Pitagorina teorema

🎯 Cilj lekcije

Imenovati katete (a, b) i hipotenuzu (c) u pravouglom trouglu.
Zapisati i objasniti formulu c² = a² + b² svojim riječima.
Izračunati hipotenuzu kad su poznate obje katete (npr. 3 i 4 → 5).
Prepoznati Pitagorine trojke: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15.

1. Šta je Pitagorina teorema?

Zamisli pravougli trougao — onaj s jednim pravim uglom (90°). Stranice koje grade pravi ugao zovu se katete (a i b), a stranica nasuprot pravog ugla zove se hipotenuza (c). Hipotenuza je uvijek najduža stranica.

c² = a² + b²

Riječima: kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta. Ako znaš obje katete, hipotenuzu dobiješ tako što kvadriraš katete, sabereš ih i izvučeš kvadratni korijen.

💡 Kako pamtitiHipotenuza je "sama protiv dvije katete": c je sama s jedne strane, a a i b su zajedno s druge strane. I zapamti — teorema vrijedi samo za pravougli trougao!

2. Ilustracija: kvadrati nad stranicama

Nad svakom stranicom nacrtaj kvadrat. Površina kvadrata nad katetom a je a², nad katetom b je b², a nad hipotenuzom je c². Teorema kaže da se dva manja kvadrata tačno "slože" u najveći.

🟧 Kvadrati nad stranicama — isprobaj i druge trojke

Pomjeri klizač: kvadrati se sami preslože za trojku 3-4-5, pa 6-8-10, pa 9-12-15. Ili klikni dugme da sve trojke prođu same, jedna za drugom.

Trojka: 3-4-5

9 + 16 = 25 → 3² + 4² = 5² ✓

3. Isprobaj trougao uživo

Pomiči klizače i gledaj kako se mijenja hipotenuza. Probaj pogoditi trojke 3-4-5 (namjesti 3 i 4 → c = 5) i 6-8-10 (namjesti 6 i 8 → c = 10).

📐 Tvoj pravougli trougao

Klizači mijenjaju katete a (vodoravno) i b (uspravno). Hipotenuza c se računa sama: c = √(a² + b²).

Kateta a = 3 Kateta b = 4

c = √(3² + 4²) = √25 = 5

🎉 Pogodio/la si trojku 3-4-5!

4. Rješenje korak po korak

Riješimo zajedno, korak po korak, cijeli postupak: katete a = 3 i b = 4, traži se hipotenuza c.

c²=a² + b²Hipotenuza je nepoznata, a katete su poznate.

c²=3² + 4²Uvrsti poznate katete. Kvadriranje znači množenje broja samim sobom.

c²=9 + 16 = 25Kvadriraj svaku katetu i saberi kvadrate.

c=√25 = 5Uzmi pozitivan korijen jer je riječ o dužini.

3² + 4²=5² ✓Odgovor je c = 5. Trojka 3–4–5 često se pojavljuje u zadacima.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Hipotenuza — tri riješena primjera

Primjer 1: Hipotenuza

Katete pravouglog trougla su 3 cm i 4 cm. Izračunaj hipotenuzu.

a=3 cm, b = 4 cmZapiši poznate katete.

c²=a² + b²Hipotenuza je nasuprot pravom uglu.

c²=3² + 4² = 9 + 16 = 25Prvo kvadriraj, pa saberi.

c=√25 = 5 cmDužina je pozitivan korijen.

9 + 16=25 ✓Vrati rezultat u početnu jednakost.

Primjer 2: Hipotenuza

Katete pravouglog trougla su 5 cm i 12 cm. Izračunaj hipotenuzu.

a=5 cm, b = 12 cmZapiši poznate katete.

c²=a² + b²Hipotenuza je nasuprot pravom uglu.

c²=5² + 12² = 25 + 144 = 169Prvo kvadriraj, pa saberi.

c=√169 = 13 cmDužina je pozitivan korijen.

25 + 144=169 ✓Vrati rezultat u početnu jednakost.

Primjer 3: Hipotenuza

Katete pravouglog trougla su 8 cm i 15 cm. Izračunaj hipotenuzu.

a=8 cm, b = 15 cmZapiši poznate katete.

c²=a² + b²Hipotenuza je nasuprot pravom uglu.

c²=8² + 15² = 64 + 225 = 289Prvo kvadriraj, pa saberi.

c=√289 = 17 cmDužina je pozitivan korijen.

64 + 225=289 ✓Vrati rezultat u početnu jednakost.

Provjera pravog ugla — tri riješena primjera

Primjer 1: Provjera pravog ugla

Jesu li stranice 3 cm, 4 cm i 5 cm stranice pravouglog trougla?

c=5 cmNajveća stranica je kandidat za hipotenuzu.

a² + b²=9 + 16 = 25Saberi kvadrate kraćih stranica.

c²=25Kvadriraj najveću stranicu.

a² + b²=c² ⇒ ugao nasuprot c iznosi 90°Obrat Pitagorine teoreme potvrđuje pravi ugao.

Primjer 2: Provjera pravog ugla

Jesu li stranice 5 cm, 12 cm i 13 cm stranice pravouglog trougla?

c=13 cmNajveća stranica je kandidat za hipotenuzu.

a² + b²=25 + 144 = 169Saberi kvadrate kraćih stranica.

c²=169Kvadriraj najveću stranicu.

a² + b²=c² ⇒ ugao nasuprot c iznosi 90°Obrat Pitagorine teoreme potvrđuje pravi ugao.

Primjer 3: Provjera pravog ugla

Jesu li stranice 8 cm, 15 cm i 17 cm stranice pravouglog trougla?

c=17 cmNajveća stranica je kandidat za hipotenuzu.

a² + b²=64 + 225 = 289Saberi kvadrate kraćih stranica.

c²=289Kvadriraj najveću stranicu.

a² + b²=c² ⇒ ugao nasuprot c iznosi 90°Obrat Pitagorine teoreme potvrđuje pravi ugao.

5. Primjer iz života

Primjer: Merdevine dužine 10 m naslonjene su na zid. Podnožje je 6 m od zida. Na kojoj visini je vrh merdevina?
Zid i pod grade pravi ugao: katete su 6 m i h (visina), hipotenuza je 10 m. Po teoremi: 10² = 6² + h² → 100 = 36 + h² → h² = 64 → h = √64 = 8 m. (Ovo je trojka 6-8-10!)

Primjer: Katete su 6 i 8. Kolika je hipotenuza?
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = √100 = 10. Još jedna poznata trojka: 6-8-10.

Primjer iz dvorišta: Igraš fudbal i lopta ti ode u ćošak dvorišta. Dvorište je pravougaonik: jedna stranica je duga 12 m, druga 5 m. Koliko je dugačka dijagonala dvorišta (najkraći put od jednog ćoška do suprotnog)?
Dijagonala dijeli pravougaonik na dva pravougla trougla, pa su stranice 12 m i 5 m katete, a dijagonala je hipotenuza. c² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → c = √169 = 13 m. (Prepoznaješ trojku 5-12-13!)

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Hipotenuza nije zbir kateta! c nije 3 + 4 = 7, nego √(9 + 16) = 5. Prvo kvadriraj, pa saberi, pa tek onda korijen.
Korijen zbira nije zbir korijena! √(9 + 16) = √25 = 5, a ne √9 + √16 = 3 + 4 = 7. To su različite stvari.
Ne zaboravi korijen na kraju. Ako staneš na c² = 25, nisi gotov/a — odgovor je c = 5, ne 25.
Teorema vrijedi samo za pravougli trougao. Vidiš li pravi ugao (kvadratić)? Ako nije označen, provjeri iz podataka da li je ugao pravi. Sam izostanak kvadratića ne znači da trougao nije pravougli.

7. Kviz

1. Katete su a = 3, b = 4. Kolika je hipotenuza c?

2. Katete su a = 6, b = 8. Kolika je hipotenuza c?

3. Katete su a = 9, b = 12. Kolika je hipotenuza c?

4. Katete su a = 5, b = 12. Kolika je hipotenuza c?

8. Šta dalje?

Super! Znaš formulu i trojke 3-4-5, 6-8-10, 9-12-15 i 5-12-13. Sljedeći put okrećemo formulu: kad znaš hipotenuzu i jednu katetu, tražiš drugu katetu. Ako je kviz bio težak, ponovi dio o kvadratima nad stranicama i korake 3 i 4.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.