Konstrukcije pravilnih mnogouglova i vanjski uglovi

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

konstruisati jednakostranični trougao, kvadrat i pravilni šestougao
povezati centralni, unutrašnji i vanjski ugao pravilnog mnogougla
obrazložiti zbir vanjskih uglova obilaskom ruba

1. Razumij pojam

Pravilni mnogougao ima jednake stranice i jednake unutrašnje uglove. Kod pravilnog n-terougla upisanog u kružnicu, centar i dva susjedna tjemena određuju centralni ugao 360°/n. Zbir unutrašnjih uglova je (n − 2) · 180°, a svaki unutrašnji ugao jednak je tom zbiru podijeljenom s n.

Kad obilaziš konveksni mnogougao istim smjerom, na svakom tjemenu se zakreneš za njegov vanjski ugao. Na kraju si napravio jedan puni okret: zbir po jednog takvog vanjskog ugla uz svako tjeme je 360°. Vanjski i pripadajući unutrašnji ugao imaju zbir 180°.

2. Poveži i objasni

Za pravilni šestougao nacrtaj kružnicu i istim otvorom šestara, jednakim poluprečniku, odloži šest uzastopnih tetiva. Dobijaš šest jednakih stranica. Spajanjem centra sa susjednim tjemenima nastaju jednakostranični trouglovi, pa svaki centralni ugao ima 60°.

Spajanjem svakog drugog tjemena šestougla dobijaš jednakostranični trougao. Za kvadrat konstruiši dva međusobno okomita prečnika i spoji njihove krajeve redom. Za pravilni osmougao dodatno prepolovi četiri centralna prava ugla pa poveži osam tačaka. Ne može se svaki pravilni mnogougao konstruisati samo ravnalom i šestarom; crtanje uglomjerom je druga vrsta postupka.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Istraži konstrukciju

4. Riješi korak po korak

k(O, r); A ∈ kKonstruši pravilni šestougao. Nacrtaj kružnicu sa centrom O i izaberi tačku A na njoj.

AB = BC = CD = DE = EF = FA = rBez promjene otvora šestara, iz A presijeci kružnicu u B, pa iz B u C. Nastavi istim smjerom do šest tačaka.

A–B–C–D–E–F–ASpoji susjedne tačke. Posljednja stranica treba spojiti šesto tjeme s A.

6 · 60° = 360°; α = 120°Provjeri: svih šest stranica imaju dužinu r; centralni uglovi su 60°, unutrašnji 120°, vanjski 60°. Šest vanjskih uglova daje 360°.

5. Primijeni znanje

Primjer: Pravilni osmougao ima centralni ugao 360° : 8 = 45°, unutrašnji (8 − 2) · 180° : 8 = 135° i vanjski 45°. Obim je 8a. Za stranicu 3 cm obim je 24 cm. Jednakost centralnog i vanjskog ugla ovdje vrijedi zato što je mnogougao pravilan.

6. Vježbaj i obrazloži

Konstruši kvadrat i pravilni šestougao na kružnicama istog poluprečnika. Je li stranica kvadrata jednaka poluprečniku? Objasni zašto šestougao možeš odložiti istim otvorom šestara.

Provjeri razumijevanje

Stranica kvadrata veća je od poluprečnika, pa isti otvor nije dovoljan. Kod šestougla dva poluprečnika i stranica čine jednakostranični trougao: svih šest centralnih uglova iznose 60°.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Jednake stranice same nisu dovoljne za pravilnost: romb može imati različite uglove.
Kod odlaganja tetiva ne mijenjaj otvor šestara.
Zbir unutrašnjih uglova nije uvijek 360°; to važi za četverougao.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Konstrukcija pravilnog šestougla

Primjer 1

Konstruiraj pravilni šestougao upisan u kružnicu poluprečnika 2 cm.

k(O, 2 cm)Nacrtaj kružnicu i odaberi početnu tačku A.

AB = BC = CD = DE = EF = FA = 2 cmIstim otvorom šestara redom odloži šest tetiva.

A–B–C–D–E–F–ASpoji susjedne vrhove.

O₆ = 6 · 2 = 12 cmProvjeri: stranica upisanog pravilnog šestougla jednaka je poluprečniku.

Primjer 2

Konstruiraj pravilni šestougao upisan u kružnicu poluprečnika 3 cm.

k(O, 3 cm)Nacrtaj kružnicu i odaberi početnu tačku A.

AB = BC = CD = DE = EF = FA = 3 cmIstim otvorom šestara redom odloži šest tetiva.

A–B–C–D–E–F–ASpoji susjedne vrhove.

O₆ = 6 · 3 = 18 cmProvjeri: stranica upisanog pravilnog šestougla jednaka je poluprečniku.

Primjer 3

Konstruiraj pravilni šestougao upisan u kružnicu poluprečnika 4 cm.

k(O, 4 cm)Nacrtaj kružnicu i odaberi početnu tačku A.

AB = BC = CD = DE = EF = FA = 4 cmIstim otvorom šestara redom odloži šest tetiva.

A–B–C–D–E–F–ASpoji susjedne vrhove.

O₆ = 6 · 4 = 24 cmProvjeri: stranica upisanog pravilnog šestougla jednaka je poluprečniku.

Konstrukcija kvadrata upisanog u kružnicu

Primjer 1

Konstruiraj kvadrat u kružnici prečnika 4 cm.

AC=4 cm; O je sredina ACNacrtaj prečnik.

BD ⟂ AC; B, D ∈ kKroz centar povuci normalni prečnik.

A–B–C–D–ASpoji susjedne krajeve prečnika.

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°Jednaki centralni uglovi daju jednake stranice kvadrata.

Primjer 2

Konstruiraj kvadrat u kružnici prečnika 6 cm.

AC=6 cm; O je sredina ACNacrtaj prečnik.

BD ⟂ AC; B, D ∈ kKroz centar povuci normalni prečnik.

A–B–C–D–ASpoji susjedne krajeve prečnika.

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°Jednaki centralni uglovi daju jednake stranice kvadrata.

Primjer 3

Konstruiraj kvadrat u kružnici prečnika 8 cm.

AC=8 cm; O je sredina ACNacrtaj prečnik.

BD ⟂ AC; B, D ∈ kKroz centar povuci normalni prečnik.

A–B–C–D–ASpoji susjedne krajeve prečnika.

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°Jednaki centralni uglovi daju jednake stranice kvadrata.

Konstrukcija jednakostraničnog trougla

Primjer 1

Konstruiraj jednakostranični trougao stranice 3 cm.

AB=3 cmNacrtaj jednu stranicu.

k₁(A, 3 cm); k₂(B, 3 cm)Iz krajeva nacrtaj lukove jednakog poluprečnika.

C ∈ k₁ ∩ k₂; spoji AC i BCOdaberi jedno sjecište.

AB = AC = BC = 3 cmSve tri dužine su jednake po konstrukciji.

Primjer 2

Konstruiraj jednakostranični trougao stranice 4 cm.

AB=4 cmNacrtaj jednu stranicu.

k₁(A, 4 cm); k₂(B, 4 cm)Iz krajeva nacrtaj lukove jednakog poluprečnika.

C ∈ k₁ ∩ k₂; spoji AC i BCOdaberi jedno sjecište.

AB = AC = BC = 4 cmSve tri dužine su jednake po konstrukciji.

Primjer 3

Konstruiraj jednakostranični trougao stranice 5 cm.

AB=5 cmNacrtaj jednu stranicu.

k₁(A, 5 cm); k₂(B, 5 cm)Iz krajeva nacrtaj lukove jednakog poluprečnika.

C ∈ k₁ ∩ k₂; spoji AC i BCOdaberi jedno sjecište.

AB = AC = BC = 5 cmSve tri dužine su jednake po konstrukciji.

8. Provjeri znanje

1. Koliki je vanjski ugao pravilnog šestougla?

2. Šta dobijaš spajanjem svakog drugog tjemena pravilnog šestougla?

3. Zbir vanjskih uglova konveksnog mnogougla je:

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 7. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 34. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.