5.3 · Lekcija 5

Jednačine i nejednačine

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš: prepoznati jednačinu i nejednačinu • pronaći nepoznati broj u jednačini koristeći obrnutu operaciju • provjeriti rješenje • razumjeti šta znači rješenje nejednačine.

Prije početkaPonovi vezu sabiranja i oduzimanja te skup N₀.

1. Šta je jednačina?

Jednačina je jednakost u kojoj se nalazi nepoznati broj, obično obilježen slovom x (ili praznim kvadratićem □). Na primjer: x + 15 = 40. Riješiti jednačinu znači pronaći vrijednost nepoznatog broja za koju jednakost vrijedi.

💡 Obrnuta operacija Da pronađemo x, koristimo obrnutu operaciju: ako je x sabran sa brojem, oduzimamo taj broj s obje strane; ako se od x oduzima poznati broj, sabiramo. Ako je x umanjilac, kao u 40 − x = 15, računamo x = 40 − 15 = 25. Jednačina ostaje "u ravnoteži" ako istu stvar uradimo na obje strane!

2. Šta je nejednačina?

Nejednačina je sličan zapis, ali umjesto znaka jednakosti (=) koristi znakove <, >, ≤, ≥. Na primjer: x + 15 < 40 znači da tražimo sve brojeve x za koje je zbir manji od 40. Nejednačina obično ima više rješenja, ne samo jedno.

3. Isprobaj sam: vaga u ravnoteži

⚖️ Pomjeri x i posmatraj vagu

Lijeva strana je x + 15, desna strana je 40. Pomjeraj x i gledaj kada se vaga izravna (jednačina) i kada je nagnuta (nejednačina).

x = 10 Dodajemo broj = 15

4. Riješi jednačinu korak po korak

Zadatak: Riješi jednačinu x − 128 = 356.

od x se oduzima 128.Prepoznaj operaciju:

da poništimo oduzimanje, saberi 128 na obje strane.Primijeni obrnutu operaciju:

x = 356 + 128 = 484.Izračunaj:

484 − 128 = 356. ✅ Rješenje je tačno!Provjeri:

Primjer nejednačine: x + 15 < 40. Tražimo brojeve x za koje je zbir manji od 40. Rješavamo kao jednačinu: x < 40 − 15, odnosno x < 25. Dakle, rješenje su svi brojevi manji od 25 (npr. 0, 1, 2 … 24), a ne samo jedan broj!

Drugi primjer: Faris ima x bombona u kesici. Dobije od druga još 8 bombona i tada ima manje od 20 bombona ukupno. Koliko je najviše bombona Faris mogao imati na početku?
Zapišemo nejednačinu: x + 8 < 20, pa je x < 20 − 8, odnosno x < 12. Dakle, Faris je na početku mogao imati najviše 11 bombona (jer 11 je najveći broj manji od 12).

Vježbaj uz riješene primjere

Prati zapis kao u svesci, red po red. Objašnjenje uz red govori ti zašto taj korak vrijedi. Najprije pokušaj samostalno, pa otkrivaj postupak korak po korak.

Nepoznati sabirak — korak po korak

Primjer 1 · Nepoznati sabirak

Riješi x + 125 = 480.

x + 125=480Prepiši jednačinu.

x=480 − 125Nepoznati sabirak je zbir umanjen za poznati sabirak.

x=355Izračunaj razliku.

355 + 125=480Provjeri u početnoj jednačini.

Primjer 2 · Nepoznati sabirak

Riješi x + 278 = 650.

x + 278=650Prepiši jednačinu.

x=650 − 278Nepoznati sabirak je zbir umanjen za poznati sabirak.

x=372Izračunaj razliku.

372 + 278=650Provjeri u početnoj jednačini.

Primjer 3 · Nepoznati sabirak

Riješi x + 1065 = 2400.

x + 1065=2400Prepiši jednačinu.

x=2400 − 1065Nepoznati sabirak je zbir umanjen za poznati sabirak.

x=1335Izračunaj razliku.

1335 + 1065=2400Provjeri u početnoj jednačini.

Nepoznati umanjenik — korak po korak

Primjer 1 · Nepoznati umanjenik

Riješi x − 85 = 240.

x − 85=240Prepoznaj nepoznati umanjenik.

x=240 + 85Razlici dodaj umanjilac.

x=325Provjera: 325 − 85 = 240.

Primjer 2 · Nepoznati umanjenik

Riješi x − 178 = 365.

x − 178=365Prepoznaj nepoznati umanjenik.

x=365 + 178Razlici dodaj umanjilac.

x=543Provjera: 543 − 178 = 365.

Primjer 3 · Nepoznati umanjenik

Riješi x − 650 = 1275.

x − 650=1275Prepoznaj nepoznati umanjenik.

x=1275 + 650Razlici dodaj umanjilac.

x=1925Provjera: 1925 − 650 = 1275.

Nepoznati umanjilac — korak po korak

Primjer 1 · Nepoznati umanjilac

Riješi 600 − x = 175.

600 − x=175Nepoznat je umanjilac.

x=600 − 175Od umanjenika oduzmi razliku.

x=425Provjera: 600 − 425 = 175.

Primjer 2 · Nepoznati umanjilac

Riješi 920 − x = 348.

920 − x=348Nepoznat je umanjilac.

x=920 − 348Od umanjenika oduzmi razliku.

x=572Provjera: 920 − 572 = 348.

Primjer 3 · Nepoznati umanjilac

Riješi 1500 − x = 685.

1500 − x=685Nepoznat je umanjilac.

x=1500 − 685Od umanjenika oduzmi razliku.

x=815Provjera: 1500 − 815 = 685.

Nejednačina sa nepoznatim sabirkom — korak po korak

Primjer 1 · Nejednačina sa nepoznatim sabirkom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x + 7 < 12.

x < 12 − 7Od granice za zbir oduzmi poznati sabirak.

x < 5Znak < ne uključuje granični broj.

x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}Provjera: 4 + 7 = 11 < 12, a 5 + 7 = 12.

Primjer 2 · Nejednačina sa nepoznatim sabirkom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x + 12 < 18.

x < 18 − 12Od granice za zbir oduzmi poznati sabirak.

x < 6Znak < ne uključuje granični broj.

x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}Provjera: 5 + 12 = 17 < 18, a 6 + 12 = 18.

Primjer 3 · Nejednačina sa nepoznatim sabirkom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x + 23 < 30.

x < 30 − 23Od granice za zbir oduzmi poznati sabirak.

x < 7Znak < ne uključuje granični broj.

x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}Provjera: 6 + 23 = 29 < 30, a 7 + 23 = 30.

Nejednačina sa nepoznatim umanjenikom — korak po korak

Primjer 1 · Nejednačina sa nepoznatim umanjenikom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x − 3 ≤ 4; oduzimanje mora ostati u N₀.

x ≥ 3Najprije uvaži da razlika ne smije biti negativna.

x ≤ 4 + 3=7Razlika smije biti najviše zadati broj.

x ∈ {3, 4, 5, 6, 7}Provjeri oba kraja: 3 − 3 = 0 i 7 − 3 = 4.

Primjer 2 · Nejednačina sa nepoznatim umanjenikom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x − 8 ≤ 3; oduzimanje mora ostati u N₀.

x ≥ 8Najprije uvaži da razlika ne smije biti negativna.

x ≤ 3 + 8=11Razlika smije biti najviše zadati broj.

x ∈ {8, 9, 10, 11}Provjeri oba kraja: 8 − 8 = 0 i 11 − 8 = 3.

Primjer 3 · Nejednačina sa nepoznatim umanjenikom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x − 12 ≤ 5; oduzimanje mora ostati u N₀.

x ≥ 12Najprije uvaži da razlika ne smije biti negativna.

x ≤ 5 + 12=17Razlika smije biti najviše zadati broj.

x ∈ {12, 13, 14, 15, 16, 17}Provjeri oba kraja: 12 − 12 = 0 i 17 − 12 = 5.

Nejednačina sa nepoznatim umanjiocem — korak po korak

Primjer 1 · Nejednačina sa nepoznatim umanjiocem

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je 10 − x > 6.

x < 10 − 6Veći umanjilac daje manju razliku.

x < 4Granični broj nije uključen.

x ∈ {0, 1, 2, 3}Provjera: 10 − 3 = 7 > 6, a 10 − 4 = 6.

Primjer 2 · Nejednačina sa nepoznatim umanjiocem

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je 15 − x > 10.

x < 15 − 10Veći umanjilac daje manju razliku.

x < 5Granični broj nije uključen.

x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}Provjera: 15 − 4 = 11 > 10, a 15 − 5 = 10.

Primjer 3 · Nejednačina sa nepoznatim umanjiocem

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je 20 − x > 14.

x < 20 − 14Veći umanjilac daje manju razliku.

x < 6Granični broj nije uključen.

x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}Provjera: 20 − 5 = 15 > 14, a 20 − 6 = 14.

⚠️ Česte greške • Šta god uradiš na jednoj strani jednačine, moraš uraditi i na drugoj — inače vaga više nije u ravnoteži.
• Jednačina ima (obično) jedno rješenje, dok nejednačina ima više (ili beskonačno mnogo) rješenja.
• Kod nejednačine pazi na smjer znaka (< ili >) — ne piši slučajno pogrešan znak u rješenju.

Primijeni i objasni postupak

Samostalan zadatak:

Na polici je 30 knjiga. Posuđeno je x knjiga i ostalo ih je 18. Sastavi jednačinu i objasni šta predstavlja x.

Provjeri rješenje i obrazloženje

30 − x = 18. Nepoznat je umanjilac: x = 30 − 18 = 12. Provjera: 30 − 12 = 18. Odgovor: posuđeno je 12 knjiga. Ako bi pisalo da je ostalo više od 18 knjiga, dobili bismo 30 − x > 18, pa x ∈ {0, 1, …, 11}.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na prikaz korak po korak i objasni svaki račun svojim riječima.

🎓 Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Rješenje jednačine x + 15 = 40 je…

2. Koji znak NE pripada nejednačini?

3. Rješenje jednačine x − 128 = 356 je…

4. Koliko rješenja obično ima nejednačina x < 25 (u skupu prirodnih brojeva i nule)?

Svaki pokušaj pomaže ti učiti. Ako odgovor nije tačan, vrati se na model i riješeni postupak, objasni korak koji treba popraviti, pa pokušaj ponovo.

Veza s programomPovezivanje s ključnim sadržajima i predznanjem; status osnovnog programa, obnavljanja ili proširenja označen je na ovoj stranici.Predmetni kurikulum KS, 5. razred, štampana str. 22–23. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.