Djelitelji i višekratnici

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

objasniti šta je djelitelj, a šta višekratnik prirodnog broja;
nabrojati sve djelitelje manjih brojeva (npr. D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12});
napisati prvih nekoliko višekratnika broja;
razlikovati proste od složenih brojeva.

Prije nego počneš

Ponovi tablicu množenja i dijeljenje s ostatkom. Provjeri da 17 = 3 · 5 + 2 i objasni zašto ostatak mora biti manji od djelioca.

1. Šta je djelitelj?

Kažemo da je broj a djelitelj broja b ako se b može podijeliti brojem a bez ostatka. Kratko to zapisujemo kao a | b.

4 | 12 jer je 12 : 4 = 3

Broj 12 se može podijeliti brojem 4 i ostatak je 0. Zato je 4 djelitelj broja 12. A broj 5 nije djelitelj broja 12, jer je 12 : 5 = 2 i ostatak 2.

Skup svih djelitelja broja n označavamo sa D(n). Na primjer:

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Provjeri: 12 : 1 = 12, 12 : 2 = 6, 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2, 12 : 12 = 1. Sve bez ostatka! Svaki broj veći od 1 ima bar dva „sigurna" djelitelja: broj 1 i samog sebe.

2. Šta je višekratnik?

Višekratnici broja n su brojevi koje dobiješ kad broj n množiš sa 1, 2, 3, 4… Skup višekratnika označavamo sa V(n). Za razliku od djelitelja (kojih ima konačno mnogo), višekratnika ima beskonačno mnogo.

V(6) = {6, 12, 18, 24, 30, …}

Zamisli da skačeš po brojevnoj pravoj skokovima dužine 6: staješ na 6, pa na 12, pa na 18… Svaka stanica je jedan višekratnik broja 6.

💡 Kako ih ne pobrkati Djelitelj je manji ili jednak broju (stane „unutra"), a višekratnik je veći ili jednak broju (broj se „umnožio"). Broj 3 je djelitelj broja 12, a broj 24 je višekratnik broja 12.

3. Vizual: pronađi djelitelje

🔍 Istraži djelitelje bilo kojeg broja

Upiši broj od 1 do 200 i pritisni dugme — računar će isprobati sve kandidate i ispisati samo one koji dijele bez ostatka.

Tvoj broj:

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

4. Rješavamo korak po korak: djelitelji broja 24

Hajde da zajedno, korak po korak, odredimo sve djelitelje broja 24. Trik je da kandidate isprobavaš u paru: čim nađeš da a dijeli 24, odmah dobiješ i parnjak 24 : a. Zato nam ne treba isprobavati sve brojeve do 24. Dovoljno je ići do √24 ≈ 4,9, tj. do broja 4, a parnjake dopišeš odmah.

24 : 1=24Kandidat 1: 24 : 1 = 24, ostatak 0. Dakle 1 i 24 su djelitelji. Zapisujemo par (1, 24).

24 : 2=12Kandidat 2: 24 : 2 = 12, ostatak 0. Novi par (2, 12). Do sada imamo: 1, 2, 12, 24.

24 : 3=8Kandidat 3: 24 : 3 = 8, ostatak 0. Novi par (3, 8). Do sada imamo: 1, 2, 3, 8, 12, 24.

24 : 4 = 6; 24 = 5 · 4 + 4Kandidat 4: 24 : 4 = 6, ostatak 0. Novi par (4, 6). Broj 5 preskačemo jer 24 : 5 = 4 i ostatak 4.

D(24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Završetak: Kandidate 6, 8, 12 i 24 već imamo kao parnjake, pa stajemo. Poredamo od najmanjeg: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} — ukupno 8 djelitelja.

5. Primjer iz života

Primjer: Učiteljica ima 24 bojice i želi ih podjednako podijeliti u kutijice, bez ostatka. Koliko bojica može stati u jednu kutijicu?
Rješenje: broj bojica u jednoj kutijici mora biti djelitelj broja 24. Dakle moguće je: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ili 24 bojice po kutijici. Na primjer 6 kutijica po 4 bojice (6 · 4 = 24). Broj 5 ne dolazi u obzir jer 24 : 5 ostavlja ostatak 4.

Još jedan primjer: Amar ima 36 bombona i želi ih podijeliti svojim drugovima tako da svako dobije isti broj bombona, bez ostatka. U koliko kesica može podijeliti bombone?
Rješenje: broj kesica mora biti djelitelj broja 36. Djelitelji su D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Na primjer 4 kesice po 9 bombona (4 · 9 = 36), ili 6 kesica po 6 bombona (6 · 6 = 36). Broj 5 ne dolazi u obzir jer 36 : 5 = 7, ostatak 1 — neko bi ostao bez pravedne porcije!

6. Prosti i složeni brojevi

Broj koji ima tačno dva djelitelja (1 i samog sebe) zove se prost broj: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Broj koji ima više od dva djelitelja zove se složen broj: 4, 6, 8, 9, 10, 12… A broj 1 nije ni prost ni složen — on ima samo jednog djelitelja.

⚠️ Česte greške

Zaboravlja se broj 1 i sam broj. D(12) nisu samo {2, 3, 4, 6} — nego {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Miješanje djelitelja i višekratnika. Broj 24 je višekratnik broja 6, ali je djelitelj broja 48. Uvijek pitaj: ko koga dijeli?
Broj 1 se proglašava prostim. Nije! Ima samo jednog djelitelja, pa nije ni prost ni složen.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Određivanje svih djelitelja

Primjer 1

Odredi sve djelitelje broja 18.

18 = 1 · 18 = 2 · 9 = 3 · 6Zapiši sve parove prirodnih faktora.

D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}Svaki različit faktor upiši jednom, od najmanjeg.

18 : 9=2Provjeri dijeljenjem: nema ostatka.

Primjer 2

Odredi sve djelitelje broja 28.

28 = 1 · 28 = 2 · 14 = 4 · 7Zapiši sve parove prirodnih faktora.

D(28)={1, 2, 4, 7, 14, 28}Svaki različit faktor upiši jednom, od najmanjeg.

28 : 14=2Provjeri dijeljenjem: nema ostatka.

Primjer 3

Odredi sve djelitelje broja 45.

45 = 1 · 45 = 3 · 15 = 5 · 9Zapiši sve parove prirodnih faktora.

D(45)={1, 3, 5, 9, 15, 45}Svaki različit faktor upiši jednom, od najmanjeg.

45 : 15=3Provjeri dijeljenjem: nema ostatka.

Višekratnici i njihova primjena

Primjer 1

Pronađi prva četiri pozitivna višekratnika broja 4 i reci je li 20 njegov višekratnik.

4 · 1 = 4; 4 · 2 = 8Množi redom prirodnim brojevima.

4 · 3 = 12; 4 · 4 = 16Nastavi isti postupak.

20 : 4=5Broj 20 jeste višekratnik jer je količnik prirodan broj.

Primjer 2

Pronađi prva četiri pozitivna višekratnika broja 6 i reci je li 30 njegov višekratnik.

6 · 1 = 6; 6 · 2 = 12Množi redom prirodnim brojevima.

6 · 3 = 18; 6 · 4 = 24Nastavi isti postupak.

30 : 6=5Broj 30 jeste višekratnik jer je količnik prirodan broj.

Primjer 3

Pronađi prva četiri pozitivna višekratnika broja 9 i reci je li 45 njegov višekratnik.

9 · 1 = 9; 9 · 2 = 18Množi redom prirodnim brojevima.

9 · 3 = 27; 9 · 4 = 36Nastavi isti postupak.

45 : 9=5Broj 45 jeste višekratnik jer je količnik prirodan broj.

Prost ili složen broj

Primjer 1

Ispitaj je li broj 13 prost ili složen.

D(13)={1, 13}Pronađi sve djelitelje.

Broj djelitelja: 2Prost broj ima tačno dva pozitivna djelitelja.

13: prost brojBroj 1 ne pripada ni prostim ni složenim brojevima.

Primjer 2

Ispitaj je li broj 21 prost ili složen.

D(21)={1, 3, 7, 21}Pronađi sve djelitelje.

Broj djelitelja: 4Prost broj ima tačno dva pozitivna djelitelja.

21: složen brojBroj 1 ne pripada ni prostim ni složenim brojevima.

Primjer 3

Ispitaj je li broj 17 prost ili složen.

D(17)={1, 17}Pronađi sve djelitelje.

Broj djelitelja: 2Prost broj ima tačno dva pozitivna djelitelja.

17: prost brojBroj 1 ne pripada ni prostim ni složenim brojevima.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koji je skup svih djelitelja broja 12?

2. Koji broj NIJE djelitelj broja 20?

3. Koji od brojeva je višekratnik broja 6?

4. Koliko djelitelja ima prost broj 7?

5. Koliko djelitelja ima broj 36?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 6. razred, štampana str. 28. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.