Primjena linearnih jednačina

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

prevesti tekst zadatka u algebarski izraz i jednačinu,
označiti nepoznatu veličinu slovom x i izraziti ostale veličine pomoću nje,
riješiti jednačinu i protumačiti rješenje u kontekstu zadatka,
provjeriti rješenje vraćanjem u originalni tekst zadatka.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Kako postaviti jednačinu iz teksta

Rješavanje tekstualnog zadatka ima uvijek isti postupak: (1) pažljivo pročitaj zadatak, (2) nepoznatu veličinu označi sa x, (3) ostale veličine izrazi pomoću x, (4) postavi jednačinu prema uslovu zadatka, (5) riješi jednačinu, (6) protumači rješenje i provjeri ga.

2. Zadatak o brojevima

Zadatak: Zbir dva broja je 50. Veći broj je za 8 veći od manjeg. Koji su to brojevi?
Rješenje: Manji broj označi sa x, veći je tada x + 8. Zbir: x + (x + 8) = 50 → 2x + 8 = 50 → 2x = 42 → x = 21. Manji broj je 21, veći je 21 + 8 = 29. Provjera: 21 + 29 = 50 ✓.

3. Zadatak o godinama

Zadatak: Otac je 4 puta stariji od sina. Zbir njihovih godina je 45. Koliko godina ima svako?
Rješenje: Sinove godine označi sa x, očeve su tada 4x. Zbir: x + 4x = 45 → 5x = 45 → x = 9. Sin ima 9 godina, otac 4 · 9 = 36 godina. Provjera: 9 + 36 = 45 ✓.

4. Vizual: podijeli broj na dva dijela

🔢 Podijeli zbir na dva broja s razlikom

Upiši zbir dva broja (S) i njihovu razliku (R, veći minus manji) — alat postavlja jednačinu x + (x + R) = S i rješava je.

zbir (S) razlika (R)

x + (x + 8) = 50 ⇒ manji 21, veći 29

2x + R = S ⇒ x = (S − R) / 2.

5. Primjer korak po korak: obim pravougaonika

Zadatak: obim pravougaonika je 36 cm, a dužina je 3 cm veća od širine. Odredi stranice.

b = x; a = x + 3Uvedi nepoznatu. Širinu označi sa x, tada je dužina x + 3.

2(x + x + 3)=36Postavi jednačinu prema formuli za obim. O = 2(a + b) → 2(x + (x + 3)) = 36.

4x + 6=36Otvori zagradu i sredi. 2(2x + 3) = 36 → 4x + 6 = 36.

4x = 30; x = 7,5Riješi jednačinu. 4x = 30 → x = 7,5.

b = 7,5 cm; a = 10,5 cm; O = 36 cmProtumači rješenje. Širina je 7,5 cm, dužina 7,5 + 3 = 10,5 cm. Provjera: 2(7,5 + 10,5) = 2 · 18 = 36 ✓.

Primjer iz života: Amar i Dino imaju zajedno 40 sličica. Amar ima 6 sličica više od Dina. Koliko sličica ima svako? Dinove sličice označi sa x, Amarove su tada x + 6. Zbir: x + (x + 6) = 40 → 2x + 6 = 40 → 2x = 34 → x = 17. Dino ima 17 sličica, Amar 17 + 6 = 23 sličice. Provjera: 17 + 23 = 40 ✓.

⚠️ Česte greške

Pogrešno izražena druga veličina: ako je "veći broj za 8 veći od manjeg", to je x + 8, a ne 8 − x ili 8x.
Zaboravljena provjera u kontekstu zadatka: nakon što riješiš x, vrati se i izračunaj traženu veličinu (ne samo x) te provjeri uslov zadatka.
Nerazumno rješenje nije provjereno: ako dobiješ negativan broj godina ili stranica, vjerovatno je greška u postavljanju jednačine — uvijek provjeri da li rješenje ima smisla.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Zadaci o brojevima

Primjer 1

Zbir nekog broja i njegovog dvostrukog iznosa je 21. Koji je to broj?

x + 2x=21Neka je nepoznati broj x.

3x=21Saberi slične članove.

x = 21 : 3 = 7Riješi jednačinu.

7 + 14=21Odgovor provjeri prema tekstu zadatka.

Primjer 2

Zbir nekog broja i njegovog dvostrukog iznosa je 36. Koji je to broj?

x + 2x=36Neka je nepoznati broj x.

3x=36Saberi slične članove.

x = 36 : 3 = 12Riješi jednačinu.

12 + 24=36Odgovor provjeri prema tekstu zadatka.

Primjer 3

Zbir nekog broja i njegovog dvostrukog iznosa je 45. Koji je to broj?

x + 2x=45Neka je nepoznati broj x.

3x=45Saberi slične članove.

x = 45 : 3 = 15Riješi jednačinu.

15 + 30=45Odgovor provjeri prema tekstu zadatka.

Zadaci o godinama

Primjer 1

Amar je 3 godine stariji od Lejle. Zajedno imaju 25 godina. Koliko godina ima svako?

x + (x + 3)=25Neka x označava Lejline godine.

2x = 25 − 3 = 22Sredi izraz i odvoji nepoznati član.

x = 11; x + 3 = 14Izračunaj godine oboje.

11 + 14 = 25; 14 − 11 = 3Provjeri i zbir i razliku godina.

Primjer 2

Amar je 4 godine stariji od Lejle. Zajedno imaju 28 godina. Koliko godina ima svako?

x + (x + 4)=28Neka x označava Lejline godine.

2x = 28 − 4 = 24Sredi izraz i odvoji nepoznati član.

x = 12; x + 4 = 16Izračunaj godine oboje.

12 + 16 = 28; 16 − 12 = 4Provjeri i zbir i razliku godina.

Primjer 3

Amar je 2 godine stariji od Lejle. Zajedno imaju 28 godina. Koliko godina ima svako?

x + (x + 2)=28Neka x označava Lejline godine.

2x = 28 − 2 = 26Sredi izraz i odvoji nepoznati član.

x = 13; x + 2 = 15Izračunaj godine oboje.

13 + 15 = 28; 15 − 13 = 2Provjeri i zbir i razliku godina.

Zadaci o obimu pravougaonika

Primjer 1

Dužina pravougaonika je za 3 cm veća od širine. Obim je 22 cm. Nađi stranice.

2[x + (x + 3)]=22Širinu označi x, a dužinu x plus razlika.

4x + 6=22Otvori zagrade i saberi slične članove.

4x = 16; x = 4Oduzmi poznati broj i podijeli sa 4.

a = 7 cm; b = 4 cmProvjera: 2 · (7 + 4) = 22 cm.

Primjer 2

Dužina pravougaonika je za 5 cm veća od širine. Obim je 34 cm. Nađi stranice.

2[x + (x + 5)]=34Širinu označi x, a dužinu x plus razlika.

4x + 10=34Otvori zagrade i saberi slične članove.

4x = 24; x = 6Oduzmi poznati broj i podijeli sa 4.

a = 11 cm; b = 6 cmProvjera: 2 · (11 + 6) = 34 cm.

Primjer 3

Dužina pravougaonika je za 2 cm veća od širine. Obim je 32 cm. Nađi stranice.

2[x + (x + 2)]=32Širinu označi x, a dužinu x plus razlika.

4x + 4=32Otvori zagrade i saberi slične članove.

4x = 28; x = 7Oduzmi poznati broj i podijeli sa 4.

a = 9 cm; b = 7 cmProvjera: 2 · (9 + 7) = 32 cm.

Kviz — provjeri sebe

1. Zbir dva broja je 30, a veći je za 4 veći od manjeg. Koji je manji broj?

2. Majka je 3 puta starija od kćerke, a zbir godina je 48. Koliko ima kćerka?

3. Obim pravougaonika je 28 cm, dužina je 2 cm veća od širine. Kolika je širina?

4. Koji je prvi korak pri rješavanju tekstualnog zadatka?

Provjeri i objasni rezultat

Uvrsti dobijenu vrijednost umjesto x u početnu jednačinu. Posebno izračunaj lijevu i desnu stranu. Moraju dati isti broj. Zatim provjeri da li broj odgovara pitanju iz zadatka.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 32. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.