prepoznati četiri osnovna izometrijska preslikavanja
konstruisati sliku tačke i trougla
provjeriti očuvanje dužina, uglova i podudarnosti
1. Razumij pojam
Izometrija je preslikavanje koje čuva udaljenosti između tačaka. Slika duži ima istu dužinu, a slika trougla je podudaran trougao. Translacija, rotacija, osna i centralna simetrija su izometrije. Uvećavanje koje mijenja dužine nije izometrija.
Translacija pomjera svaku tačku za isti vektor. Ako A ide 3 polja desno i 2 gore, isto tako pomjeri sve ostale tačke. Rotacija okreće figuru oko zadanog centra O za zadani ugao i smjer. Udaljenost OA se ne mijenja: slika A′ leži na istoj kružnici oko O.
2. Poveži i objasni
Za osnu simetriju prema pravoj s kroz A povuci okomicu na s. Na suprotnoj strani odloži jednaku udaljenost do A′. Osa s je simetrala duži AA′. Tačke na osi ostaju na mjestu. Za cijelu figuru preslikaj karakteristične tačke pa ih spoji istim redoslijedom.
Za centralnu simetriju prema O tačku A′ stavi na pravu AO s druge strane O tako da OA′ = OA. Centar O je sredina AA′. To je jednako rotaciji za 180°. Osna simetrija mijenja orijentaciju figure poput ogledala; translacija i rotacija čuvaju orijentaciju.
3. Istraži i provjeri pretpostavku
Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.
4. Riješi korak po korak
△ABC → △A′B′C′Preslikaj trougao ABC osnom simetrijom prema pravoj s.
AA′ ⟂ s; AH=HA′Kroz A konstruiši okomicu na s i označi presjek H. Šestarom prenesi HA na drugu stranu od H: dobijaš A′. Ako A leži na s, tada A′ = A.
BB′ ⟂ s; CC′ ⟂ sIsti postupak ponovi za B i C, pa spoji A′B′C′.
AB = A′B′; BC = B′C′; CA = C′A′Provjeri AB = A′B′, BC = B′C′ i CA = C′A′. Svaka duž koja spaja tačku i njenu sliku okomita je na osu i prepolovljena njome.
5. Primijeni znanje
Primjer: Na kvadratnoj mreži A je 2 polja desno i 1 gore od O. Centralnom simetrijom A′ postaje 2 polja lijevo i 1 dolje. Rotacijom od 90° suprotno kazaljci sata A prelazi 1 polje lijevo i 2 gore. Dužina OA ostaje ista, iako se položaj mijenja.
6. Vježbaj i obrazloži
Na papiru nacrtaj slovo F. Preslikaj ga translacijom, osnom i centralnom simetrijom. Koja slika mijenja orijentaciju poput ogledala? Šta se dešava nakon dvije osne simetrije prema istoj osi?
Rješenje
Osna simetrija daje ogledalsku sliku. Dvije uzastopne osne simetrije prema istoj osi vraćaju svaku tačku na početno mjesto. U sva tri preslikavanja čuvaju se dužine.
7. Česte greške
⚠️ Zastani i provjeri
Kod osne simetrije udaljenost mjeri okomito na osu.
Kod rotacije uvijek zadaj centar, ugao i smjer.
Samo pomjeranje jednog tjemena nije preslikavanje cijele figure.
Riješeni zadaci — korak po korak
Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.
Osna simetrija
Primjer 1
Preslikaj tačku A(2, 3) osnom simetrijom oko x-ose.
A=(2, 3)Zapiši početnu tačku.
x′ = 2; y′ = −(3) = −3Pri osnoj simetriji oko x-ose prva koordinata ostaje, a druga mijenja znak.
A′=(2, −3)Tačke A i A′ jednako su udaljene od ose sa suprotnih strana.
Primjer 2
Preslikaj tačku A(−3, 4) osnom simetrijom oko x-ose.
A=(−3, 4)Zapiši početnu tačku.
x′ = −3; y′ = −(4) = −4Pri osnoj simetriji oko x-ose prva koordinata ostaje, a druga mijenja znak.
A′=(−3, −4)Tačke A i A′ jednako su udaljene od ose sa suprotnih strana.
Primjer 3
Preslikaj tačku A(4, −2) osnom simetrijom oko x-ose.
A=(4, −2)Zapiši početnu tačku.
x′ = 4; y′ = −(−2) = 2Pri osnoj simetriji oko x-ose prva koordinata ostaje, a druga mijenja znak.
A′=(4, 2)Tačke A i A′ jednako su udaljene od ose sa suprotnih strana.
Centralna simetrija
Primjer 1
Preslikaj A(2, 3) centralnom simetrijom oko O(0, 0).
x′ = −(2) = −2Centralna simetrija oko ishodišta mijenja znak prve koordinate.
y′ = −(3) = −3Isto uradi sa drugom koordinatom.
A′=(−2, −3)Ishodište je sredina duži AA′.
Primjer 2
Preslikaj A(−3, 4) centralnom simetrijom oko O(0, 0).
x′ = −(−3) = 3Centralna simetrija oko ishodišta mijenja znak prve koordinate.
y′ = −(4) = −4Isto uradi sa drugom koordinatom.
A′=(3, −4)Ishodište je sredina duži AA′.
Primjer 3
Preslikaj A(4, −2) centralnom simetrijom oko O(0, 0).
x′ = −(4) = −4Centralna simetrija oko ishodišta mijenja znak prve koordinate.
y′ = −(−2) = 2Isto uradi sa drugom koordinatom.
A′=(−4, 2)Ishodište je sredina duži AA′.
Translacija
Primjer 1
Transliraj A(2, 3) vektorom (3, −2).
x′ = 2 + 3 = 5Pomjeri tačku tri jedinice udesno.
y′ = 3 − 2 = 1Zatim dvije jedinice nadolje.
A′=(5, 1)Sve tačke pomjeraš istim vektorom (3, −2).
Primjer 2
Transliraj A(−3, 4) vektorom (3, −2).
x′ = −3 + 3 = 0Pomjeri tačku tri jedinice udesno.
y′ = 4 − 2 = 2Zatim dvije jedinice nadolje.
A′=(0, 2)Sve tačke pomjeraš istim vektorom (3, −2).
Primjer 3
Transliraj A(4, −2) vektorom (3, −2).
x′ = 4 + 3 = 7Pomjeri tačku tri jedinice udesno.
y′ = −2 − 2 = −4Zatim dvije jedinice nadolje.
A′=(7, −4)Sve tačke pomjeraš istim vektorom (3, −2).
Rotacija
Primjer 1
Rotiraj A(2, 3) za 90° oko O(0, 0), suprotno kazaljci na satu.
x′ = −(3) = −3Za rotaciju 90° suprotno kazaljci na satu prva nova koordinata je suprotna drugoj staroj.
y′=2Druga nova koordinata jednaka je prvoj staroj.
A′=(−3, 2)Udaljenost od ishodišta ostaje jednaka.
Primjer 2
Rotiraj A(−3, 4) za 90° oko O(0, 0), suprotno kazaljci na satu.
x′ = −(4) = −4Za rotaciju 90° suprotno kazaljci na satu prva nova koordinata je suprotna drugoj staroj.
y′=−3Druga nova koordinata jednaka je prvoj staroj.
A′=(−4, −3)Udaljenost od ishodišta ostaje jednaka.
Primjer 3
Rotiraj A(4, −2) za 90° oko O(0, 0), suprotno kazaljci na satu.
x′ = −(−2) = 2Za rotaciju 90° suprotno kazaljci na satu prva nova koordinata je suprotna drugoj staroj.
y′=4Druga nova koordinata jednaka je prvoj staroj.
A′=(2, 4)Udaljenost od ishodišta ostaje jednaka.
8. Provjeri znanje
1. Šta sve izometrije čuvaju?
2. Centralna simetrija je rotacija za:
3. Ako A leži na osi simetrije, njena slika je:
Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.