Rješavanje linearnih jednačina

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

riješiti jednačinu oblika ax + b = c,
prebaciti članove s jedne strane jednačine na drugu uz promjenu znaka,
riješiti jednačinu s nepoznatom na obje strane,
riješiti jednačinu koja ima zagrade.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Osnovno pravilo rješavanja

Cilj je uvijek isti: dobiti x na jednoj strani, a broj na drugoj. To radimo istim operacijama na obje strane jednačine, dok ne izoliramo x.

3x + 5 = 20 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5

Prvi korak: oduzmemo 5 sa obje strane (3x + 5 − 5 = 20 − 5 → 3x = 15). Drugi korak: podijelimo obje strane sa 3 (3x : 3 = 15 : 3 → x = 5).

2. Prebacivanje na drugu stranu

Umjesto da svaki put pišemo "oduzmi/dodaj na obje strane", koristimo kraću prečicu: kad broj ili monom prebacimo na drugu stranu jednakosti, on mijenja znak (plus postaje minus i obrnuto).

3x + 5 = 20 ⇒ 3x = 20 − 5 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5

Ovo je samo skraćeni zapis istog postupka iz prethodne tačke — rezultat je identičan.

3. Nepoznata na obje strane jednačine

Kad se x pojavljuje na obje strane, prvo sve članove s x prebaci na jednu stranu, a sve brojeve na drugu.

5x − 7 = 2x + 8 ⇒ 5x − 2x = 8 + 7 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5

Prebacili smo 2x na lijevu stranu (promijenio znak u −2x) i −7 na desnu stranu (promijenio znak u +7).

4. Jednačine sa zagradama

Ako jednačina ima zagrade, prvo ih otvori (pomnoži distributivno), a tek onda rješavaj kao obično.

2(x + 3) = 16 ⇒ 2x + 6 = 16 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5

5. Vizual: riješi jednačinu ax + b = c

🧮 Rješavač jednačine ax + b = c

Upiši koeficijente a, b i c (a ≠ 0) — alat prikazuje postupak prebacivanja i rješenje.

a (uz x) b c (desna strana)

3x + 5 = 20 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5

Prebaci b na drugu stranu uz promjenu znaka, pa podijeli sa a.

6. Primjer korak po korak: 2(x + 3) = 16

Riješimo zajedno, korak po korak, jednačinu sa zagradom.

2x + 6=16Otvori zagradu. 2(x + 3) = 2x + 6, pa jednačina postaje 2x + 6 = 16.

2x = 16 − 6 = 10Prebaci broj na drugu stranu. 2x = 16 − 6 = 10.

x = 10 : 2 = 5Podijeli sa koeficijentom uz x. x = 10 : 2 = 5.

2(5 + 3)=16Provjeri uvrštavanjem. 2(5 + 3) = 2 · 8 = 16 ✓. Rješenje: x = 5.

Primjer: Riješi 4x − 3 = x + 9. Prebaci x na lijevo, brojeve na desno: 4x − x = 9 + 3 → 3x = 12 → x = 4. Provjera: 4·4 − 3 = 13, i 4 + 9 = 13 ✓.

Primjer iz života: Već imaš 12 KM ušteđeno, a svake sedmice dodaješ po 4 KM. Htio bi za loptu koja košta 40 KM. Postavi jednačinu: 4x + 12 = 40. Riješi: 4x = 40 − 12 = 28, pa je x = 7. Za 7 sedmica imaćeš dovoljno novca. Provjera: 4 · 7 + 12 = 28 + 12 = 40 ✓.

⚠️ Česte greške

Zaboravljena promjena znaka pri prebacivanju: 3x + 5 = 20 → 3x = 20 − 5 (minus), nikad 3x = 20 + 5.
Otvaranje zagrade bez množenja svih članova: 2(x + 3) = 2x + 6, a ne 2x + 3 — broj ispred zagrade množi SVAKI član unutra.
Dijeljenje samo jedne strane: kad dijeliš jednačinu koeficijentom, moraš podijeliti obje strane, ne samo onu s x.
Nema provjere: uvijek uvrsti dobijeno rješenje nazad u polaznu jednačinu da provjeriš tačnost.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Nepoznata na jednoj strani

Primjer 1

Riješi 4x + 5 = 17.

4x=17 − 5Od obje strane oduzmi poznati sabirak.

4x=12Izračunaj desnu stranu.

x = 12 : 4 = 3Obje strane podijeli koeficijentom.

4 · 3 + 5=17Provjeri početnu jednačinu.

Primjer 2

Riješi 3x + 7 = 22.

3x=22 − 7Od obje strane oduzmi poznati sabirak.

3x=15Izračunaj desnu stranu.

x = 15 : 3 = 5Obje strane podijeli koeficijentom.

3 · 5 + 7=22Provjeri početnu jednačinu.

Primjer 3

Riješi 6x + 2 = 26.

6x=26 − 2Od obje strane oduzmi poznati sabirak.

6x=24Izračunaj desnu stranu.

x = 24 : 6 = 4Obje strane podijeli koeficijentom.

6 · 4 + 2=26Provjeri početnu jednačinu.

Nepoznata na obje strane

Primjer 1

Riješi 5x + 2 = 2x + 14.

5x − 2x=14 − 2Od obje strane oduzmi isti član s x i isti broj.

3x=12Saberi slične članove.

x = 12 : 3 = 4Podijeli obje strane nenultim koeficijentom.

5 · 4 + 2 = 2 · 4 + 14 = 22Uvrsti rješenje na obje strane.

Primjer 2

Riješi 7x + 3 = 3x + 11.

7x − 3x=11 − 3Od obje strane oduzmi isti član s x i isti broj.

4x=8Saberi slične članove.

x = 8 : 4 = 2Podijeli obje strane nenultim koeficijentom.

7 · 2 + 3 = 3 · 2 + 11 = 17Uvrsti rješenje na obje strane.

Primjer 3

Riješi 6x + 4 = 1x + 19.

6x − 1x=19 − 4Od obje strane oduzmi isti član s x i isti broj.

5x=15Saberi slične članove.

x = 15 : 5 = 3Podijeli obje strane nenultim koeficijentom.

6 · 3 + 4 = 1 · 3 + 19 = 22Uvrsti rješenje na obje strane.

Jednačine sa zagradama

Primjer 1

Riješi 2(x + 4) = 18.

2x + 8=18Pomnoži svaki član u zagradi brojem ispred nje.

2x = 18 − 8 = 10Od obje strane oduzmi isti broj.

x = 10 : 2 = 5Podijeli koeficijentom.

2(5 + 4)=18Provjeri početnu jednačinu.

Primjer 2

Riješi 3(x + 2) = 24.

3x + 6=24Pomnoži svaki član u zagradi brojem ispred nje.

3x = 24 − 6 = 18Od obje strane oduzmi isti broj.

x = 18 : 3 = 6Podijeli koeficijentom.

3(6 + 2)=24Provjeri početnu jednačinu.

Primjer 3

Riješi 4(x + 3) = 20.

4x + 12=20Pomnoži svaki član u zagradi brojem ispred nje.

4x = 20 − 12 = 8Od obje strane oduzmi isti broj.

x = 8 : 4 = 2Podijeli koeficijentom.

4(2 + 3)=20Provjeri početnu jednačinu.

Kviz — provjeri sebe

1. Riješi jednačinu 4x − 7 = 13.

2. Riješi jednačinu 5x + 2 = 2x + 14.

3. Riješi jednačinu 3(x − 2) = 9.

4. Koji je prvi korak pri rješavanju jednačine 2(x + 5) = 3x − 1?

Provjeri i objasni rezultat

Uvrsti dobijenu vrijednost umjesto x u početnu jednačinu. Posebno izračunaj lijevu i desnu stranu. Moraju dati isti broj. Zatim provjeri da li broj odgovara pitanju iz zadatka.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 32. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.