NZD i NZS

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

objasniti šta su NZD i NZS dva prirodna broja;
rastaviti broj na proste faktore (npr. 12 = 2² · 3);
odrediti NZD(12, 18) = 6 i NZS(12, 18) = 36 cijelim postupkom;
riješiti jednostavan zadatak iz života pomoću NZD ili NZS.

Prije nego počneš

Ponovi tablicu množenja i dijeljenje s ostatkom. Provjeri da 17 = 3 · 5 + 2 i objasni zašto ostatak mora biti manji od djelioca.

1. Šta je NZD?

NZD je skraćenica za najveći zajednički djelitelj dva broja — najveći broj koji dijeli oba broja bez ostatka. Pogledaj brojeve 12 i 18: djelitelji broja 12 su {1, 2, 3, 4, 6, 12}, a broja 18 su {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Zajednički su 1, 2, 3 i 6 — a najveći od njih je 6.

NZD(12, 18) = 6

2. Šta je NZS?

NZS je skraćenica za najmanji zajednički višekratnik — najmanji broj koji je djeljiv obama brojevima. Višekratnici broja 12 su {12, 24, 36, 48, …}, a broja 18 su {18, 36, 54, …}. Prvi zajednički je 36.

NZS(12, 18) = 36

💡 Kako ih ne pobrkati NZD je djelitelj pa je manji od oba broja (ili jednak manjem), a NZS je višekratnik pa je veći od oba broja (ili jednak većem). Ako dobiješ NZD veći od brojeva — nešto nije uredu, vrati se i provjeri!

3. Rastav na proste faktore

Za veće brojeve nabrajanje svih djelitelja je sporo. Brži put je rastav na proste faktore: broj dijeliš prostim brojevima (2, 3, 5, 7, 11…) dok ne dođeš do 1.

12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3 • 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3²

Pravila su jednostavna i rješavamo ih korak po korak:

NZD: uzmeš zajedničke proste faktore s manjim stepenom. Za 12 i 18: zajednički su 2 (manji stepen 2¹) i 3 (manji stepen 3¹), pa je NZD = 2 · 3 = 6.
NZS: uzmeš sve proste faktore s većim stepenom. Za 12 i 18: 2² i 3², pa je NZS = 4 · 9 = 36.

4. Vizual: izračunaj NZD i NZS

🔍 Euklidov algoritam u akciji

Upiši dva broja od 1 do 1000. Računar Euklidovim algoritmom (uzastopnim dijeljenjem s ostatkom) prvo nađe NZD, pa iz njega izračuna NZS formulom NZS = a · b : NZD.

Broj a: Broj b:

5. Rješavamo korak po korak: NZD(12, 18) i NZS(12, 18)

Sada ćemo cijeli postupak — rastav, NZD i NZS — uraditi zajedno, korak po korak:

12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3Rastavi 12: 12 : 2 = 6, pa 6 : 2 = 3, pa 3 : 3 = 1. Dakle 12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3.

18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3²Rastavi 18: 18 : 2 = 9, pa 9 : 3 = 3, pa 3 : 3 = 1. Dakle 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3².

NZD(12, 18) = 2 · 3 = 6NZD — zajednički s manjim stepenom: dvojka se javlja kao 2² i 2¹ → uzmi 2¹ = 2. Trojka kao 3¹ i 3² → uzmi 3¹ = 3. NZD = 2 · 3 = 6. Provjera: 12 : 6 = 2 i 18 : 6 = 3, oba bez ostatka ✔

NZS(12, 18) = 2² · 3² = 36NZS — svi s većim stepenom: uzmi 2² = 4 i 3² = 9. NZS = 4 · 9 = 36. Provjera: 36 : 12 = 3 i 36 : 18 = 2, oba bez ostatka ✔

NZS(12, 18) = 12 · 18 : 6 = 36Dodatna provjera formulom: NZS = 12 · 18 : NZD = 216 : 6 = 36. Poklapa se! Dakle NZD(12, 18) = 6 i NZS(12, 18) = 36.

6. Primjer iz života

Primjer: Lejla ima 12 crvenih i 18 plavih perli i želi napraviti jednake narukvice (svaka isti broj crvenih i isti broj plavih perli), bez ostatka. Koliko najviše narukvica može napraviti?
Rješenje: broj narukvica mora dijeliti i 12 i 18 — tražimo NZD(12, 18) = 6. Dakle najviše 6 narukvica: svaka ima 12 : 6 = 2 crvene i 18 : 6 = 3 plave perle. (A da se pita kad će se dva svjetla opet upaliti zajedno — to bi bio NZS!)

Još jedan primjer (NZS): Sa autobuske stanice u 8:00 kreću dva autobusa — broj 3 svakih 8 minuta, a broj 7 svakih 12 minuta. Za koliko minuta će ponovo krenuti u isto vrijeme?
Rastav: 8 = 2³, a 12 = 2² · 3. Za NZS uzimamo svaki prost faktor s većim stepenom: 2³ i 3¹. Dakle NZS(8, 12) = 8 · 3 = 24. Autobusi će ponovo krenuti zajedno za 24 minute, tačno u 8:24. Provjera: 24 : 8 = 3 ✔ i 24 : 12 = 2 ✔.

⚠️ Česte greške

Kod NZD se uzme veći, a kod NZS manji stepen. Obrnuto je: NZD → manji stepen (2 · 3 = 6), NZS → veći stepen (4 · 9 = 36).
Zaboravi se prost faktor koji nije zajednički. Kod NZS moraju ući svi faktori — npr. NZS(4, 6): 4 = 2², 6 = 2 · 3, pa je NZS = 2² · 3 = 12 (trojka se ne smije izgubiti).
Brka se koji je veći. NZD(12, 18) = 6 je manji od oba broja, a NZS(12, 18) = 36 je veći od oba — ako dobiješ obrnuto, provjeri postupak.

Kako iz priče izabrati NZD ili NZS?

Kada od dvije količine praviš najviše jednakih grupa bez ostatka, broj grupa mora dijeliti obje količine: tražiš NZD. Kada tražiš prvo sljedeće zajedničko ponavljanje, vrijeme mora biti višekratnik oba razmaka: tražiš NZS. Riječ „najmanje“ sama nije dovoljan trag; najprije objasni šta se dijeli ili ponavlja.

Izbor NZD-a ili NZS-a iz uslova zadatka — korak po korak

Primjer 1

Od 18 jabuka i 24 kruške praviš najviše jednakih paketa. Svaki paket sadrži isti broj jabuka i isti broj krušaka, bez ostatka.

18 = 2 · 3²; 24 = 2³ · 3Broj paketa mora biti djelitelj oba broja.

NZD(18, 24) = 2 · 3 = 6Biramo najveći zajednički djelitelj jer tražimo najviše paketa.

18 : 6 = 3; 24 : 6 = 4U svakom od šest paketa su tri jabuke i četiri kruške.

6 · 3 = 18; 6 · 4 = 24Provjeri da je sva količina raspoređena.

Primjer 2

Dva zvona upravo su zazvonila zajedno. Jedno zvoni svakih 8, drugo svakih 12 minuta. Kada će sljedeći put zajedno?

8 = 2³; 12 = 2² · 3Traženo vrijeme mora biti pozitivan višekratnik oba razmaka.

NZS(8, 12) = 2³ · 3 = 24Za prvo sljedeće ponavljanje biramo najmanji pozitivan zajednički višekratnik.

24 : 8 = 3; 24 : 12 = 2Poslije 24 minute prvo zvono je zazvonilo tri puta, drugo dva puta.

Primjer 3

Pravougaona ploča 24 cm × 36 cm popločava se najvećim jednakim kvadratima bez rezanja. Kolika je stranica kvadrata i koliko ih treba?

24 = 2³ · 3; 36 = 2² · 3²Stranica kvadrata mora dijeliti obje dužine ploče.

a = NZD(24, 36) = 12 cmBiramo najveću moguću stranicu.

24 : 12 = 2; 36 : 12 = 3Stanu dva reda po tri kvadrata.

n = 2 · 3 = 6; 6 · 144 = 864 cm²Šest kvadrata pokriva površinu 24 · 36 = 864 cm².

Pokušaj samostalno

Od 20 olovaka i 30 gumica napravi najviše jednakih paketa. Dva autobusa upravo su krenula zajedno, pa polaze svakih 10 i 15 minuta. Objasni zašto ova dva zadatka ne rješavaš istom operacijom.

Provjeri i obrazloži

NZD(20,30) = 10: deset paketa s po dvije olovke i tri gumice. NZS(10,15) = 30: zajednički polazak nakon 30 minuta. U prvom zadatku broj grupa dijeli količine, a u drugom vrijeme sadrži cijeli broj oba razmaka.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Određivanje NZD-a

Primjer 1

Izračunaj NZD(16, 24).

D(16)={1, 2, 4, 8, 16}Zapiši djelitelje prvog broja.

D(24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Zapiši djelitelje drugog broja.

NZD(16, 24)=8Izaberi najveći zajednički djelitelj.

16 : 8 = 2; 24 : 8 = 3Provjeri da oba dijeljenja nemaju ostatka.

Primjer 2

Izračunaj NZD(18, 30).

D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}Zapiši djelitelje prvog broja.

D(30)={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}Zapiši djelitelje drugog broja.

NZD(18, 30)=6Izaberi najveći zajednički djelitelj.

18 : 6 = 3; 30 : 6 = 5Provjeri da oba dijeljenja nemaju ostatka.

Primjer 3

Izračunaj NZD(15, 28).

D(15)={1, 3, 5, 15}Zapiši djelitelje prvog broja.

D(28)={1, 2, 4, 7, 14, 28}Zapiši djelitelje drugog broja.

NZD(15, 28)=1Izaberi najveći zajednički djelitelj.

15 : 1 = 15; 28 : 1 = 28Provjeri da oba dijeljenja nemaju ostatka.

Određivanje NZS-a

Primjer 1

Izračunaj NZS(16, 24).

D(16)={1, 2, 4, 8, 16}Zapiši djelitelje prvog broja.

D(24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Zapiši djelitelje drugog broja.

NZD(16, 24)=8Izaberi najveći zajednički djelitelj.

NZS = 16 · 24 : 8 = 48Proizvod brojeva podijeli njihovim NZD-om.

48 : 16 = 3; 48 : 24 = 2Provjeri da je rezultat višekratnik oba broja.

Primjer 2

Izračunaj NZS(18, 30).

D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}Zapiši djelitelje prvog broja.

D(30)={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}Zapiši djelitelje drugog broja.

NZD(18, 30)=6Izaberi najveći zajednički djelitelj.

NZS = 18 · 30 : 6 = 90Proizvod brojeva podijeli njihovim NZD-om.

90 : 18 = 5; 90 : 30 = 3Provjeri da je rezultat višekratnik oba broja.

Primjer 3

Izračunaj NZS(15, 28).

D(15)={1, 3, 5, 15}Zapiši djelitelje prvog broja.

D(28)={1, 2, 4, 7, 14, 28}Zapiši djelitelje drugog broja.

NZD(15, 28)=1Izaberi najveći zajednički djelitelj.

NZS = 15 · 28 : 1 = 420Proizvod brojeva podijeli njihovim NZD-om.

420 : 15 = 28; 420 : 28 = 15Provjeri da je rezultat višekratnik oba broja.

Jednake grupe i zajednički događaji

Primjer 1

Rasporedi 12 crvenih i 20 plavih perli u najveći mogući broj jednakih paketića bez ostatka.

n=NZD(12, 20)Broj paketića mora dijeliti oba broja.

n=4Izračunaj najveći zajednički djelitelj.

Crvenih: 12 : 4 = 3; plavih: 20 : 4 = 5Ovo je sadržaj svakog paketića.

Primjer 2

Rasporedi 18 crvenih i 24 plavih perli u najveći mogući broj jednakih paketića bez ostatka.

n=NZD(18, 24)Broj paketića mora dijeliti oba broja.

n=6Izračunaj najveći zajednički djelitelj.

Crvenih: 18 : 6 = 3; plavih: 24 : 6 = 4Ovo je sadržaj svakog paketića.

Primjer 3

Rasporedi 21 crvenih i 35 plavih perli u najveći mogući broj jednakih paketića bez ostatka.

n=NZD(21, 35)Broj paketića mora dijeliti oba broja.

n=7Izračunaj najveći zajednički djelitelj.

Crvenih: 21 : 7 = 3; plavih: 35 : 7 = 5Ovo je sadržaj svakog paketića.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koliko je NZD(12, 18)?

2. Koliko je NZS(4, 6)?

3. Koliko je NZD(7, 11)?

4. Koliko je NZS(5, 7)?

5. Dva autobusa polaze u 8:00 — jedan svakih 8, drugi svakih 12 minuta. Za koliko minuta ponovo kreću zajedno?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 6. razred, štampana str. 28. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.