Množenje, dijeljenje i izrazi s cijelim brojevima

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

objasniti pravilo znakova pomoću pravilnosti
računati proizvode, količnike i izraze s cijelim brojevima
povezati rezultat s temperaturom, dugom ili promjenom

1. Razumij pojam

Skup Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} proširuje prirodne brojeve. Sabiranjem, oduzimanjem i množenjem cijelih brojeva opet dobijaš cijeli broj. Kod dijeljenja to nije uvijek tako: 3 : 2 = 1,5 nije cijeli broj. Dijeljenje nulom nije definisano.

Proizvod dva broja jednakih znakova je pozitivan, a različitih znakova negativan. Prvo pomnoži apsolutne vrijednosti, zatim odredi znak. Tako je (−4) · 3 = −12, a (−4) · (−3) = 12. Nula puta bilo koji broj daje nulu.

2. Poveži i objasni

Pravilo nije samo rečenica za pamćenje. Posmatraj niz: (−3) · 2 = −6, (−3) · 1 = −3, (−3) · 0 = 0. Kada se drugi faktor smanji za 1, proizvod se poveća za 3. Sljedeći rezultat zato je (−3) · (−1) = 3, a zatim (−3) · (−2) = 6.

Dijeljenje provjeri množenjem: (−18) : 3 = −6 jer 3 · (−6) = −18. Vrijedi (−18) : (−3) = 6. U izrazu prvo riješi zagrade, zatim množenje i dijeljenje, pa sabiranje i oduzimanje. Za proizvod više faktora prebroji negativne: paran broj negativnih faktora daje pozitivan, a neparan negativan proizvod, osim ako neki faktor iznosi nula.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Drugi faktor b u (−3) · b

4. Riješi korak po korak

−6 + 3 · (−4) − (−18) : 6Izračunaj −6 + 3 · (−4) − (−18) : 6.

3 · (−4) = −12; (−18) : 6 = −3Prvo množenje: 3 · (−4) = −12. Dijeljenje: (−18) : 6 = −3.

−6 + (−12) − (−3)=−18 + 3Sada je izraz −6 + (−12) − (−3) = −18 + 3.

−18 + 3=−15Rezultat je −15. Provjeri redoslijed: računao si dva proizvoda/količnika prije sabiranja i promijenio oduzimanje negativnog u sabiranje.

5. Primijeni znanje

Primjer: Temperatura opada po 2°C svakog sata. Za 4 sata promjena je 4 · (−2°C) = −8°C. Ako je početno bilo 3°C, završno je 3°C − 8°C = −5°C. Za izraz −2 · (3 − 7) možeš prvo zagradu: −2 · (−4) = 8, ili distributivnost: −6 + 14 = 8.

6. Vježbaj i obrazloži

Izračunaj na dva načina: (−4) · (5 − 8). Zatim riješi 12 − (−3) · 2 i (−48) : (−6) : (−2). Opiši priču u kojoj rezultat −6 predstavlja promjenu, a ne konačno stanje.

Rješenja

Prvi izraz daje (−4) · (−3) = 12, ili −20 + 32 = 12. Drugi daje 12 + 6 = 18. Treći se računa slijeva nadesno: 8 : (−2) = −4. Primjer promjene je pad temperature za 6°C.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Dva negativna sabirka ne daju pozitivan zbir: −3 + (−2) = −5.
Pravilo znakova za proizvod razlikuj od oduzimanja negativnog broja.
Ne dijeli nulom i ne pretpostavljaj da je svaki količnik cijeli broj.

Isti zadatak riješi na dva načina

Prije računanja izdvoji podatke potrebne za pitanje. Procijeni znak rezultata. Zatim biraj: nekad je lakše prvo izračunati zagradu, a nekad primijeniti distributivnost. Drugi način je i nezavisna provjera. Negativan broj ovdje može predstavljati dug, gubitak ili pomjeranje naniže.

Izbor strategije i provjera cijelobrojnog izraza — korak po korak

Primjer 1

Izračunaj (−4) · (7 − 10) na dva načina.

7 − 10 = −3; (−4) · (−3) = 12Prvi način: prvo računaj zagradu.

(−4) · 7 − (−4) · 10 = −28 − (−40)Drugi način: množenje rasporedi na oba člana razlike.

−28 + 40 = 12Oduzimanje negativnog broja je sabiranje suprotnog. Rezultati se podudaraju.

Primjer 2

Tri dana zaredom izgubiš po 8 bodova, zatim dobiješ 30 bodova. Zapiši i izračunaj ukupnu promjenu.

3 · (−8) + 30 = −24 + 30 = 6Prvi način: saberemo ukupan gubitak i dobitak.

3 · (−8) + 3 · 10 = 3 · (−8 + 10)Drugi način: dobitak 30 rastavi u tri jednaka dijela.

3 · 2 = 6Ukupna promjena je +6 bodova, a ne broj bodova koji si imao na početku.

Primjer 3

Temperatura je počela na 2°C. Četiri sata pada po 3°C na sat, pa zatim poraste za 5°C. Kolika je na kraju?

2 + 4 · (−3) + 5 = 2 − 12 + 5Množenje računamo prije sabiranja.

2 − 12 + 5 = −10 + 5 = −5Prvi način prati redoslijed događaja.

(2 + 5) − 12 = 7 − 12 = −5Drugi način grupiše pozitivne promjene. Uz svaki sabirak sačuvaj znak.

−5°CPočetna temperatura i ukupna promjena daju završnu temperaturu.

Pokušaj samostalno

Izračunaj (−6) · (4 − 9) na dva načina. U igri izgubiš po 5 bodova u četiri kruga, pa dobiješ 17 bodova. Koji podatak još trebaš da odrediš konačan ukupan broj bodova?

Provjeri i obrazloži

Prvo zagrada daje (−6) · (−5) = 30. Distributivno dobijaš −24 − (−54) = 30. U igri je promjena 4 · (−5) + 17 = −3 boda. Za konačan broj bodova potreban je i početni broj bodova.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Množenje cijelih brojeva

Primjer 1

Izračunaj (−3) · (4).

Znak: −Jednaki znakovi daju pozitivan, a različiti negativan rezultat.

3 · 4=12Izračunaj s apsolutnim vrijednostima.

(−3) · (4)=−12Spoji određeni znak i izračunatu apsolutnu vrijednost.

Primjer 2

Izračunaj (−5) · (−6).

Znak: +Jednaki znakovi daju pozitivan, a različiti negativan rezultat.

5 · 6=30Izračunaj s apsolutnim vrijednostima.

(−5) · (−6)=30Spoji određeni znak i izračunatu apsolutnu vrijednost.

Primjer 3

Izračunaj (7) · (−2).

Znak: −Jednaki znakovi daju pozitivan, a različiti negativan rezultat.

7 · 2=14Izračunaj s apsolutnim vrijednostima.

(7) · (−2)=−14Spoji određeni znak i izračunatu apsolutnu vrijednost.

Dijeljenje cijelih brojeva

Primjer 1

Izračunaj (−24) : (6).

Znak: −Jednaki znakovi daju pozitivan, a različiti negativan rezultat.

24 : 6=4Izračunaj s apsolutnim vrijednostima.

(−24) : (6)=−4Spoji određeni znak i izračunatu apsolutnu vrijednost.

Primjer 2

Izračunaj (−35) : (−5).

Znak: +Jednaki znakovi daju pozitivan, a različiti negativan rezultat.

35 : 5=7Izračunaj s apsolutnim vrijednostima.

(−35) : (−5)=7Spoji određeni znak i izračunatu apsolutnu vrijednost.

Primjer 3

Izračunaj (42) : (−7).

Znak: −Jednaki znakovi daju pozitivan, a različiti negativan rezultat.

42 : 7=6Izračunaj s apsolutnim vrijednostima.

(42) : (−7)=−6Spoji određeni znak i izračunatu apsolutnu vrijednost.

Redoslijed računskih operacija

Primjer 1

Izračunaj 15 + (−3) · 4.

15 + (−3) · 4Množenje ima prednost u odnosu na sabiranje.

=15 + (−12)Prvo izračunaj proizvod, uključujući znak.

=3Na kraju saberi cijele brojeve.

Primjer 2

Izračunaj 7 + (−5) · 2.

7 + (−5) · 2Množenje ima prednost u odnosu na sabiranje.

=7 + (−10)Prvo izračunaj proizvod, uključujući znak.

=−3Na kraju saberi cijele brojeve.

Primjer 3

Izračunaj -6 + (−2) · -3.

-6 + (−2) · -3Množenje ima prednost u odnosu na sabiranje.

=-6 + (6)Prvo izračunaj proizvod, uključujući znak.

=0Na kraju saberi cijele brojeve.

8. Provjeri znanje

1. Koliko je (−7) · (−3)?

2. Koliko je −20 : 5 + 2?

3. Koji količnik pripada Z?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 7. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 31. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.