Susjedni, uporedni, unakrsni i dopunski uglovi

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

prepoznati susjedne, uporedne i unakrsne uglove
računati komplement i suplement ugla
obrazložiti nepoznati ugao prema odnosu krakova

1. Razumij pojam

Dva ugla su susjedna ako imaju isto tjeme i jedan zajednički krak, a njihove unutrašnjosti se ne preklapaju. Ako nezajednički kraci obrazuju pravu, susjedni uglovi su uporedni; njihov zbir je 180°. Susjedni uglovi ne moraju uvijek biti uporedni.

Kad se dvije prave sijeku, nasuprotni uglovi su unakrsni. Unakrsni uglovi su jednaki. Zašto? Uglovi α i β zajedno daju 180°, a i ugao nasuprot α zajedno s istim β daje 180°. Oba su jednaka razlici 180° − β.

2. Poveži i objasni

Dva ugla su komplementna ako im je zbir 90°, a suplementna ako im je zbir 180°. Ti pojmovi govore o zbiru, a ne o položaju. Uglovi mogu biti nacrtani daleko jedan od drugog, a ipak biti suplementni.

Komplement ugla 35° je 90° − 35° = 55°. Suplement je 180° − 35° = 145°. U skici uvijek prvo utvrdi geometrijsku vezu, zatim računaj. Nemoj zaključiti da su uglovi jednaki samo zato što slično izgledaju.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Polazni ugao α

4. Riješi korak po korak

α=63°Dvije prave se sijeku. Jedan ugao je 63°. Označi ga α.

γ = α = 63°Unakrsni ugao je također 63°, jer su unakrsni uglovi jednaki.

β = δ = 180° − 63° = 117°Svaki od dva susjedna uporedna ugla iznosi 180° − 63° = 117°.

63° + 117° + 63° + 117°=360°Provjeri cijeli krug oko tjemena: 63° + 117° + 63° + 117° = 360°.

5. Primijeni znanje

Primjer: Ugao i njegov komplement razlikuju se za 20°. Neka je manji x. Veći je x + 20°, a zbir 90°: x + x + 20° = 90°. Zato 2x = 70° i x = 35°. Veći ugao je 55°. Provjeri: 35° + 55° = 90° i 55° − 35° = 20°.

6. Vježbaj i obrazloži

Jedan od četiri ugla pri presjeku dvije prave iznosi 28°40′. Odredi ostale. Objasni zašto postoje najviše dvije različite veličine.

Rješenje

Nasuprotni je 28°40′. Preostala dva iznose 180° − 28°40′ = 151°20′. Nasuprotni uglovi se pojavljuju u jednakim parovima.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Svaki par susjednih uglova nema nužno zbir 180°.
Suplementni uglovi ne moraju imati zajedničko tjeme.
Unakrsni ugao je jednak polaznom, a susjedni uporedni dopunjuje ga do 180°.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Komplementni uglovi

Primjer 1

Jedan od dva komplementna ugla je 25°. Nađi drugi.

α + β=90°Koristi zadani zbir uglova.

β=90° − 25°Od ukupnog ugla oduzmi poznati.

β=65°Provjera: 25° + 65° = 90°.

Primjer 2

Jedan od dva komplementna ugla je 48°. Nađi drugi.

α + β=90°Koristi zadani zbir uglova.

β=90° − 48°Od ukupnog ugla oduzmi poznati.

β=42°Provjera: 48° + 42° = 90°.

Primjer 3

Jedan od dva komplementna ugla je 72°. Nađi drugi.

α + β=90°Koristi zadani zbir uglova.

β=90° − 72°Od ukupnog ugla oduzmi poznati.

β=18°Provjera: 72° + 18° = 90°.

Suplementni i naporedni uglovi

Primjer 1

Jedan od dva naporedna ugla je 35°. Nađi drugi.

α + β=180°Koristi zadani zbir uglova.

β=180° − 35°Od ukupnog ugla oduzmi poznati.

β=145°Provjera: 35° + 145° = 180°.

Primjer 2

Jedan od dva naporedna ugla je 110°. Nađi drugi.

α + β=180°Koristi zadani zbir uglova.

β=180° − 110°Od ukupnog ugla oduzmi poznati.

β=70°Provjera: 110° + 70° = 180°.

Primjer 3

Jedan od dva naporedna ugla je 147°. Nađi drugi.

α + β=180°Koristi zadani zbir uglova.

β=180° − 147°Od ukupnog ugla oduzmi poznati.

β=33°Provjera: 147° + 33° = 180°.

Unakrsni uglovi

Primjer 1

Dvije prave se sijeku. Jedan ugao je 38°. Nađi njegov unakrsni i oba naporedna ugla.

α = 38°; γ = α = 38°Unakrsni uglovi su jednaki.

β = 180° − 38° = 142°Naporedni uglovi zajedno daju 180°.

δ = β = 142°Drugi par unakrsnih uglova je također jednak.

38° + 142° + 38° + 142°=360°Provjeri puni ugao oko sjecišta.

Primjer 2

Dvije prave se sijeku. Jedan ugao je 65°. Nađi njegov unakrsni i oba naporedna ugla.

α = 65°; γ = α = 65°Unakrsni uglovi su jednaki.

β = 180° − 65° = 115°Naporedni uglovi zajedno daju 180°.

δ = β = 115°Drugi par unakrsnih uglova je također jednak.

65° + 115° + 65° + 115°=360°Provjeri puni ugao oko sjecišta.

Primjer 3

Dvije prave se sijeku. Jedan ugao je 122°. Nađi njegov unakrsni i oba naporedna ugla.

α = 122°; γ = α = 122°Unakrsni uglovi su jednaki.

β = 180° − 122° = 58°Naporedni uglovi zajedno daju 180°.

δ = β = 58°Drugi par unakrsnih uglova je također jednak.

122° + 58° + 122° + 58°=360°Provjeri puni ugao oko sjecišta.

8. Provjeri znanje

1. Koliki je suplement ugla 72°?

2. Ugao od 43° i njegov unakrsni ugao imaju mjere:

3. Mogu li dva ugla na različitim mjestima biti komplementna?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 6. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 27. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.