Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.
1. Zašto rastavljamo na činioce?
Rastavljanje na činioce je obrnut postupak od množenja: umjesto da zbir zapišemo kao zbir članova, zapišemo ga kao proizvod (množenje) dva ili više izraza. To je korisno kad kasnije rješavamo jednačine ili skraćujemo razlomke sa slovima.
2. Zajednički faktor
Ako se isti faktor pojavljuje u svakom članu polinoma, možemo ga izvući ispred zagrade — to je distributivni zakon unazad.
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Zajednički faktor brojeva 6 i 9 je 3, a zajednički faktor x² i x je x. Zato izvlačimo 3x: 3x · 2x = 6x² ✓ i 3x · 3 = 9x ✓.
3. Razlika kvadrata
Ako imaš razliku dva kvadrata, formula iz prošle lekcije radi unazad:
Ako polinom ima oblik a² + 2ab + b², to je zapravo razvijen kvadrat zbira:
a² + 2ab + b² = (a + b)² • a² − 2ab + b² = (a − b)²
Primjer: x² + 6x + 9 = x² + 2 · x · 3 + 3² = (x + 3)². Prepoznaj: prvi i zadnji član su kvadrati (x² i 3²), a srednji član je dvostruki proizvod (2 · x · 3 = 6x).
5. Vizual: izvuci zajednički faktor
🧩 Izvlačenje zajedničkog faktora
Upiši polinom oblika Ax² + Bx (koeficijenti A i B) — vizual pronalazi najveći zajednički faktor brojeva i slova te prikazuje rastavljeni oblik.
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Najveći zajednički djelilac brojeva 6 i 9 je 3; zajednički je i x.
6. Primjer korak po korak: rastavi 4x² − 9
Riješimo zajedno, korak po korak, kako prepoznati i primijeniti formulu razlike kvadrata.
4x² − 9Prepoznaj oblik. 4x² − 9 je razlika dva člana — provjeri jesu li oba kvadrati.
4x² = (2x)²; 9 = 3²Zapiši svaki član kao kvadrat. 4x² = (2x)², a 9 = 3².
a² − b²=(a − b)(a + b)Primijeni formulu. a² − b² = (a − b)(a + b), gdje je a = 2x, b = 3.
Primjer iz života: Dvorište pravougaonog oblika ima površinu 8x² + 12x kvadratnih metara. Da bismo našli moguće dimenzije dvorišta, rastavimo izraz na činioce: najveći zajednički djelilac brojeva 8 i 12 je 4, a zajedničko slovo je x, pa je 8x² + 12x = 4x(2x + 3). To znači da dvorište može imati širinu 4x metara i dužinu (2x + 3) metara.
⚠️ Česte greške
Izvučen samo dio zajedničkog faktora: kod 6x² + 9x zajednički faktor je 3x (i brojevi i slovo), a ne samo 3 ili samo x.
a² + b² se NE rastavlja kao razlika kvadrata — formula a² − b² = (a−b)(a+b) radi samo za razliku, ne za zbir.
Provjeri uvijek množenjem: nakon rastavljanja pomnoži dobijene činioce — mora se vratiti polazni polinom.
Riješeni zadaci — korak po korak
Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.
Izdvajanje zajedničkog faktora
Primjer 1
Rastavi 6x² + 9x na faktore.
6x² = 3x · 2x; 9x = 3x · 3Prepoznaj zajednički brojevni i slovni faktor.
6x² + 9x=3x(2x + 3)Zajednički faktor izvuci ispred zagrade.
=(x − 2)(x + 2)Primijeni obrazac za razliku kvadrata.
(x − 2)(x + 2)=x² + 2x − 2x − 4Provjeri da se srednji članovi ponište.
Primjer 2
Rastavi x² − 16 na faktore.
x² − 16=x² − 4²Prepoznaj kvadrate oba člana.
=(x − 4)(x + 4)Primijeni obrazac za razliku kvadrata.
(x − 4)(x + 4)=x² + 4x − 4x − 16Provjeri da se srednji članovi ponište.
Primjer 3
Rastavi x² − 49 na faktore.
x² − 49=x² − 7²Prepoznaj kvadrate oba člana.
=(x − 7)(x + 7)Primijeni obrazac za razliku kvadrata.
(x − 7)(x + 7)=x² + 7x − 7x − 49Provjeri da se srednji članovi ponište.
Prepoznavanje kvadrata binoma
Primjer 1
Rastavi x² + 6x + 9.
x² + 6x + 9=x² + 2 · x · 3 + 3²Prepoznaj prvi kvadrat, dvostruki proizvod i drugi kvadrat.
=(x + 3)²Upotrijebi obrazac unazad.
(x + 3)(x + 3)=x² + 6x + 9Provjeri množenjem.
Primjer 2
Rastavi x² + 10x + 25.
x² + 10x + 25=x² + 2 · x · 5 + 5²Prepoznaj prvi kvadrat, dvostruki proizvod i drugi kvadrat.
=(x + 5)²Upotrijebi obrazac unazad.
(x + 5)(x + 5)=x² + 10x + 25Provjeri množenjem.
Primjer 3
Rastavi x² + 12x + 36.
x² + 12x + 36=x² + 2 · x · 6 + 6²Prepoznaj prvi kvadrat, dvostruki proizvod i drugi kvadrat.
=(x + 6)²Upotrijebi obrazac unazad.
(x + 6)(x + 6)=x² + 12x + 36Provjeri množenjem.
Kviz — provjeri sebe
1. Rastavi na činioce: 10x² + 15x.
2. Rastavi na činioce: x² − 25.
3. Rastavi na činioce: x² + 10x + 25.
4. Koji je najveći zajednički monom koji izdvajamo iz 8a²b − 12ab²?
Provjeri i objasni rezultat
Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.
Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.