Konstrukcija trougla

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda. Otvori ovu temu u osnovnom programu 7. razreda →

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

objasniti nejednakost trougla i primijeniti je na tri date dužine;
odrediti da li je od tri data podatka moguće konstruisati trougao;
prepoznati osnovne uslove konstrukcije (SSS, SUS, USU);
opisati postupak konstrukcije trougla lenjirom i šestarom kad su date tri stranice.

Prije nego počneš

Pripremi ravnalo, šestar i uglomjer. Razlikuj duž od prave i obim od površine. Na crtežu prvo označi poznate podatke.

1. Nejednakost trougla

Ne mogu se bilo koje tri dužine spojiti u trougao! Da bi tri dužine a, b i c zaista činile trougao, mora vrijediti nejednakost trougla — zbir svake dvije stranice mora biti strogo veći od treće:

a + b > c • a + c > b • b + c > a

Sve tri nejednakosti moraju vrijediti istovremeno — dovoljno je da samo jedna ne vrijedi, pa trougao ne postoji.

💡 Zašto baš strogo veće? Ako je zbir dvije stranice jednak trećoj (npr. 2 + 3 = 5), stranice bi se "spljoštile" u pravu duž — nema trećeg tjemena, pa to nije pravi trougao. Zato je znak > (strogo veće), a ne ≥.

2. Uslovi konstrukcije

Trougao je određen do podudarnosti ako znamo jednu od ovih kombinacija podataka:

SSS (stranica–stranica–stranica) — poznate su sve tri stranice.
SUS (stranica–ugao–stranica) — poznate su dvije stranice i ugao između njih.
USU (ugao–stranica–ugao) — poznata je jedna stranica i dva ugla uz nju.

U svakom slučaju, prvo provjeravamo da li su podaci uopšte mogući (npr. kod SSS provjeravamo nejednakost trougla, a kod uglova da su oba pozitivna i da im je zbir strogo manji od 180°).

3. Vizual: provjeri trougao

📐 Unesi tri stranice

Upiši tri dužine i klikni "Provjeri" — program ispituje sve tri nejednakosti trougla, kaže da li je konstrukcija moguća i crta "lukove" šestara u pravoj razmjeri. Ako se lukovi ne sijeku, trougao ne postoji! Klikni 🎲 za nasumičan primjer.

Stranica a: Stranica b: Stranica c:

4. Rješavamo korak po korak

Provjerimo da li stranice 2, 3 i 6 mogu činiti trougao, korak po korak:

2 + 3 > 6?; 2 + 6 > 3?; 3 + 6 > 2?Zapiši sve tri nejednakosti koje treba provjeriti. 2 + 3 > 6? 2 + 6 > 3? 3 + 6 > 2?

2 + 3=5 < 6Provjeri prvu. 2 + 3 = 5. Da li je 5 > 6? Ne! Nejednakost nije zadovoljena.

2 + 3 ≤ 6Nema potrebe provjeravati dalje. Pošto jedna nejednakost ne vrijedi, dovoljno je da zaključimo — ne mora se biti sve tri ispitane do kraja.

a = 2; b = 3; c = 6 → nema trouglaZaključak. Trougao sa stranicama 2, 3 i 6 ne postoji — stranice 2 i 3 zajedno su prekratke da bi "dosegle" do kraja stranice 6.

5. Primjer

Primjer: Provjeri da li stranice 5 cm, 6 cm i 7 cm mogu činiti trougao, i opiši konstrukciju (SSS).
Provjera: 5 + 6 = 11 > 7 ✔, 5 + 7 = 12 > 6 ✔, 6 + 7 = 13 > 5 ✔. Sve tri nejednakosti vrijede, pa trougao postoji.
Konstrukcija lenjirom i šestarom: Prvo nacrtaj osnovicu dužine 7 cm (recimo stranicu c). Zatim šestarom iz jednog kraja osnovice nacrtaj luk poluprečnika 5 cm, a iz drugog kraja luk poluprečnika 6 cm. Tačka u kojoj se ta dva luka sijeku je treće tjeme trougla — spoji ga sa oba kraja osnovice i trougao je gotov.

Primjer iz svakodnevnog života: Za sportski dan praviš trougaonu zastavicu sa stranicama 6 cm, 8 cm i 10 cm. Da li takva zastavica uopšte može postojati?
Provjera: 6 + 8 = 14 > 10 ✔, 6 + 10 = 16 > 8 ✔, 8 + 10 = 18 > 6 ✔. Sve tri nejednakosti vrijede, pa zastavica postoji.
Bonus: Pošto je 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², zastavica je čak i pravougla trougaona zastavica! 🚩

⚠️ Česte greške

Provjera samo jedne kombinacije stranica. Moraš provjeriti sve tri nejednakosti (a+b>c, a+c>b, b+c>a) — ponekad samo jedna od njih ne vrijedi, a to je dovoljno da trougao ne postoji.
Mišljenje da bilo koje tri dužine čine trougao. Nisu sve kombinacije moguće — npr. 2, 3 i 6 ne mogu činiti trougao jer su dvije kraće stranice zajedno prekratke.
Korištenje ≥ umjesto >. Ako je zbir dvije stranice jednak trećoj (npr. 3+4=7), to nije pravi trougao — stranice se spljošte u duž. Nejednakost mora biti strogo veća.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Provjera nejednakosti trougla

Primjer 1

Može li postojati trougao sa stranicama 3 cm, 4 cm i 5 cm?

3 ≤ 4 ≤ 5Poredaj dužine i prepoznaj najdužu stranicu.

3 + 4 > 5Zbir dvije kraće stranice mora biti strogo veći od treće.

Konstrukcija je moguća.Jednakost ne daje trougao: tačke bi bile na istoj pravoj.

Primjer 2

Može li postojati trougao sa stranicama 2 cm, 3 cm i 5 cm?

2 ≤ 3 ≤ 5Poredaj dužine i prepoznaj najdužu stranicu.

2 + 3=5Zbir dvije kraće stranice mora biti strogo veći od treće.

Konstrukcija je nemoguća.Jednakost ne daje trougao: tačke bi bile na istoj pravoj.

Primjer 3

Može li postojati trougao sa stranicama 3 cm, 4 cm i 9 cm?

3 ≤ 4 ≤ 9Poredaj dužine i prepoznaj najdužu stranicu.

3 + 4 < 9Zbir dvije kraće stranice mora biti strogo veći od treće.

Konstrukcija je nemoguća.Jednakost ne daje trougao: tačke bi bile na istoj pravoj.

Konstrukcija po trima stranicama — SSS

Primjer 1

Konstruiraj trougao ABC: AB = 6 cm, AC = 5 cm, BC = 4 cm.

AB=6 cmLenjirom nacrtaj duž AB.

k₁(A, 5 cm)Šestar postavi u A i opiši luk poluprečnika AC.

k₂(B, 4 cm)Iz B opiši luk poluprečnika BC.

C ∈ k₁ ∩ k₂Jedno sjecište lukova označi C, pa spoji A–C i B–C.

AC = 5 cm; BC = 4 cmIzmjeri stranice i provjeri zadane dužine.

Primjer 2

Konstruiraj trougao ABC: AB = 6 cm, AC = 5 cm, BC = 5 cm.

AB=6 cmLenjirom nacrtaj duž AB.

k₁(A, 5 cm)Šestar postavi u A i opiši luk poluprečnika AC.

k₂(B, 5 cm)Iz B opiši luk poluprečnika BC.

C ∈ k₁ ∩ k₂Jedno sjecište lukova označi C, pa spoji A–C i B–C.

AC = 5 cm; BC = 5 cmIzmjeri stranice i provjeri zadane dužine.

Primjer 3

Konstruiraj trougao ABC: AB = 4 cm, AC = 4 cm, BC = 3 cm.

AB=4 cmLenjirom nacrtaj duž AB.

k₁(A, 4 cm)Šestar postavi u A i opiši luk poluprečnika AC.

k₂(B, 3 cm)Iz B opiši luk poluprečnika BC.

C ∈ k₁ ∩ k₂Jedno sjecište lukova označi C, pa spoji A–C i B–C.

AC = 4 cm; BC = 3 cmIzmjeri stranice i provjeri zadane dužine.

Konstrukcija po dvjema stranicama i uglu između njih — SUS

Primjer 1

Konstruiraj AB = 5 cm, AC = 4 cm i ∠BAC = 60°.

AB=5 cmNacrtaj prvu zadanu stranicu.

∠BAC=60°U A konstruiraj zadani ugao uz krak AB.

AC=4 cmNa drugom kraku odloži drugu stranicu šestarom.

BCSpoji preostale vrhove. Zadani ugao nalazi se između zadanih stranica.

Primjer 2

Konstruiraj AB = 6 cm, AC = 3 cm i ∠BAC = 90°.

AB=6 cmNacrtaj prvu zadanu stranicu.

∠BAC=90°U A konstruiraj zadani ugao uz krak AB.

AC=3 cmNa drugom kraku odloži drugu stranicu šestarom.

BCSpoji preostale vrhove. Zadani ugao nalazi se između zadanih stranica.

Primjer 3

Konstruiraj AB = 7 cm, AC = 5 cm i ∠BAC = 45°.

AB=7 cmNacrtaj prvu zadanu stranicu.

∠BAC=45°U A konstruiraj zadani ugao uz krak AB.

AC=5 cmNa drugom kraku odloži drugu stranicu šestarom.

BCSpoji preostale vrhove. Zadani ugao nalazi se između zadanih stranica.

Konstrukcija po stranici i dva nalegla ugla — USU

Primjer 1

Konstruiraj AB = 5 cm, ∠A = 30° i ∠B = 75°.

AB=5 cmNacrtaj zadanu stranicu.

∠A = 30°; ∠B = 75°U krajevima stranice nacrtaj uglove na istoj strani osnovice.

C=presjek krakovaNjihovo sjecište je treći vrh.

∠C = 180° − 30° − 75° = 75°Provjeri zbir uglova.

Primjer 2

Konstruiraj AB = 6 cm, ∠A = 45° i ∠B = 60°.

AB=6 cmNacrtaj zadanu stranicu.

∠A = 45°; ∠B = 60°U krajevima stranice nacrtaj uglove na istoj strani osnovice.

C=presjek krakovaNjihovo sjecište je treći vrh.

∠C = 180° − 45° − 60° = 75°Provjeri zbir uglova.

Primjer 3

Konstruiraj AB = 4 cm, ∠A = 60° i ∠B = 60°.

AB=4 cmNacrtaj zadanu stranicu.

∠A = 60°; ∠B = 60°U krajevima stranice nacrtaj uglove na istoj strani osnovice.

C=presjek krakovaNjihovo sjecište je treći vrh.

∠C = 180° − 60° − 60° = 60°Provjeri zbir uglova.

✅ Kviz — provjeri sebe (6 pitanja)

1. Da li stranice 3 cm, 4 cm i 6 cm mogu činiti trougao?

2. Da li stranice 2 cm, 3 cm i 6 cm mogu činiti trougao?

3. Šta znači oznaka SSS u konstrukciji trougla?

4. Stranice 3 cm, 4 cm i 7 cm — da li čine trougao?

5. Šta provjeravamo prije konstrukcije trougla po SSS (kad su date tri stranice)?

6. Zastavica za sportski dan ima stranice 6 cm, 8 cm i 10 cm. Da li takva zastavica može postojati?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.