Pojam negativnog broja i brojevna prava

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda. Otvori ovu temu u osnovnom programu 7. razreda →

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

objasniti šta je negativan broj i zašto nam je potreban;
prepoznati skup cijelih brojeva i pravilno ga zapisati;
smjestiti cijele brojeve (pozitivne, negativne i nulu) na brojevnu pravu;
porediti cijele brojeve gledajući njihov položaj na brojevnoj pravoj.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Šta su negativni brojevi?

Do sada si računao/la s brojevima 0, 1, 2, 3… — to su prirodni brojevi. Ali u svakodnevnom životu brojevi ponekad idu i ispod nule. Takve brojeve zovemo negativni brojevi i pišemo ih sa znakom minus ispred: −1, −2, −3… Čitaju se "minus jedan", "minus dva" i slično.

Brojevi veći od nule (1, 2, 3…) zovu se pozitivni brojevi i mogu se pisati i sa znakom plus (+5) iako ga obično izostavljamo. Broj 0 (nula) nije ni pozitivan ni negativan — on je granica između njih.

2. Zašto su nam potrebni negativni brojevi?

Negativni brojevi nam trebaju svaki put kad želimo opisati nešto što je "manje od ništa" ili "u suprotnom smjeru":

Temperatura: ako je napolju −5°C, to je 5 stepeni ispod nule — hladnije nego 0°C.
Dug: ako neko duguje 50 KM, to zapisujemo kao −50 KM (novac koji nema, nego mora vratiti).
Dubina: riba koja pliva na dubini od 10 metara ispod površine mora nalazi se na visini −10 m.

💡 Zapamti Znak minus (−) ispred broja ne znači "oduzimanje" nego govori da je taj broj s druge strane nule — ispod, lijevo, iza, dole… zavisno od situacije.

3. Skup cijelih brojeva

Kad pozitivnim brojevima, nuli i negativnim brojevima pridružimo jedan skup, dobijamo skup cijelih brojeva, u oznaci ℤ:

ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Skup se proteže beskonačno u oba smjera — nema ni najmanjeg ni najvećeg cijelog broja.

4. Brojevna prava

Brojevna prava je linija na kojoj su brojevi poredani po veličini: nula je u sredini, pozitivni brojevi idu udesno od nule, a negativni ulijevo od nule. Što je tačka više desno, broj je veći; što je više lijevo, broj je manji.

📏 Brojevna prava od −10 do 10

Uoči: što je broj dalje lijevo, to je manji — npr. −8 je manje od −2, iako "8" izgleda kao veća cifra.

5. Vizual: smjesti broj na pravu

🔍 Gdje je taj broj?

Upiši cijeli broj od −20 do 20. Marker će se pomjeriti na odgovarajuću tačku brojevne prave i reći ti je li broj pozitivan, negativan ili nula.

Broj:

Klikni 🎲 Slučajan broj za nov broj, ili ▶ Animiraj da gledaš kako se tačka pomjera korak po korak od trenutnog do novog broja.

6. Rješavamo korak po korak

Zadatak: Smjesti brojeve −3, 0, 4 i −7 na brojevnu pravu i poredaj ih od najmanjeg do najvećeg.

0Nacrtaj pravu i označi nulu. Nula dijeli pravu na pozitivni (desno) i negativni (lijevo) dio.

4 > 0Smjesti pozitivan broj 4. Broj 4 je pozitivan — ide 4 mjesta desno od nule.

−7 < −3 < 0Smjesti negativne brojeve −3 i −7. −3 ide 3 mjesta lijevo od nule, a −7 ide 7 mjesta lijevo od nule — dakle −7 je dalje lijevo od −3.

−7, −3, 0, 4Čitaj pravu slijeva nadesno. Slijeva nadesno redom se pojavljuju: −7, −3, 0, 4.

−7 < −3 < 0 < 4Zapiši poredak. Od najmanjeg do najvećeg: −7 < −3 < 0 < 4. ✅

Primjer iz života: U tri grada izmjerene su jutarnje temperature: Sarajevo −2°C, Mostar 5°C, Zenica −6°C. Poredaj gradove od najhladnijeg do najtoplijeg.
Rješenje: na brojevnoj pravoj −6 je najviše lijevo, zatim −2, pa 5 najviše desno. Dakle: −6 °C < −2 °C < 5 °C, odnosno od najhladnijeg do najtoplijeg: Zenica (−6°C) → Sarajevo (−2°C) → Mostar (5°C).

Još jedan primjer: Nadmorska visina
Nadmorska visina govori koliko je neko mjesto iznad ili ispod nivoa mora. Nivo mora je 0 m.
Tri mjesta: rudničko okno duboko 120 m ispod nivoa mora, Mrtvo more koje leži 430 m ispod nivoa mora, i grad Sarajevo na 500 m iznad nivoa mora.
Zapišimo brojevima: rudnik = −120 m, Mrtvo more = −430 m, Sarajevo = 500 m.
Poredaj od najnižeg do najvišeg mjesta: na brojevnoj pravoj −430 je najviše lijevo, zatim −120, pa 500 najviše desno.
Dakle: −430 < −120 < 500, odnosno od najnižeg do najvišeg: Mrtvo more (−430 m) → rudnik (−120 m) → Sarajevo (500 m). ✅

⚠️ Česte greške

Misliti da je −10 veće od −2 jer "10 je veći broj". Kod negativnih brojeva vrijedi obrnuto — što je "broj bez minusa" veći, negativan broj je manji. −10 je manje od −2.
Zaboraviti da 0 nije ni pozitivan ni negativan. Nula je tačno na granici — ne piše se sa znakom.
Čitati brojevnu pravu zdesna nalijevo. Brojevi uvijek rastu idući ulijevo nadesno — s lijeva se smanjuju, s desna povećavaju.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Položaj negativnog broja

Primjer 1

Opiši položaj broja −2 na brojevnoj pravoj.

0Počni od nule na pravoj sa jednakim jediničnim razmacima.

0 → −2Pomjeri se 2 jediničnih razmaka ulijevo.

−2 < 0Tačka je lijevo od nule; udaljena je 2 jedinica.

Primjer 2

Opiši položaj broja −5 na brojevnoj pravoj.

0Počni od nule na pravoj sa jednakim jediničnim razmacima.

0 → −5Pomjeri se 5 jediničnih razmaka ulijevo.

−5 < 0Tačka je lijevo od nule; udaljena je 5 jedinica.

Primjer 3

Opiši položaj broja −9 na brojevnoj pravoj.

0Počni od nule na pravoj sa jednakim jediničnim razmacima.

0 → −9Pomjeri se 9 jediničnih razmaka ulijevo.

−9 < 0Tačka je lijevo od nule; udaljena je 9 jedinica.

Promjena temperature preko nule

Primjer 1

Temperatura je −3 °C, a zatim poraste za 5 °C. Kolika je nova temperatura?

t=−3 + 5Porast temperature zapiši sabiranjem.

t=−3 + 3 + 2Prvo prijeđi od negativne temperature do nule.

t=2 °CPreostali porast vodi iznad nule.

Primjer 2

Temperatura je −6 °C, a zatim poraste za 10 °C. Kolika je nova temperatura?

t=−6 + 10Porast temperature zapiši sabiranjem.

t=−6 + 6 + 4Prvo prijeđi od negativne temperature do nule.

t=4 °CPreostali porast vodi iznad nule.

Primjer 3

Temperatura je −8 °C, a zatim poraste za 9 °C. Kolika je nova temperatura?

t=−8 + 9Porast temperature zapiši sabiranjem.

t=−8 + 8 + 1Prvo prijeđi od negativne temperature do nule.

t=1 °CPreostali porast vodi iznad nule.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koji od sljedećih brojeva je negativan?

2. Temperatura je −8°C. Šta to znači?

3. Koji je broj manji: −9 ili −3?

4. Sarajevo −2°C, Mostar 5°C, Zenica −6°C. Koji grad ima najnižu temperaturu?

Provjeri i objasni rezultat

Očekuješ li pozitivan, negativan ili nulti rezultat? Sabiranje provjeri oduzimanjem, a račun na brojevnoj pravoj provjeri ponovnim polaskom od početnog broja. Za −4 + 7 = 3 provjera je 3 − 7 = −4.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.