Mješoviti brojevi, dvojni razlomci i izrazi

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

povezati pravi i nepravi razlomak s mješovitim brojem
računati s mješovitim brojevima i dvojnim razlomcima
poštovati redoslijed operacija i provjeriti procjenu

1. Razumij pojam

Pravi razlomak ima brojnik manji od imenilaca: 3/5 < 1. Kod nepravog je brojnik veći ili jednak imeniocu: 7/5 > 1, a 5/5 = 1. Mješoviti broj zapisuje cijele dijelove i pravi razlomak zajedno: 1 2/5 = 1 + 2/5 = 7/5. U svakom razlomku imenilac mora biti različit od nule.

Za pretvaranje 2 3/4 u razlomak pomnoži cijeli dio s imeniocem i dodaj brojnik: (2 · 4 + 3)/4 = 11/4. Obrnuto, 11 : 4 = 2 i ostatak 3, pa je 11/4 = 2 3/4. Brojnik ostatka uvijek je manji od imenioca.

2. Poveži i objasni

Dvojni razlomak je razlomak koji u brojniku ili imeniocu sadrži razlomak. Glavna razlomačka crta znači dijeljenje. Zato je (3/4)/(2/5) = (3/4) : (2/5) = (3/4) · (5/2) = 15/8. Prvo jasno odredi šta je cijeli brojnik, a šta cijeli imenilac.

U izrazima prvo riješi zagrade, zatim množenje i dijeljenje slijeva nadesno, pa sabiranje i oduzimanje. Skraćivanje je dozvoljeno između faktora proizvoda, a ne proizvoljno kroz zbir. U izrazu s promjenljivom, na primjer 2x + 1/2, uvrsti vrijednost x pa računaj prema istom redoslijedu.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Broj četvrtina

4. Riješi korak po korak

(1 12 + 14) : 78Izračunaj (1 1/2 + 1/4) : 7/8. Procjena: zbir je između 1 i 2; dijeljenje brojem manjim od 1 povećat će ga.

1 12 = 32 = 64; 64 + 14 = 74Pretvori 1 1/2 = 3/2 = 6/4. U zagradi: 6/4 + 1/4 = 7/4.

74 · 87Dijeljenje zamijeni množenjem recipročnim brojem: (7/4) · (8/7).

74 · 87 = 2; 2 · 78 = 74Skrati 7 sa 7 i 8 sa 4: rezultat je 2. Provjera: 2 · 7/8 = 14/8 = 7/4, što je polazni zbir.

5. Primijeni znanje

Primjer: Od 2 1/4 litra soka puniš čaše od 3/8 litra. Broj punih čaša je (9/4) : (3/8) = (9/4) · (8/3) = 6. Provjera: 6 · 3/8 = 18/8 = 9/4 litra. Za x = 3/4 izraz 2x + 1/2 ima vrijednost 2 · 3/4 + 1/2 = 3/2 + 1/2 = 2.

6. Vježbaj i obrazloži

Izračunaj (2 1/3 − 5/6) : 3/4. Zatim napiši kratku priču koja odgovara izrazu (3/2) : (1/4).

Provjeri

7/3 − 5/6 = 14/6 − 5/6 = 9/6 = 3/2. Zatim (3/2) · (4/3) = 2. Drugi izraz može opisivati broj čaša od 1/4 litra koje puniš iz 1 1/2 litra napitka: dobijaš 6 čaša.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Mješoviti broj 2 1/3 znači 2 + 1/3, a ne 2 · 1/3.
Kod dijeljenja obrni drugi razlomak, a ne prvi.
U dvojnim razlomcima pronađi glavnu crtu i koristi zagrade.

Mješoviti brojevi u cijelom računu

Kada račun sadrži mješovite brojeve, prvo ih pretvori u neprave razlomke. Tako koristiš ista pravila kao za razlomke koje već poznaješ. Prije računanja procijeni: sabiranje dva pozitivna broja povećava količinu; dijeljenje pozitivnim brojem manjim od 1 daje veći rezultat.

Operacije s mješovitim brojevima — korak po korak

Primjer 1

Izračunaj 1 2/3 + 2 3/4.

1 2/3 = 5/3; 2 3/4 = 11/4Cijeli dio pomnoži imeniocem pa dodaj brojnik.

5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12Najmanji zajednički imenilac je 12.

20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12Saberi brojnike i izdvoji cijeli dio.

4 5/12 − 2 3/4 = 53/12 − 33/12 = 5/3Oduzimanjem provjeri prvi sabirak.

Primjer 2

Izračunaj 3 1/4 − 1 5/6.

3 1/4 = 13/4; 1 5/6 = 11/6Pretvaranje u neprave razlomke izbjegava nejasno posuđivanje.

13/4 − 11/6 = 39/12 − 22/12Zajednički imenilac je 12.

39/12 − 22/12 = 17/12 = 1 5/12Razlika je pozitivna i između 1 i 2, kako smo očekivali.

17/12 + 22/12 = 39/12 = 13/4Provjeri sabiranjem razlike i umanjioca.

Primjer 3

Za jednu turu kolača treba 3/4 kg brašna. Koliko tura možeš napraviti od 2 1/4 kg?

2 1/4 = 9/4 kgPočetnu količinu zapiši jednim razlomkom.

(9/4) : (3/4) = (9/4) · (4/3)Broj tura je količina brašna podijeljena količinom za jednu turu.

(9 · 4)/(4 · 3) = 3Skrati iste nenulte faktore. Možeš napraviti tri ture.

3 · 3/4 = 9/4 = 2 1/4 kgProvjeri da su tri ture potrošile tačno raspoloživo brašno.

Pokušaj samostalno

Izračunaj 2 1/2 + 1 1/3, zatim 4 1/6 − 2 3/4. Koliko je čaša od 1/4 l u 1 1/2 l soka?

Provjeri i obrazloži

5/2 + 4/3 = 15/6 + 8/6 = 23/6 = 3 5/6. Razlika je 25/6 − 11/4 = 50/12 − 33/12 = 17/12 = 1 5/12. Broj čaša je (3/2) : (1/4) = (3/2) · 4 = 6.

Koja pravila ostaju ista u različitim skupovima?

Komutativnost znači da smiješ zamijeniti mjesta brojevima: to važi za sabiranje i množenje i u N i u Q⁺. Asocijativnost dopušta drugačije grupisanje tih operacija. Distributivnost povezuje množenje sa sabiranjem. Oduzimanje i dijeljenje ne dopuštaju proizvoljnu zamjenu redoslijeda. Zatvorenost znači da rezultat ostaje u istom skupu: količnik pozitivnih racionalnih brojeva ostaje u Q⁺, ali količnik prirodnih brojeva ne mora ostati u N.

Poređenje svojstava operacija u N i Q⁺ — korak po korak

Primjer 1

Provjeri komutativnost sabiranja na 2 i 3, pa na 1/2 i 1/3.

2 + 3 = 3 + 2 = 5Zamjena mjesta sabiraka ne mijenja zbir u N.

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6Saberi racionalne brojeve s istim imeniocem.

1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6Ista osobina vrijedi za razlomke: oba zbira su jednaka.

Primjer 2

Provjeri distributivnost na (1/2) · (1/3 + 2/3) na dva načina.

(1/2) · (1/3 + 2/3) = (1/2) · 1 = 1/2Prvi način: prvo izračunaj zagradu.

(1/2) · (1/3) + (1/2) · (2/3) = 1/6 + 1/3Drugi način: pomnoži svaki sabirak.

1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 1/2Dobijaš isti rezultat; distributivnost poznata za prirodne brojeve vrijedi i ovdje.

Primjer 3

Da li su N i Q⁺ zatvoreni za dijeljenje? Da li smiješ zamijeniti mjesta brojevima?

2 : 3 = 2/3; 2/3 ∉ NPrirodni brojevi nisu zatvoreni za dijeljenje.

(1/2) : (3/4) = (1/2) · (4/3) = 2/3 ∈ Q⁺Dijeljenje pozitivnih racionalnih brojeva ostaje u Q⁺.

(3/4) : (1/2) = (3/4) · 2 = 3/2Zamjena mjesta promijenila je količnik: dijeljenje nije komutativno.

Pokušaj samostalno

Izračunaj (3/4) · (2/3 + 4/3) na dva načina. Da li Q⁺ ostaje zatvoren za oduzimanje? Daj jedan primjer koji obara tu tvrdnju.

Provjeri i obrazloži

Prvo zagrada daje (3/4) · 2 = 3/2. Distributivno dobijaš 1/2 + 1 = 3/2. Q⁺ nije zatvoren za oduzimanje: 1/2 − 3/4 = −1/4 nije pozitivan broj. Jedan protivprimjer je dovoljan da obori opću tvrdnju.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Pretvaranje mješovitog broja u nepravi razlomak

Primjer 1

Pretvori 2 13 u nepravi razlomak.

2=63Cijele dijelove zapiši u zadanim dijelovima.

2 13=63 + 13Dodaj preostali razlomljeni dio.

=73Saberi brojnike uz isti imenilac.

Primjer 2

Pretvori 3 25 u nepravi razlomak.

3=155Cijele dijelove zapiši u zadanim dijelovima.

3 25=155 + 25Dodaj preostali razlomljeni dio.

=175Saberi brojnike uz isti imenilac.

Primjer 3

Pretvori 4 38 u nepravi razlomak.

4=328Cijele dijelove zapiši u zadanim dijelovima.

4 38=328 + 38Dodaj preostali razlomljeni dio.

=358Saberi brojnike uz isti imenilac.

Pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj

Primjer 1

Izdvoji cijele dijelove iz 114.

11=4 · 2 + 3Podijeli brojnik imeniocem i zapiši ostatak.

114=2 + 34Količnik je cijeli dio, ostatak je novi brojnik.

=2 34Provjera: 2 · 4 + 3 = 11.

Primjer 2

Izdvoji cijele dijelove iz 236.

23=6 · 3 + 5Podijeli brojnik imeniocem i zapiši ostatak.

236=3 + 56Količnik je cijeli dio, ostatak je novi brojnik.

=3 56Provjera: 3 · 6 + 5 = 23.

Primjer 3

Izdvoji cijele dijelove iz 378.

37=8 · 4 + 5Podijeli brojnik imeniocem i zapiši ostatak.

378=4 + 58Količnik je cijeli dio, ostatak je novi brojnik.

=4 58Provjera: 4 · 8 + 5 = 37.

Dvojni razlomak kao dijeljenje

Primjer 1

Izračunaj dvojni razlomak 2345.

2345=23 : 45Glavna razlomačka crta znači dijeljenje brojnika imeniocem.

23 : 45=23 · 54Dijeljenje zamijeni množenjem recipročnim razlomkom.

=2 · 53 · 4Pomnoži brojnike i imenioce.

= 1012 = 56Izračunaj i skrati rezultat.

56 · 45=23Provjeri: količnik puta djelilac daje djeljenik.

Primjer 2

Izračunaj dvojni razlomak 38916.

38916=38 : 916Glavna razlomačka crta znači dijeljenje brojnika imeniocem.

38 : 916=38 · 169Dijeljenje zamijeni množenjem recipročnim razlomkom.

=3 · 168 · 9Pomnoži brojnike i imenioce.

= 4872 = 23Izračunaj i skrati rezultat.

23 · 916=38Provjeri: količnik puta djelilac daje djeljenik.

Primjer 3

Izračunaj dvojni razlomak 512109.

512109=512 : 109Glavna razlomačka crta znači dijeljenje brojnika imeniocem.

512 : 109=512 · 910Dijeljenje zamijeni množenjem recipročnim razlomkom.

=5 · 912 · 10Pomnoži brojnike i imenioce.

= 45120 = 38Izračunaj i skrati rezultat.

38 · 109=512Provjeri: količnik puta djelilac daje djeljenik.

8. Provjeri znanje

1. Koliko je 3 2/5?

2. Koliko je (1/2)/(3/4)?

3. Kolika je vrijednost 3x − 1/2 za x = 1/2?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 6. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 29. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.