻²Podijeli koeficijente, a izložioce iste osnove oduzmi.

= 4x³, x ≠ 0Skraćeni izraz postoji i za 0, ali početni količnik ne postoji.

Samostalno: Pojednostavi (−2a³)² i 15x⁴ : 5x.

Provjeri postupak

(−2a³)²=4a⁶ za svaki realni a. Za15x⁴:5x uslovje x≠0, a rezultat3x³. Uslov početnog djelioca ostaje.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Pravougaonik stranica x+3 i x+2 ima površinu x²+5x+6. Za x=4 dobijamo 7·6=42 i 16+20+6=42. Za geometrijski model zahtijevamo x+2>0 i x+3>0. Pravila stepena: xᵐxⁿ=xᵐ⁺ⁿ i (xᵐ)ⁿ=xᵐⁿ pomažu pri množenju članova.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Izračunaj(3x²−2x+1)−(x²+4x−5).

Provjeri rješenje i postupak

2x²−6x+6. Minus je promijenio sva tri znaka druge zagrade.

Zadatak 2. Pomnoži(x−2)(2x+5).

Provjeri rješenje i postupak

2x²+5x−4x−10=2x²+x−10. Za x=3 obje forme daju 11.

Zadatak 3. Pojednostavi 2x³·3x² i izračunaj za x=−1.

Provjeri rješenje i postupak

6x⁵; za x=−1 vrijednost je −6. Prvobitni proizvod(−2)·3=−6.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

x²+x ne sabiramo u 2x³.
−(x−2)=−x+2.
Stepen proizvoda i zbir stepena nisu isto.

8. Provjeri znanje

1. 3x²−5x² je

2. (x+2)(x+3) je

3. Za x=2, x²+3x je

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 41. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.