Kružnica, krug, tangenta i uglovi kružnice

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

razlikovati kružnicu od kruga i imenovati luk, tetivu i prečnik
odrediti odnose prave i kružnice te dvije kružnice
konstruisati tangentu u tački kružnice i povezati centralni i periferijski ugao

1. Razumij pojam

Kružnica k(O,r) je skup svih tačaka ravni udaljenih r od centra O. Krug čine kružnica i njena unutrašnjost: udaljenost od O je manja ili jednaka r. Poluprečnik spaja centar s tačkom kružnice. Tetiva spaja dvije tačke kružnice; prečnik je tetiva koja prolazi kroz centar i ima dužinu 2r. Dva kraja tetive dijele kružnicu na dva kružna luka.

Prava može imati dvije zajedničke tačke s kružnicom (sječica), jednu (tangenta) ili nijednu. Uporedi udaljenost centra od prave d s poluprečnikom: d < r daje sječicu, d = r tangentu, a d > r pravu izvan kružnice.

Geometrijsku figuru posmatraj kao skup tačaka ravni. Zapis T ∈ k(O,r) znači OT = r, a za tačku unutar kruga vrijedi OT < r. Izlomljena linija nastaje povezivanjem duži redom. Jednostavna zatvorena izlomljena linija je rub mnogougla; njegovu unutrašnjost razlikuj od tog ruba.

2. Poveži i objasni

Dvije kružnice poluprečnika R i r i razmaka centara d sijeku se u dvije tačke ako |R − r| < d < R + r. Dodiruju se spolja kada d = R + r, a iznutra kada d = |R − r| > 0. Ako je d > R + r, odvojene su. Ako je d < |R − r|, manja leži unutar veće bez dodira. Za isti centar i različite poluprečnike su koncentrične, a za isti centar i poluprečnik podudaraju se.

Centralni ugao ima tjeme u centru, a periferijski na kružnici. Centralni ugao nad istim lukom je dvostruko veći od periferijskog. Periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki. Nad prečnikom periferijski ugao je 90°, jer odgovarajući centralni iznosi 180°.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Udaljenost prave od centra d (r = 5)

Isti luk, dva ugla

Pomjeri centralni ugao. Plave duži grade centralni ugao AOB, a zelene periferijski ACB nad istim lukom AB koji ne sadrži C.

Centralni ugao α u stepenima

4. Riješi korak po korak

T ∈ k(O, r); OT=rŽelimo tangentu na kružnicu k(O,r) u njenoj tački T. Nacrtaj poluprečnik OT.

AT=BT; A, T, B ∈ OTProduži pravu OT. Šestarom oko T označi dvije tačke A i B te prave jednako udaljene od T.

PQ ⟂ OT; T ∈ PQIz A i B jednakim otvorom šestara, većim od AT, nacrtaj lukove koji se sijeku u P i Q. Prava PQ prolazi kroz T i okomita je na OT.

PQ je tangenta; d(O, PQ)=rPrava PQ je tražena tangenta. Provjera: okomita je na poluprečnik u tački dodira, pa je njena udaljenost od O jednaka r.

Tangente iz tačke izvan kružnice: Neka P leži izvan k(O,r). Konstruši sredinu M duži OP i kružnicu sa centrom M kroz O i P. Njeni presjeci A i B s prvom kružnicom daju tačke dodira. Spoji PA i PB. Ugao OAP je prav jer je periferijski nad prečnikom OP pomoćne kružnice; zato je PA okomita na OA i tangenta. Isto važi za PB. Tako dobijaš dvije tangente. Ako P leži na kružnici, postoji jedna; ako je unutar, nema tangente koja prolazi kroz P.

5. Primijeni znanje

Primjer: Poluprečnici dvije kružnice su 5 cm i 3 cm. Kada je razmak centara 6 cm, vrijedi 2 < 6 < 8 pa se sijeku u dvije tačke. Kada je d = 8 cm dodiruju se spolja, a pri d = 2 cm iznutra. Centralnom uglu od 110° nad istim lukom odgovara periferijski ugao 55°.

6. Vježbaj i obrazloži

Šestarom nacrtaj dvije kružnice poluprečnika 3 cm i 2 cm. Postavi centre na udaljenost 1 cm, 4 cm i 6 cm. Prije crtanja predvidi broj zajedničkih tačaka. Zatim na jednoj kružnici konstruiraj tangentu u izabranoj tački i uglomjerom provjeri pravi ugao.

Provjeri predviđanja

Za d = 1 cm dodiruju se iznutra; za d = 4 cm sijeku se u dvije tačke; za d = 6 cm nemaju zajedničkih tačaka. Mjerenje provjerava crtež, a konstrukcija objašnjava zašto nastaje pravi ugao.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Krug sadrži unutrašnjost; kružnica je samo rub.
Tangenta je okomita na poluprečnik u tački dodira, a ne na bilo koju tetivu.
Za odnos centralnog i periferijskog ugla provjeri da pripadaju istom luku.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Poluprečnik i prečnik

Primjer 1

Poluprečnik kružnice je 3 cm. Nađi prečnik i udaljenost tačke T na kružnici od centra O.

d = 2r = 2 · 3Prečnik je dvostruki poluprečnik.

d=6 cmIzračunaj prečnik.

OT = r = 3 cmSve tačke kružnice jednako su udaljene od centra.

Primjer 2

Poluprečnik kružnice je 5 cm. Nađi prečnik i udaljenost tačke T na kružnici od centra O.

d = 2r = 2 · 5Prečnik je dvostruki poluprečnik.

d=10 cmIzračunaj prečnik.

OT = r = 5 cmSve tačke kružnice jednako su udaljene od centra.

Primjer 3

Poluprečnik kružnice je 8 cm. Nađi prečnik i udaljenost tačke T na kružnici od centra O.

d = 2r = 2 · 8Prečnik je dvostruki poluprečnik.

d=16 cmIzračunaj prečnik.

OT = r = 8 cmSve tačke kružnice jednako su udaljene od centra.

Tangenta i poluprečnik u dodirnoj tački

Primjer 1

Prava t dodiruje kružnicu u T, a r = 2 cm. Odredi ugao između OT i t i udaljenost O od t.

OT ⟂ tPoluprečnik povučen do dodirne tačke normalan je na tangentu.

∠(OT, t)=90°Normalnost daje pravi ugao.

d(O, t) = OT = 2 cmUdaljenost tačke od prave mjeri se dužinom normale.

Primjer 2

Prava t dodiruje kružnicu u T, a r = 4 cm. Odredi ugao između OT i t i udaljenost O od t.

OT ⟂ tPoluprečnik povučen do dodirne tačke normalan je na tangentu.

∠(OT, t)=90°Normalnost daje pravi ugao.

d(O, t) = OT = 4 cmUdaljenost tačke od prave mjeri se dužinom normale.

Primjer 3

Prava t dodiruje kružnicu u T, a r = 7 cm. Odredi ugao između OT i t i udaljenost O od t.

OT ⟂ tPoluprečnik povučen do dodirne tačke normalan je na tangentu.

∠(OT, t)=90°Normalnost daje pravi ugao.

d(O, t) = OT = 7 cmUdaljenost tačke od prave mjeri se dužinom normale.

Centralni i periferijski ugao nad istim lukom

Primjer 1

Centralni ugao nad jednim lukom je 60°. Koliki je periferijski ugao nad istim lukom?

α=2βCentralni ugao je dvostruki odgovarajući periferijski ugao.

β=60° : 2Podijeli mjeru centralnog ugla sa dva.

β=30°Provjera: 2 · 30° = 60°.

Primjer 2

Centralni ugao nad jednim lukom je 100°. Koliki je periferijski ugao nad istim lukom?

α=2βCentralni ugao je dvostruki odgovarajući periferijski ugao.

β=100° : 2Podijeli mjeru centralnog ugla sa dva.

β=50°Provjera: 2 · 50° = 100°.

Primjer 3

Centralni ugao nad jednim lukom je 150°. Koliki je periferijski ugao nad istim lukom?

α=2βCentralni ugao je dvostruki odgovarajući periferijski ugao.

β=150° : 2Podijeli mjeru centralnog ugla sa dva.

β=75°Provjera: 2 · 75° = 150°.

8. Provjeri znanje

1. Koliki je periferijski ugao nad istim lukom kao centralni od 84°?

2. Prava je od centra udaljena 4 cm, a r = 4 cm. Šta je prava?

3. Dva kruga imaju poluprečnike 4 i 2, a d = 7. Koliko zajedničkih tačaka imaju kružnice?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 6. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 27. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.