🎯 Cilj lekcije
Nakon ove lekcije znat ćeš: prepoznati ivice, tjemena i strane kvadra i kocke •
objasniti razliku između kvadra i kocke • izračunati oplošje (ukupnu površinu) kvadra
formulom O = 2(ab + bc + ac) • izračunati oplošje kocke formulom O = 6a².
Prije početkaPonovi površinu pravougaonika i kvadrata.
1. Elementi kvadra i kocke
Kvadar je prostorno (3D) tijelo omeđeno sa 6 pravougaonih strana (pljosni).
Ima 12 ivica i 8 tjemena (vrhova). Zamisli kutiju za cipele — to je kvadar!
Kocka je poseban kvadar — svih njenih 6 strana su jednaki kvadrati, a sve
12 ivica su jednake dužine. Zamisli kocku za igru (kockicu)!
💡 Kvadar i pravougaonik
Kao što je kvadrat poseban pravougaonik (sve stranice jednake), tako je kocka poseban
kvadar (sve ivice jednake). Svaka strana kvadra je pravougaonik, a svaka strana kocke je kvadrat.
2. Šta je oplošje?
Oplošje je ukupna površina svih strana tijela — kao da bismo tijelo "razmotali"
u ravnu mrežu i sabrali površine svih dijelova. Kvadar ima tri para jednakih strana
(gornja-donja, prednja-zadnja, lijeva-desna), pa je:
O = 2 × (a·b + b·c + a·c)
gdje su a, b, c tri dimenzije kvadra (dužina, širina, visina). Kod kocke je
a = b = c, pa se formula pojednostavljuje:
O = 6 × a²
jer kocka ima 6 jednakih kvadratnih strana, svaka površine a².
3. Isprobaj sam: mreža kvadra
📦 Promijeni dimenzije kvadra
Pomjeraj klizače za dužinu, širinu i visinu — posmatraj mrežu (razmotane strane) i oplošje.
O = 2×(5×3 + 3×2 + 5×2) = 2×31 = 62 cm²
4. Riješi sa mnom korak po korak
Zadatak: Kocka ima ivicu a = 4 cm. Izračunaj njeno oplošje.
O = 6 × a² (šest jednakih kvadratnih strana).Zapamti formulu za kocku:
a² = 4 × 4 = 16 cm².Izračunaj površinu jedne strane:
O = 6 × 16.Pomnoži sa 6 strana:
O = 96 cm². ✅Rezultat:
Primjer iz života: Kutija za poklon ima oblik
kvadra s ivicama 20 cm, 15 cm i 10 cm. Koliko papira treba da je oblijepimo (oplošje)?
O = 2 × (20×15 + 15×10 + 20×10) = 2 × (300 + 150 + 200) = 2 × 650 = 1300 cm² papira.
Još jedan primjer: Pernica (kutija za olovke) ima oblik kvadra
s ivicama 18 cm, 8 cm i 5 cm. Koliko je njeno oplošje?
O = 2 × (18×8 + 8×5 + 18×5) = 2 × (144 + 40 + 90) = 2 × 274 = 548 cm².
Toliko bi materijala trebalo da napraviš omot koji u potpunosti prekrije pernicu. ✏️
Vježbaj uz riješene primjere
Prati zapis kao u svesci, red po red. Objašnjenje uz red govori ti zašto taj korak vrijedi. Najprije pokušaj samostalno, pa otkrivaj postupak korak po korak.
Brojanje strana, ivica i tjemena — korak po korak
Primjer 1 · Brojanje strana, ivica i tjemena
Koliko strana, ivica i tjemena ima kutija oblika kvadra?
strane: 2 + 2 + 2=6Prebroj gornju i donju, prednju i zadnju, lijevu i desnu.
ivice: 4 + 4 + 4=12Četiri su na vrhu, četiri na dnu i četiri ih spajaju.
tjemena: 4 + 4=8Četiri su gore i četiri dolje.
Primjer 2 · Brojanje strana, ivica i tjemena
Koliko strana, ivica i tjemena ima kocka?
6 jednakih kvadratnih stranaKocka je poseban kvadar.
4 + 4 + 4=12 ivicaSvaka ivica je zajednička dvjema stranama; ne broji je dvaput.
4 + 4=8 tjemenaU svakom tjemenu sastaju se tri ivice.
Primjer 3 · Brojanje strana, ivica i tjemena
Na modelu kvadra obojene su gornje 4 ivice. Koliko ivica nije obojeno?
ukupno 12 ivicaPodsjeti se broja ivica kvadra.
12 − 4=8Oduzmi obojene ivice.
4 donje + 4 uspravne=8Provjeri prebrojavanjem dvije preostale grupe.
Razlikovanje kvadra i kocke prema dimenzijama — korak po korak
Primjer 1 · Razlikovanje kvadra i kocke prema dimenzijama
Kutija ima dužinu 4 cm, širinu 4 cm i visinu 4 cm. Da li je kocka?
a=4 cm, b = 4 cm, c = 4 cmZapiši tri dimenzije.
a=b = cZa kocku sve tri dimenzije moraju biti jednake.
Ovo je kocka i ujedno kvadar.Svaka kocka jeste kvadar.
Primjer 2 · Razlikovanje kvadra i kocke prema dimenzijama
Kutija ima dužinu 6 cm, širinu 4 cm i visinu 3 cm. Da li je kocka?
a=6 cm, b = 4 cm, c = 3 cmZapiši tri dimenzije.
a ≠ b, b ≠ cZa kocku sve tri dimenzije moraju biti jednake.
Ovo je kvadar koji nije kocka.Svaka kocka jeste kvadar.
Primjer 3 · Razlikovanje kvadra i kocke prema dimenzijama
Kutija ima dužinu 5 cm, širinu 5 cm i visinu 2 cm. Da li je kocka?
a=5 cm, b = 5 cm, c = 2 cmZapiši tri dimenzije.
a=b, ali b ≠ cZa kocku sve tri dimenzije moraju biti jednake.
Ovo je kvadar s kvadratnom osnovom, ali nije kocka.Svaka kocka jeste kvadar.
Oplošje kvadra — korak po korak
Primjer 1 · Oplošje kvadra
Izračunaj oplošje kvadra dimenzija 5 cm, 3 cm i 2 cm.
O=2 · (a · b + a · c + b · c)U ovoj lekciji O označava oplošje: ukupnu površinu svih strana.
O=2 · (15 + 10 + 6)Pomnoži dimenzije za svaki od tri para strana.
O=2 · 31 = 62 cm²Pomnoži zbir sa dva jer svaka strana ima par.
Primjer 2 · Oplošje kvadra
Izračunaj oplošje kvadra dimenzija 8 cm, 4 cm i 3 cm.
O=2 · (a · b + a · c + b · c)U ovoj lekciji O označava oplošje: ukupnu površinu svih strana.
O=2 · (32 + 24 + 12)Pomnoži dimenzije za svaki od tri para strana.
O=2 · 68 = 136 cm²Pomnoži zbir sa dva jer svaka strana ima par.
Primjer 3 · Oplošje kvadra
Izračunaj oplošje kvadra dimenzija 10 cm, 6 cm i 5 cm.
O=2 · (a · b + a · c + b · c)U ovoj lekciji O označava oplošje: ukupnu površinu svih strana.
O=2 · (60 + 50 + 30)Pomnoži dimenzije za svaki od tri para strana.
O=2 · 140 = 280 cm²Pomnoži zbir sa dva jer svaka strana ima par.
Oplošje kocke — korak po korak
Primjer 1 · Oplošje kocke
Izračunaj oplošje kocke ivice 2 cm.
jedna strana: 2 · 2=4 cm²Svaka strana je kvadrat iste veličine.
O=6 · a · aOvdje O označava oplošje; kocka ima šest strana.
O=6 · 4 = 24 cm²Nemoj zamijeniti površinu sa zapreminom.
Primjer 2 · Oplošje kocke
Izračunaj oplošje kocke ivice 4 cm.
jedna strana: 4 · 4=16 cm²Svaka strana je kvadrat iste veličine.
O=6 · a · aOvdje O označava oplošje; kocka ima šest strana.
O=6 · 16 = 96 cm²Nemoj zamijeniti površinu sa zapreminom.
Primjer 3 · Oplošje kocke
Izračunaj oplošje kocke ivice 7 cm.
jedna strana: 7 · 7=49 cm²Svaka strana je kvadrat iste veličine.
O=6 · a · aOvdje O označava oplošje; kocka ima šest strana.
O=6 · 49 = 294 cm²Nemoj zamijeniti površinu sa zapreminom.
Crtanje mreže kocke — korak po korak
Primjer 1 · Crtanje mreže kocke
Nacrtaj mrežu kocke ivice 2 cm i odredi površinu papira bez preklopnika.
nacrtaj četiri kvadrata stranice 2 cm u jednom nizuKvadrati dijele cijele susjedne stranice.
dodaj po jedan kvadrat iznad i ispod drugog kvadrataDobijaš šest kvadrata koji se mogu sklopiti u kocku.
O=6 · 2 · 2 = 24 cm²Površina mreže jednaka je oplošju kocke.
Primjer 2 · Crtanje mreže kocke
Nacrtaj mrežu kocke ivice 3 cm i odredi površinu papira bez preklopnika.
nacrtaj četiri kvadrata stranice 3 cm u jednom nizuKvadrati dijele cijele susjedne stranice.
dodaj po jedan kvadrat iznad i ispod drugog kvadrataDobijaš šest kvadrata koji se mogu sklopiti u kocku.
O=6 · 3 · 3 = 54 cm²Površina mreže jednaka je oplošju kocke.
Primjer 3 · Crtanje mreže kocke
Nacrtaj mrežu kocke ivice 5 cm i odredi površinu papira bez preklopnika.
nacrtaj četiri kvadrata stranice 5 cm u jednom nizuKvadrati dijele cijele susjedne stranice.
dodaj po jedan kvadrat iznad i ispod drugog kvadrataDobijaš šest kvadrata koji se mogu sklopiti u kocku.
O=6 · 5 · 5 = 150 cm²Površina mreže jednaka je oplošju kocke.
⚠️ Česte greške
• Zaboravljen množitelj 2: svaka strana kvadra ima "par" nasuprot sebi — zato uvijek množimo cijeli zbir sa 2.
• Preskočen jedan par strana: kvadar ima tri para (ab, bc, ac) — ne zaboravi nijedan!
• Miješanje O = 6a² kod kvadra koji nije kocka: tu formulu koristi SAMO ako su sve tri ivice jednake (a = b = c).
Primijeni i objasni postupak
Samostalan zadatak:
Nacrtaj mrežu kocke: četiri jednaka kvadrata u nizu te po jedan iznad i ispod drugog kvadrata. Ako je ivica 3 cm, koliko papira pokriva šest strana?
Provjeri rješenje i obrazloženje
Jedna strana ima 3 · 3 = 9 cm², pa šest ima 6 · 9 = 54 cm². Izreži i presavij mrežu da provjeriš raspored. Za lijepljenje stvarnog modela dodaj preklopnike koji nisu dio izračunate površine.
Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na prikaz korak po korak i objasni svaki račun svojim riječima.
🎓 Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)
1. Koliko ivica ima kvadar?
2. Po čemu se kocka razlikuje od kvadra?
3. Kocka ima ivicu a = 3 cm. Koliko je njeno oplošje?
4. Kvadar ima ivice a = 4 cm, b = 3 cm, c = 2 cm. Koliko je oplošje?
🎉 Poveži površinu i strane tijela!
Sada znaš mjere za površinu, formule za pravougaonik i kvadrat, i oplošje kvadra i kocke.
Sljedeća stanica je oblast 5.7 — Množenje i dijeljenje, 2. dio. 💪
Svaki pokušaj pomaže ti učiti. Ako odgovor nije tačan, vrati se na model i riješeni postupak, objasni korak koji treba popraviti, pa pokušaj ponovo.
Veza s programom
Pokazatelji koje ovdje vježbaš:
Povezuje pojam površine sa površinom kvadra i kocke.
Oznake ishoda u izvoru: .5.1 (MTP-3.1.1). Oznake se čitaju uz odgovarajuću oblast i stranicu izvora.