Površina četverougla: romb i trapez

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

izračunati površinu romba formulom P = (d₁ · d₂) : 2;
izračunati površinu trapeza formulom P = ((a + b) : 2) · h;
razlikovati osnovice trapeza od njegovih krakova;
prepoznati i primijeniti sve naučene formule za četverouglove.

Prije nego počneš

Pripremi ravnalo, šestar i uglomjer. Razlikuj duž od prave i obim od površine. Na crtežu prvo označi poznate podatke.

1. Površina romba

Romb je paralelogram kod kojeg su sve četiri stranice jednake dužine. Njegove dvije dijagonale (d₁ i d₂) sijeku se pod pravim uglom i dijele ga na četiri trougla jednake površine. Površinu romba računamo preko dijagonala:

P = (d₁ · d₂) : 2

Primjer: romb s dijagonalama d₁ = 6 cm i d₂ = 8 cm. P = (6 · 8) : 2 = 48 : 2 = 24 cm².

2. Površina trapeza

Trapez je četverougao kod kojeg su samo dvije stranice paralelne — zovemo ih osnovice (duža a i kraća b). Druge dvije stranice su kraci i nisu paralelne. Visina h je rastojanje između osnovica, pod pravim uglom.

P = ((a + b) : 2) · h

Primjer: trapez s osnovicama a = 10 cm, b = 6 cm i visinom h = 4 cm. P = ((10 + 6) : 2) · 4 = (16 : 2) · 4 = 8 · 4 = 32 cm².

3. Vizual: romb i trapez

◇ Romb i trapez

Kod romba su označene dijagonale d₁ i d₂ (isprekidano). Kod trapeza su označene osnovice a, b i visina h (isprekidano, pod pravim uglom).

4. Izračunaj uživo

🔢 Izaberi oblik i pomjeri klizače

Izaberi romb ili trapez, pa pomjeri klizače — oblik i površina mijenjaju se odmah, uživo.

Oblik

Dijagonala d₁: 6 cm Dijagonala d₂: 8 cm

P = (6 · 8) : 2 = 24 cm²

5. Rješavamo korak po korak: trapez a = 10 cm, b = 6 cm, h = 4 cm

a + b = 10 + 6 = 16 cmSaberi osnovice. a + b = 10 + 6 = 16.

16 : 2=8 cmPodijeli sa 2. 16 : 2 = 8 (to je srednja linija trapeza).

8 · 4=32Pomnoži visinom. 8 · 4 = 32.

P=32 cm²Zapiši rezultat. P = 32 cm².

6. Primjer

Primjer: Romb ima dijagonale d₁ = 10 cm i d₂ = 12 cm. Izračunaj površinu.
Rješenje: P = (d₁ · d₂) : 2 = (10 · 12) : 2 = 120 : 2 = 60 cm².

Primjer iz dnevne sobe: Ćilim na podu dnevne sobe ima oblik romba. Njegove dijagonale su d₁ = 2 m i d₂ = 1,5 m. Koliko m² poda prekriva taj ćilim?
Korak 1: Zapiši dijagonale: d₁ = 2 m, d₂ = 1,5 m.
Korak 2: Pomnoži dijagonale: d₁ · d₂ = 2 · 1,5 = 3.
Korak 3: Podijeli sa 2: 3 : 2 = 1,5.
Rješenje: Ćilim prekriva P = 1,5 m² poda. ✅

7. Pregled svih formula za četverouglove

Evo svih formula koje si naučio/la u ovoj oblasti, na jednom mjestu:

Paralelogram: P = a · h

Pravougaonik: O = 2(a + b), P = a · b

Kvadrat: O = 4a, P = a²

Romb: P = (d₁ · d₂) : 2

Trapez: P = ((a + b) : 2) · h

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno dijeljenje sa 2. I kod romba i kod trapeza na kraju se dijeli sa 2 — P = (d₁·d₂):2, odnosno P = ((a+b):2)·h.
Miješanje osnovica trapeza s krakovima. Samo su a i b paralelne osnovice; kraci (preostale dvije stranice, koje nisu osnovice) se ne koriste u formuli za površinu.
Korištenje kose stranice umjesto visine. Visina h trapeza mora biti okomita (normalna) na obje osnovice, nikad kosi krak.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Površina romba iz dijagonala

Primjer 1

Dijagonale romba su 8 cm i 6 cm. Nađi površinu.

P=d₁ · d₂ : 2Dijagonale romba su međusobno normalne.

P=8 · 6 : 2Uvrsti dužine dijagonala.

P=24 cm²Izračunaj proizvod i podijeli ga sa 2.

Primjer 2

Dijagonale romba su 10 cm i 12 cm. Nađi površinu.

P=d₁ · d₂ : 2Dijagonale romba su međusobno normalne.

P=10 · 12 : 2Uvrsti dužine dijagonala.

P=60 cm²Izračunaj proizvod i podijeli ga sa 2.

Primjer 3

Dijagonale romba su 14 cm i 9 cm. Nađi površinu.

P=d₁ · d₂ : 2Dijagonale romba su međusobno normalne.

P=14 · 9 : 2Uvrsti dužine dijagonala.

P=63 cm²Izračunaj proizvod i podijeli ga sa 2.

Površina trapeza

Primjer 1

Osnovice trapeza su 9 cm i 5 cm, a visina 4 cm. Nađi površinu.

P=(a + b) · h : 2Saberi paralelne osnovice, pa koristi visinu između njih.

P=(9 + 5) · 4 : 2Uvrsti podatke.

P = 14 · 4 : 2 = 28 cm²Površinu izrazi u cm².

Primjer 2

Osnovice trapeza su 12 cm i 6 cm, a visina 5 cm. Nađi površinu.

P=(a + b) · h : 2Saberi paralelne osnovice, pa koristi visinu između njih.

P=(12 + 6) · 5 : 2Uvrsti podatke.

P = 18 · 5 : 2 = 45 cm²Površinu izrazi u cm².

Primjer 3

Osnovice trapeza su 15 cm i 7 cm, a visina 6 cm. Nađi površinu.

P=(a + b) · h : 2Saberi paralelne osnovice, pa koristi visinu između njih.

P=(15 + 7) · 6 : 2Uvrsti podatke.

P = 22 · 6 : 2 = 66 cm²Površinu izrazi u cm².

✅ Kviz — provjeri sebe (5 pitanja)

1. Romb ima dijagonale d₁ = 6 cm i d₂ = 8 cm. Kolika je površina?

2. Trapez ima osnovice a = 10 cm, b = 6 cm i visinu h = 4 cm. Kolika je površina?

3. Pravougaonik ima stranice 6 cm i 4 cm. Kolika je površina?

4. Kvadrat ima stranicu a = 5 cm. Kolika je površina?

5. Šta su osnovice trapeza?

8. Šta dalje?

Sada znaš kako povezati osnovice, visine i dijagonale s površinom četverougla. Prije nastavka samostalno riješi po jedan zadatak za romb i trapez. Nastavi prema preporučenom putu na pregledu razreda: nakon ovog dijela još te čekaju konstrukcije, mnogouglovi i krug.

Provjeri i objasni rezultat

Provjeri jesi li kao visinu koristio okomitu udaljenost do osnovice i jesu li sve dužine u istoj jedinici. Obim zapisuj u jedinicama dužine, a površinu u kvadratnim jedinicama. Kod pravilnog mnogougla provjeri da koristiš jednakost svih stranica i uglova; rastavljanjem na trouglove nezavisno provjeri zbir uglova.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 34. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.