Uređeni par, Dekartov proizvod i funkcija

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

razlikovati uređeni par od skupa
napisati Dekartov proizvod dva mala skupa
prepoznati funkciju prema uslovu „svaki, tačno jedan“

1. Razumij pojam

Par (a, b) je uređeni par: prvi član je a, drugi b. Redoslijed je važan, pa (1, 2) nije isto što i (2, 1). Skup {1, 2} nema takav redoslijed. Za A = {1, 2} i B = {a, b}, Dekartov proizvod A × B je skup svih parova čiji prvi član pripada A, a drugi B.

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Ako A ima 2, a B ima 3 elementa, A × B ima 2 · 3 = 6 parova. To možeš pregledno pokazati tabelom u kojoj se svaki red uparuje sa svakom kolonom.

2. Poveži i objasni

Funkcija iz A u B svakom elementu A pridružuje tačno jedan element B. Skup A zovemo domena. Za funkciju nisu dozvoljeni ulazi bez izlaza niti ulazi s dva različita izlaza. Više ulaza smije imati isti izlaz, a neki članovi B mogu ostati neiskorišteni.

Pravilo „broju pridruži njegov dvostruki broj“ na A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8} daje 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6. To je funkcija: svaki ulaz ima tačno jedan izlaz. Pravilo zadajemo riječima, tabelom, skupom parova ili dijagramom strelica.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Istraži pridruživanje

4. Riješi korak po korak

A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 6}Neka A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6}. Zadan je skup parova {(1, 2), (2, 4), (3, 4)}.

1 → 2; 2 → 4; 3 → 4Pregledaj svaki element A: 1 ima izlaz 2, broj 2 izlaz 4, broj 3 izlaz 4.

Broj izlaza svakog ulaza: 1Svaki ulaz ima tačno jedan izlaz. Dva ulaza imaju zajednički izlaz, što je dozvoljeno.

f: A → BZaključi: ovo jeste funkcija iz A u B. Element 6 ne mora biti nečiji izlaz.

5. Primijeni znanje

Primjer: Biraš majicu iz skupa {bijela, plava} i hlače iz skupa {crne, sive, zelene}. Dobijaš 2 · 3 = 6 kombinacija. Svaka kombinacija je uređeni par (majica, hlače). Ako svakom učeniku pridružiš njegov datum rođenja, dobijaš funkciju, iako više učenika može imati isti datum.

6. Vježbaj i obrazloži

Napiši {a, b} × {1, 2, 3}. Zatim odaberi tri para koji čine funkciju iz {1, 2, 3} u {a, b}. Zašto tvoji parovi nisu elementi prvog proizvoda?

Rješenje

Prvi proizvod je {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}. Primjer funkcije u suprotnom smjeru je {(1,a),(2,b),(3,a)}. Zamijenjen je redoslijed skupova, a time i članova para.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Ne zamjenjuj mjesta članovima uređenog para.
Izlaz bez ulazne strelice ne kvari funkciju.
Dvije strelice iz istog ulaza prema različitim izlazima nisu dozvoljene.

Od svih mogućih parova do funkcije

Dekartov proizvod sadrži sve dozvoljene parove. Funkcija bira tačno jedan izlaz za svaki ulaz. Nije dovoljno da se ulaz pojavi najviše jednom: nijedan član domene ne smije ostati bez izlaza. Svaki izabrani izlaz mora pripadati unaprijed zadanom skupu B.

Dekartov proizvod i provjera uslova funkcije — korak po korak

Primjer 1

Za A = {1, 2} i B = {a, b, c} napiši A × B, pa izdvoji jednu funkciju iz A u B.

A × B = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}Svaki od dva ulaza upari sa svakim od tri izlaza.

Broj parova: 2 · 3 = 6Provjeri da nijedan dozvoljeni par nisi izostavio.

f = {(1,b),(2,b)}Izaberi po jedan par za svaki ulaz. Isti izlaz za dva ulaza je dozvoljen.

1 → b; 2 → bSvaki ulaz ima tačno jedan izlaz koji pripada B: ovo je funkcija.

Primjer 2

Da li je {(1,a),(1,b),(2,c)} funkcija iz {1,2} u {a,b,c}? Kako je možeš popraviti?

1 → a i 1 → b; 2 → cProvjeri sve ulazne strelice.

Ulaz 1 ima dva različita izlaza.Zadan skup parova nije funkcija.

f = {(1,a),(2,c)}Uklanjanjem para (1,b) svaki ulaz ima tačno jedan izlaz. Moguća je i druga popravka.

Primjer 3

A = {1,2,3}, B = {2,4}. Zašto {(1,2),(2,4)} nije funkcija iz A u B? Da li je {(1,2),(2,4),(3,6)} popravka?

1 → 2; 2 → 4; 3 → ?Prvi zapis izostavlja ulaz 3, pa nije funkcija iz A.

6 ∉ BNi drugi zapis nije funkcija iz A u B: izlaz 6 nije dozvoljen.

f = {(1,2),(2,4),(3,2)}Izaberi za ulaz 3 jedan element B. Sada su oba uslova ispunjena.

Pokušaj samostalno

Napiši {a,b} × {0,1}. Iz tog proizvoda izdvoji funkciju koja oba ulaza šalje u 0. Objasni zašto {(a,0)} nije funkcija s domenom {a,b}.

Provjeri i obrazloži

Proizvod je {(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)}. Funkcija je {(a,0),(b,0)}. U zapisu {(a,0)} ulaz b nema izlaz.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Uređeni par i koordinatna mreža

Primjer 1

Označi tačku A(2, 4) u prvom kvadrantu.

x=2Od ishodišta se pomjeri po vodoravnoj osi udesno.

y=4Zatim se pomjeri po uspravnom pravcu prema gore.

A=(2, 4)Prvi broj određuje vodoravni, a drugi uspravni položaj.

Primjer 2

Označi tačku A(5, 1) u prvom kvadrantu.

x=5Od ishodišta se pomjeri po vodoravnoj osi udesno.

y=1Zatim se pomjeri po uspravnom pravcu prema gore.

A=(5, 1)Prvi broj određuje vodoravni, a drugi uspravni položaj.

Primjer 3

Označi tačku A(3, 3) u prvom kvadrantu.

x=3Od ishodišta se pomjeri po vodoravnoj osi udesno.

y=3Zatim se pomjeri po uspravnom pravcu prema gore.

A=(3, 3)Prvi broj određuje vodoravni, a drugi uspravni položaj.

Pravilo pridruživanja i tabela

Primjer 1

Za pravilo y = 2x + 1 izračunaj y kada je x = 3.

y=2 · 3 + 1Umjesto x uvrsti zadanu vrijednost.

y = 6 + 1 = 7Prvo množi, pa saberi.

(x, y)=(3, 7)Rezultat zapiši kao uređeni par u tabeli funkcije.

Primjer 2

Za pravilo y = 3x + 2 izračunaj y kada je x = 4.

y=3 · 4 + 2Umjesto x uvrsti zadanu vrijednost.

y = 12 + 2 = 14Prvo množi, pa saberi.

(x, y)=(4, 14)Rezultat zapiši kao uređeni par u tabeli funkcije.

Primjer 3

Za pravilo y = 4x + 3 izračunaj y kada je x = 2.

y=4 · 2 + 3Umjesto x uvrsti zadanu vrijednost.

y = 8 + 3 = 11Prvo množi, pa saberi.

(x, y)=(2, 11)Rezultat zapiši kao uređeni par u tabeli funkcije.

8. Provjeri znanje

1. Koliko elemenata ima A × B ako A ima 3, a B 4 elementa?

2. Šta mora važiti za funkciju iz A u B?

3. Je li {(1, 2), (1, 3), (2, 4)} funkcija iz {1, 2} u {2, 3, 4}?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 6. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 26. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.