Zbir uglova mnogougla

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

izračunati zbir unutrašnjih uglova mnogougla formulom (n−2)·180°,
objasniti odakle dolazi ta formula (podjela na trouglove),
izračunati veličinu ugla pravilnog mnogougla,
navesti da je zbir spoljašnjih uglova svakog konveksnog mnogougla uvijek 360°.

Prije nego počneš

Pripremi ravnalo, šestar i uglomjer. Razlikuj duž od prave i obim od površine. Na crtežu prvo označi poznate podatke.

1. Podsjetnik: zbir uglova trougla

Već znaš da je zbir unutrašnjih uglova trougla uvijek 180°. Taj podatak je ključ za računanje zbira uglova bilo kojeg mnogougla.

2. Formula za zbir uglova mnogougla

Zbir unutrašnjih uglova mnogougla sa n stranica računa se formulom:

zbir uglova = (n − 2) · 180°

Primjer: Petougao ima n = 5 stranica: zbir uglova = (5 − 2) · 180° = 3 · 180° = 540°.

3. Zašto formula radi? (triangulacija)

Iz jednog tjemena konveksnog mnogougla sa n stranica možemo povući dijagonale koje ga dijele na (n − 2) trouglova — to se zove triangulacija. Pošto svaki trougao ima zbir uglova 180°, ukupan zbir svih uglova mnogougla je (n − 2) · 180°.

Na primjer, četverougao (n = 4) se iz jednog tjemena dijeli na 4 − 2 = 2 trougla, pa je zbir njegovih uglova 2 · 180° = 360°.

4. Zbir spoljašnjih uglova

Zanimljiva činjenica: zbir spoljašnjih uglova (po jedan u svakom tjemenu, produženjem stranice) svakog konveksnog mnogougla, bez obzira na broj stranica, uvijek iznosi:

zbir spoljašnjih uglova = 360°

Spoljašnji i unutrašnji ugao u istom tjemenu su uporedni (čine 180°), pa iz ove veze možemo lako izvesti i formulu za unutrašnje uglove.

5. Vizual: izračunaj zbir uglova mnogougla

📐 Zbir unutrašnjih uglova

Pomjeri klizač za broj stranica n (3–12) — vidiš pravilni mnogougao, njegov zbir uglova i veličinu jednog ugla. Dugme "Animiraj" redom prikazuje sve mnogouglove od trougla do dvanaestougla.

broj stranica (n): 6

(6 − 2) · 180° = 720°

Pravilni šestougao: svaki ugao je 720° : 6 = 120°.

6. Primjer korak po korak: zbir uglova osmougla

n=8Zapiši broj stranica. Osmougao ima n = 8.

S=(8 − 2) · 180°Uvrsti u formulu. zbir = (n − 2) · 180° = (8 − 2) · 180°.

8 − 2=6Izračunaj zagradu. 8 − 2 = 6.

S = 6 · 180° = 1080°Pomnoži. 6 · 180° = 1080°.

α = 1080° : 8 = 135°Zapiši rješenje. Zbir unutrašnjih uglova osmougla je 1080°. Ako je pravilan, svaki ugao iznosi 1080° : 8 = 135°.

Primjer: Zbir uglova četverougla je (4−2)·180° = 360°. U pravilnom četverouglu (kvadratu) svaki ugao je 360° : 4 = 90° — baš kao što znaš!

Primjer iz života: Ukrasni sat na zidu učionice ima oblik pravilnog dvanaestougla (n = 12, kao 12 brojeva na satu). Zbir unutrašnjih uglova: (12 − 2) · 180° = 10 · 180° = 1800°. Svaki ugao tog sata iznosi 1800° : 12 = 150°.

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno oduzimanje 2: formula je (n − 2) · 180°, ne n · 180°.
Dijeljenje zbira uglova sa n radi samo za PRAVILNE mnogouglove — kod nepravilnih uglovi mogu biti različiti, iako im je zbir isti.
Pomiješan zbir unutrašnjih i spoljašnjih uglova: unutrašnji zavisi od broja stranica, a zbir spoljašnjih uglova konveksnog mnogougla (po jedan u istom smjeru obilaska) je 360°, bez obzira na n.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Zbir unutrašnjih uglova

Primjer 1

Izračunaj zbir unutrašnjih uglova konveksnog 5-ugla.

S=(n − 2) · 180°Podijeli mnogougao na trouglove iz jednog vrha.

S=(5 − 2) · 180°Uvrsti broj stranica.

S=540°Svaki od n − 2 trouglova doprinosi sa 180°.

Primjer 2

Izračunaj zbir unutrašnjih uglova konveksnog 7-ugla.

S=(n − 2) · 180°Podijeli mnogougao na trouglove iz jednog vrha.

S=(7 − 2) · 180°Uvrsti broj stranica.

S=900°Svaki od n − 2 trouglova doprinosi sa 180°.

Primjer 3

Izračunaj zbir unutrašnjih uglova konveksnog 10-ugla.

S=(n − 2) · 180°Podijeli mnogougao na trouglove iz jednog vrha.

S=(10 − 2) · 180°Uvrsti broj stranica.

S=1440°Svaki od n − 2 trouglova doprinosi sa 180°.

Ugao pravilnog mnogougla i vanjski ugao

Primjer 1

Nađi unutrašnji i pripadajući vanjski ugao pravilnog 6-ugla.

S = (6 − 2) · 180° = 720°Prvo izračunaj zbir unutrašnjih uglova.

α = 720° : 6 = 120°Svi unutrašnji uglovi pravilnog mnogougla su jednaki.

β = 180° − 120° = 60°Pripadajući vanjski i unutrašnji ugao su naporedni.

6 · 60°=360°Provjeri zbir vanjskih uglova.

Primjer 2

Nađi unutrašnji i pripadajući vanjski ugao pravilnog 8-ugla.

S = (8 − 2) · 180° = 1080°Prvo izračunaj zbir unutrašnjih uglova.

α = 1080° : 8 = 135°Svi unutrašnji uglovi pravilnog mnogougla su jednaki.

β = 180° − 135° = 45°Pripadajući vanjski i unutrašnji ugao su naporedni.

8 · 45°=360°Provjeri zbir vanjskih uglova.

Primjer 3

Nađi unutrašnji i pripadajući vanjski ugao pravilnog 12-ugla.

S = (12 − 2) · 180° = 1800°Prvo izračunaj zbir unutrašnjih uglova.

α = 1800° : 12 = 150°Svi unutrašnji uglovi pravilnog mnogougla su jednaki.

β = 180° − 150° = 30°Pripadajući vanjski i unutrašnji ugao su naporedni.

12 · 30°=360°Provjeri zbir vanjskih uglova.

Kviz — provjeri sebe

1. Koliki je zbir unutrašnjih uglova sedmougla?

2. Koliki je svaki ugao pravilnog šestougla?

3. Koliki je zbir spoljašnjih uglova desetougla?

4. Na koliko trouglova triangulacijom dijelimo devetougao iz jednog tjemena?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 34. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.