5.3 · Lekcija 6

Jednačine sa zagradama i skupovi rješenja

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije moći ćeš:

riješiti jednačine s nepoznatim umanjiocem i zagradama.
zapisati i provjeriti sva rješenja nejednačine u N₀.
prevesti kratku priču u jednačinu ili nejednačinu.

Prije početkaPonovi: x + 8 = 20 daje x = 12; x − 8 = 20 daje x = 28. N₀ sadrži 0, 1, 2, 3 i tako dalje.

1. Koji dio računa je nepoznat?

Ako je 35 − x = 12, nepoznat je umanjilac. Pitaj se: „Koliko sam oduzeo od 35 da ostane 12?“ Zato je x = 35 − 12 = 23. Provjera: 35 − 23 = 12.

Uporedi sva četiri jednostavna oblika: x + 7 = 19 daje x = 12; 7 + x = 19 daje isto; x − 7 = 19 daje x = 26; 19 − x = 7 daje x = 12. Položaj x je važan kod oduzimanja.

Kod zagrada prvo pronađi vrijednost cijele zagrade, pa zatim x. U (x + 8) − 5 = 17 zagrada vrijedi 22; zatim x + 8 = 22 i x = 14. U (x − 8) + 5 = 17 zagrada vrijedi 12, pa je x = 20.

2. Nejednačina traži sve odgovarajuće brojeve

Znak ≤ znači „manje ili jednako“, a ≥ „veće ili jednako“. Rješavamo u N₀ i provjeravamo i rubne brojeve.

x + 3 < 8: x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Za ≤ dodajemo i 5.
x + 3 > 8: x ∈ {6, 7, 8, …}. Za ≥ uključujemo i 5.
x − 3 < 4: x ∈ {3, 4, 5, 6}. Brojeve manje od 3 izostavljamo jer x − 3 tada nije u N₀. Za ≤ uključujemo i 7.
x − 3 > 4: x ∈ {8, 9, …}. Za ≥ uključujemo i 7.
9 − x < 4: x ∈ {6, 7, 8, 9}. Provjeri: 9 − 6 = 3 < 4. Za znak > rješenja su {0, 1, 2, 3, 4}.
3 + x < 8 ima ista rješenja kao x + 3 < 8; isto vrijedi za znak >.

3. Istraži model

Provjeri prirodne brojeve i nulu za uslov 9 − x < 4. Zelena tačka označava rješenje. Za x > 9 oduzimanje izlazi iz N₀, pa taj broj nije dozvoljen.

Izaberi x

4. Riješi korak po korak

Zadatak: U kutiji je bilo x bojica. Dodano je 15, a zatim je izdvojeno 8. Ostale su 32 bojice. Koliko ih je bilo?

Prevedi priču: (x + 15) − 8 = 32. Zagrada opisuje stanje poslije dodavanja.Zapiši dvije promjene redom.

Pronađi zagradu: x + 15 = 32 + 8 = 40.Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

Pronađi x: x = 40 − 15 = 25.Nepoznati sabirak nalaziš oduzimanjem.

Provjeri u početnoj jednačini: (25 + 15) − 8 = 40 − 8 = 32. Na početku je bilo 25 bojica.Vrati rješenje u početnu jednačinu.

5. Primijeni znanje

Primjer i zadatak iz života

Najviše ili manje od? Imaš 20 KM i sveska košta 6 KM. Ako poslije kupovine želiš imati barem 9 KM, a x KM potrošiš na olovke, pišeš 20 − 6 − x ≥ 9. Najprije 14 − x ≥ 9. Ako su iznosi x cijeli brojevi maraka, mogućnosti su {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Pet je dozvoljeno jer tada ostaje tačno 9 KM.

Vježbaj i druge znakove u zagradama: (x + 4) + 3 = 15 → x + 4 = 12 → x = 8; (x − 4) − 3 = 15 → x − 4 = 18 → x = 22. Provjeri uvrštavanjem.

Sastavi model samostalno: Na polici je bilo x knjiga. Dodano je 7, a zatim su posuđene 4 knjige. Sada ih je 18. Sastavi jednačinu i odredi x. Zatim sastavi nejednačinu ako na kraju smije biti najviše 18 knjiga. Računaj u N₀.

Provjeri model, postupak i granicu

Jednačina je (x + 7) − 4 = 18. Najprije x + 7 = 18 + 4 = 22, zatim x = 22 − 7 = 15. Provjera: (15 + 7) − 4 = 18. Za najviše 18 pišeš (x + 7) − 4 ≤ 18, pa x + 3 ≤ 18 i x ≤ 15. Rješenja su {0, 1, …, 15}; i granica 15 vrijedi, dok 16 daje 19 knjiga.

6. Objasni zašto

Za x − 5 < 3 učenik je napisao {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Šta treba ispraviti kada sve operacije izvodimo u N₀?

Provjeri

Vrijednosti 0 do 4 daju oduzimanje van N₀. Preostaju {5, 6, 7}. Rubna provjera: 5 − 5 = 0 < 3, a 8 − 5 = 3 nije manje od 3.

7. Česte greške

Vježbaj uz riješene primjere

Prati zapis kao u svesci, red po red. Objašnjenje uz red govori ti zašto taj korak vrijedi. Najprije pokušaj samostalno, pa otkrivaj postupak korak po korak.

Jednačina sa nepoznatim izrazom u zagradi — korak po korak

Primjer 1 · Jednačina sa nepoznatim izrazom u zagradi

Riješi 100 − (x + 15) = 45.

x + 15=100 − 45Cijela zagrada je nepoznati umanjilac.

x + 15=55Izračunaj vrijednost zagrade.

x=55 − 15Pronađi nepoznati sabirak.

x=40Provjera: 100 − (40 + 15) = 45.

Primjer 2 · Jednačina sa nepoznatim izrazom u zagradi

Riješi 240 − (x + 36) = 120.

x + 36=240 − 120Cijela zagrada je nepoznati umanjilac.

x + 36=120Izračunaj vrijednost zagrade.

x=120 − 36Pronađi nepoznati sabirak.

x=84Provjera: 240 − (84 + 36) = 120.

Primjer 3 · Jednačina sa nepoznatim izrazom u zagradi

Riješi 500 − (x + 75) = 250.

x + 75=500 − 250Cijela zagrada je nepoznati umanjilac.

x + 75=250Izračunaj vrijednost zagrade.

x=250 − 75Pronađi nepoznati sabirak.

x=175Provjera: 500 − (175 + 75) = 250.

Zagrada sa sabiranjem, zatim oduzimanje — korak po korak

Primjer 1 · Zagrada sa sabiranjem, zatim oduzimanje

Riješi (x + 8) − 5 = 17.

x + 8=17 + 5Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x + 8=22Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=22 − 8Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=14Provjera: (14 + 8) − 5 = 17.

Primjer 2 · Zagrada sa sabiranjem, zatim oduzimanje

Riješi (x + 15) − 8 = 32.

x + 15=32 + 8Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x + 15=40Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=40 − 15Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=25Provjera: (25 + 15) − 8 = 32.

Primjer 3 · Zagrada sa sabiranjem, zatim oduzimanje

Riješi (x + 24) − 12 = 47.

x + 24=47 + 12Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x + 24=59Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=59 − 24Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=35Provjera: (35 + 24) − 12 = 47.

Zagrada sa oduzimanjem, zatim sabiranje — korak po korak

Primjer 1 · Zagrada sa oduzimanjem, zatim sabiranje

Riješi (x − 8) + 5 = 17.

x − 8=17 − 5Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x − 8=12Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=12 + 8Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=20Provjera: (20 − 8) + 5 = 17.

Primjer 2 · Zagrada sa oduzimanjem, zatim sabiranje

Riješi (x − 12) + 7 = 25.

x − 12=25 − 7Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x − 12=18Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=18 + 12Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=30Provjera: (30 − 12) + 7 = 25.

Primjer 3 · Zagrada sa oduzimanjem, zatim sabiranje

Riješi (x − 25) + 9 = 44.

x − 25=44 − 9Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x − 25=35Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=35 + 25Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=60Provjera: (60 − 25) + 9 = 44.

Zagrada sa dva sabiranja — korak po korak

Primjer 1 · Zagrada sa dva sabiranja

Riješi (x + 4) + 3 = 15.

x + 4=15 − 3Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x + 4=12Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=12 − 4Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=8Provjera: (8 + 4) + 3 = 15.

Primjer 2 · Zagrada sa dva sabiranja

Riješi (x + 15) + 8 = 41.

x + 15=41 − 8Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x + 15=33Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=33 − 15Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=18Provjera: (18 + 15) + 8 = 41.

Primjer 3 · Zagrada sa dva sabiranja

Riješi (x + 26) + 14 = 75.

x + 26=75 − 14Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x + 26=61Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=61 − 26Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=35Provjera: (35 + 26) + 14 = 75.

Zagrada sa dva oduzimanja — korak po korak

Primjer 1 · Zagrada sa dva oduzimanja

Riješi (x − 4) − 3 = 15.

x − 4=15 + 3Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x − 4=18Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=18 + 4Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=22Provjera: (22 − 4) − 3 = 15.

Primjer 2 · Zagrada sa dva oduzimanja

Riješi (x − 12) − 8 = 25.

x − 12=25 + 8Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x − 12=33Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=33 + 12Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=45Provjera: (45 − 12) − 8 = 25.

Primjer 3 · Zagrada sa dva oduzimanja

Riješi (x − 25) − 15 = 40.

x − 25=40 + 15Najprije pronađi vrijednost cijele zagrade.

x − 25=55Izračunaj vrijednost izraza bez x.

x=55 + 25Pronađi nepoznati sabirak ili umanjenik.

x=80Provjera: (80 − 25) − 15 = 40.

Nejednačina sa zbirnom granicom — korak po korak

Primjer 1 · Nejednačina sa zbirnom granicom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x + 3 ≥ 8.

x ≥ 8 − 3Traži sabirak za koji je zbir dovoljno velik.

x ≥ 5Jednakost je dozvoljena znakom ≥.

x ∈ {5, 6, 7, …}Rubna provjera: 5 + 3 = 8. Jedan manji x daje zbir 7.

Primjer 2 · Nejednačina sa zbirnom granicom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x + 8 ≥ 15.

x ≥ 15 − 8Traži sabirak za koji je zbir dovoljno velik.

x ≥ 7Jednakost je dozvoljena znakom ≥.

x ∈ {7, 8, 9, …}Rubna provjera: 7 + 8 = 15. Jedan manji x daje zbir 14.

Primjer 3 · Nejednačina sa zbirnom granicom

Nađi sve x ∈ N₀ za koje je x + 12 ≥ 20.

x ≥ 20 − 12Traži sabirak za koji je zbir dovoljno velik.

x ≥ 8Jednakost je dozvoljena znakom ≥.

x ∈ {8, 9, 10, …}Rubna provjera: 8 + 12 = 20. Jedan manji x daje zbir 19.

Nejednačina sa razlikom i ograničenim umanjiocem — korak po korak

Primjer 1 · Nejednačina sa razlikom i ograničenim umanjiocem

Nađi x ∈ N₀ za koje je 9 − x < 4, a razlika ostaje u N₀.

0 ≤ x ≤ 9Umanjilac ne smije biti veći od umanjenika.

x > 9 − 4=5Da razlika bude manja, umanjilac mora preći ovu granicu.

x ∈ {6, 7, 8, 9}Provjera krajeva: 9 − 6 = 3, a 9 − 9 = 0.

Primjer 2 · Nejednačina sa razlikom i ograničenim umanjiocem

Nađi x ∈ N₀ za koje je 12 − x < 3, a razlika ostaje u N₀.

0 ≤ x ≤ 12Umanjilac ne smije biti veći od umanjenika.

x > 12 − 3=9Da razlika bude manja, umanjilac mora preći ovu granicu.

x ∈ {10, 11, 12}Provjera krajeva: 12 − 10 = 2, a 12 − 12 = 0.

Primjer 3 · Nejednačina sa razlikom i ograničenim umanjiocem

Nađi x ∈ N₀ za koje je 20 − x < 5, a razlika ostaje u N₀.

0 ≤ x ≤ 20Umanjilac ne smije biti veći od umanjenika.

x > 20 − 5=15Da razlika bude manja, umanjilac mora preći ovu granicu.

x ∈ {16, 17, 18, 19, 20}Provjera krajeva: 20 − 16 = 4, a 20 − 20 = 0.

⚠️ Zastani i provjeri

Nepoznati umanjilac ne nalaziš sabiranjem.
U jednačini sa zagradom prvo riješi cijelu zagradu.
Za ≤ i ≥ ne zaboravi jednakost i uvijek navedi skup brojeva u kojem radiš.

8. Provjeri znanje

1. Riješi 40 − x = 13.

2. Riješi (x − 4) + 7 = 18.

3. Koja su rješenja x + 2 ≤ 5 u N₀?

Svaki pokušaj pomaže ti učiti. Ako pogriješiš, ponovi model i riješeni postupak, objasni gdje se greška dogodila, pa pokušaj ponovo.

Veza s programom

Pokazatelji koje ovdje vježbaš:

Povezuje rješenja s odabranim računskim radnjama i obrazlaže ih suprotnim njima tamo gdje je to moguće.
Sastavlja jednačinu i nejednačinu koja odgovara tekstu zadatka.
Rješava jednačine i nejednačine primjenom veza između računskih operacija.

Oznake ishoda u izvoru: .5.3 (MTP-1.1.2), .5.4 (MTP-2.2.1). Oznake se čitaju uz odgovarajuću oblast i stranicu izvora.

Ova lekcija razrađuje sadržaje predmetnog kurikuluma KS za 5. razred. Matematika, štampana str. 23. Objašnjenja i zadaci su autorski. Raspored na portalu je urednički.