5.7 · Lekcija 5

Nepoznati djelitelj i nejednačine u primjeni

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije moći ćeš:

riješiti jednačinu s nepoznatim djeliteljem.
razlikovati znakove <, ≤, > i ≥ u zadacima množenja.
objasniti skup rješenja i uslov tačnog dijeljenja u N₀.

Prije početkaPonovi veze činilac · činilac = proizvod i djeljenik : djelitelj = količnik. Za sve jednačine prvo provjeri je li dijeljenje dozvoljeno.

1. Nepoznato nije uvijek na istom mjestu

Ako je 6 · x = 42 ili x · 6 = 42, x = 42 : 6 = 7. Ako je x : 6 = 7, x = 7 · 6 = 42. U jednačini 42 : x = 7 nepoznat je djelitelj: tražimo broj grupa, ako u svakoj ima 7 predmeta. Zato je x = 42 : 7 = 6.

Provjera zadnjeg računa je 42 : 6 = 7. Vrijednost x = 0 nije dozvoljena jer se nulom ne dijeli. Poseban primjer 0 · x = 0 ima svako x iz N₀ kao rješenje, dok 0 · x = 7 nema rješenja. Zbog toga pravilo dijeljenja proizvoda činilacem koristimo kada je poznati činilac različit od nule.

2. Svaki znak mijenja granicu skupa rješenja

Za pakete od po 4 olovke posmatraj četiri uslova:

4 · x < 20 → x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.
4 · x ≤ 20 → x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
4 · x > 20 → x ∈ {6, 7, 8, …}.
4 · x ≥ 20 → x ∈ {5, 6, 7, …}.

Provjeri granični broj 5: 4 · 5 = 20. On ispunjava ≤ i ≥, a ne ispunjava < ni >.

Za x : 4 < 3 u N₀ uz tačno dijeljenje dobijemo x ∈ {0, 4, 8}. Samo brojevi djeljivi sa 4 daju količnik iz N₀. Ako u drugom zadatku dozvolimo i razlomljeni količnik, skup kandidata se mijenja. Zato uvijek pročitaj dogovor o brojevima.

3. Istraži model

Pomjeraj broj paketa x. Svaki paket košta 4 KM, a imaš najviše 20 KM. Posmatraj razliku između „najviše 20“ (≤) i „manje od 20“ (<).

Broj paketa x

4. Riješi korak po korak

Zadatak: Učiteljica je 72 lista podijelila u x jednakih kompleta. Svaki komplet ima 9 listova. Koliko je kompleta?

Priču zapiši jednačinom 72 : x = 9. Nepoznat je djelitelj.Označi traženi broj kompleta slovom x.

Veza s množenjem: 9 · x = 72.Dijeljenje poveži s množenjem.

Pronađi nepoznati činilac: x = 72 : 9 = 8.Poznati proizvod podijeli poznatim faktorom.

Provjeri u početnoj jednačini: 72 : 8 = 9. Napravljeno je 8 kompleta.Provjeri početnu podjelu i odgovori na pitanje.

5. Primijeni znanje

Primjer i zadatak iz života

Za izlet je potrebno najmanje 30 sendviča. Jedna kutija sadrži 6. Koliko kutija treba? Zapiši 6 · x ≥ 30. Pošto je 6 · 5 = 30, mogućnosti su x ∈ {5, 6, 7, …}; najmanje je potrebno 5 kutija.

Za podjelu 24 kartice tako da svako dijete dobije 3, pišeš 24 : x = 3. Rješenje je x = 8, jer 24 : 8 = 3. Jednačina odgovara pitanju o broju djece, ne o broju kartica po djetetu.

6. Objasni zašto

Za 3 · x < 12 Adnan je naveo {0, 1, 2, 3, 4}. Koji broj treba izostaviti i zašto?

Provjeri

Broj 4 daje 3 · 4 = 12. To je jednako granici, a nije manje. Rješenja su {0, 1, 2, 3}. Za znak ≤ broj 4 bi bio uključen.

7. Česte greške

Vježbaj uz riješene primjere

Prati zapis kao u svesci, red po red. Objašnjenje uz red govori ti zašto taj korak vrijedi. Najprije pokušaj samostalno, pa otkrivaj postupak korak po korak.

Nepoznati djelitelj — korak po korak

Primjer 1 · Nepoznati djelitelj

Riješi 84 : x = 7 u N.

84 : x=7; x ≠ 0Nulom se ne dijeli.

x=84 : 7Djelitelj dobiješ dijeljenjem djeljenika količnikom.

x=12Provjera: 84 : 12 = 7.

Primjer 2 · Nepoznati djelitelj

Riješi 144 : x = 12 u N.

144 : x=12; x ≠ 0Nulom se ne dijeli.

x=144 : 12Djelitelj dobiješ dijeljenjem djeljenika količnikom.

x=12Provjera: 144 : 12 = 12.

Primjer 3 · Nepoznati djelitelj

Riješi 360 : x = 15 u N.

360 : x=15; x ≠ 0Nulom se ne dijeli.

x=360 : 15Djelitelj dobiješ dijeljenjem djeljenika količnikom.

x=24Provjera: 360 : 24 = 15.

Nejednačina s nepoznatim djeliteljem uz dijeljenje bez ostatka — korak po korak

Primjer 1 · Nejednačina s nepoznatim djeliteljem uz dijeljenje bez ostatka

Nađi x ∈ N za koje je 24 : x > 4, uz dijeljenje bez ostatka.

x ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Prvo popiši djelitelje broja 24.

24 : x ∈ {24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1}Redom izračunaj količnike.

x ∈ {1, 2, 3, 4}Zadrži samo količnike strogo veće od 4.

Primjer 2 · Nejednačina s nepoznatim djeliteljem uz dijeljenje bez ostatka

Nađi x ∈ N za koje je 36 : x ≤ 6, uz dijeljenje bez ostatka.

x ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}Nula nije dozvoljena.

36 : x ∈ {36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1}Uskladi svaki količnik sa svojim djeliteljem.

x ∈ {6, 9, 12, 18, 36}Znak ≤ uključuje količnik 6.

Primjer 3 · Nejednačina s nepoznatim djeliteljem uz dijeljenje bez ostatka

Nađi x ∈ N za koje je 30 : x ≥ 5, uz dijeljenje bez ostatka.

x ∈ {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}Popiši sve djelitelje broja 30.

30 : x ∈ {30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1}Izračunaj količnike istim redom.

x ∈ {1, 2, 3, 5, 6}Količnici 30, 15, 10, 6 i 5 ispunjavaju uslov.

Nejednačina sa nepoznatim djeljenikom bez ostatka — korak po korak

Primjer 1 · Nejednačina sa nepoznatim djeljenikom bez ostatka

Nađi x ∈ N₀ za koje je x : 3 < 3, uz dijeljenje bez ostatka.

x mora biti višekratnik broja 3Količnik se traži u N₀.

x : 3 ∈ {0, 1, 2}Dopušteni količnici su nenegativni cijeli brojevi manji od granice.

x ∈ {0, 3, 6}Svaki količnik pomnoži sa 3. Prvi isključeni djeljenik je 9.

Primjer 2 · Nejednačina sa nepoznatim djeljenikom bez ostatka

Nađi x ∈ N₀ za koje je x : 4 < 4, uz dijeljenje bez ostatka.

x mora biti višekratnik broja 4Količnik se traži u N₀.

x : 4 ∈ {0, 1, 2, 3}Dopušteni količnici su nenegativni cijeli brojevi manji od granice.

x ∈ {0, 4, 8, 12}Svaki količnik pomnoži sa 4. Prvi isključeni djeljenik je 16.

Primjer 3 · Nejednačina sa nepoznatim djeljenikom bez ostatka

Nađi x ∈ N₀ za koje je x : 5 < 5, uz dijeljenje bez ostatka.

x mora biti višekratnik broja 5Količnik se traži u N₀.

x : 5 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}Dopušteni količnici su nenegativni cijeli brojevi manji od granice.

x ∈ {0, 5, 10, 15, 20}Svaki količnik pomnoži sa 5. Prvi isključeni djeljenik je 25.

Nejednačina sa brojem grupa i donjom granicom — korak po korak

Primjer 1 · Nejednačina sa brojem grupa i donjom granicom

Kutija ima 6 bojica. Potrebno je najmanje 30 bojica. Koji broj kutija x odgovara?

6 · x ≥ 30Najmanje uključuje i jednakost.

x ≥ 30 : 6=5Podijeli pozitivnim brojem bojica u kutiji.

x ∈ {5, 6, 7, …}Najmanje je 5 kutija: 6 · 5 = 30 bojica.

Primjer 2 · Nejednačina sa brojem grupa i donjom granicom

Kutija ima 8 bojica. Potrebno je najmanje 48 bojica. Koji broj kutija x odgovara?

8 · x ≥ 48Najmanje uključuje i jednakost.

x ≥ 48 : 8=6Podijeli pozitivnim brojem bojica u kutiji.

x ∈ {6, 7, 8, …}Najmanje je 6 kutija: 8 · 6 = 48 bojica.

Primjer 3 · Nejednačina sa brojem grupa i donjom granicom

Kutija ima 12 bojica. Potrebno je najmanje 60 bojica. Koji broj kutija x odgovara?

12 · x ≥ 60Najmanje uključuje i jednakost.

x ≥ 60 : 12=5Podijeli pozitivnim brojem bojica u kutiji.

x ∈ {5, 6, 7, …}Najmanje je 5 kutija: 12 · 5 = 60 bojica.

⚠️ Zastani i provjeri

Ne rješavaj 72 : x = 9 kao x : 72 = 9.
Rješenje nije samo najveći ili najmanji broj; navedi sve mogućnosti ili pravilo.
Kod dijeljenja provjeri dozvoljene vrijednosti i ne uzimaj djelitelj nula.

8. Provjeri znanje

1. Riješi 56 : x = 7.

2. Koji je najmanji x iz N₀ za 5 · x ≥ 25?

3. Za x : 3 < 3 uz tačno dijeljenje u N₀ rješenja su…

Svaki pokušaj pomaže ti učiti. Ako pogriješiš, ponovi model i riješeni postupak, objasni gdje se greška dogodila, pa pokušaj ponovo.

Veza s programom

Pokazatelji koje ovdje vježbaš:

Sastavlja jednačinu i nejednačinu koja odgovara tekstu zadatka.
Rješava jednačine i nejednačine primjenom veza između računskih operacija.

Oznake ishoda u izvoru: .5.4 (MTP-2.2.1). Oznake se čitaju uz odgovarajuću oblast i stranicu izvora.

Ova lekcija razrađuje sadržaje predmetnog kurikuluma KS za 5. razred. Matematika, štampana str. 23. Objašnjenja i zadaci su autorski. Raspored na portalu je urednički.