Primjena na pravougli trougao: tražimo katetu

🎯 Cilj lekcije

Iz formule c² = a² + b² izvesti formulu za katetu: b = √(c² − a²).
Riješiti cijeli postupak za primjer c = 13, a = 5 → b = 12.
Provjeriti da li je trougao pravougli pomoću Pitagorine teoreme.
Izbjeći zamku oduzimanja prije kvadriranja.

1. Okrećemo formulu

U prošloj lekciji si tražio/la hipotenuzu: sabirao/la si kvadrate kateta. A šta ako znaš hipotenuzu i jednu katetu, a fali ti druga kateta? Onda formulu čitaš "unazad" — oduzimanjem.

b = √(c² − a²)

Riječima: kateta je kvadratni korijen iz razlike kvadrata hipotenuze i poznate katete. Primijeti minus! Kod hipotenuze smo sabirali, kod katete oduzimamo.

2. Pravilo za katetu

Postupak ima uvijek isti redoslijed, korak po korak:

Kvadriraj hipotenuzu i poznatu katetu (svaku za sebe).
Oduzmi: veći kvadrat (hipotenuze) minus manji (katete).
Izvuci kvadratni korijen iz razlike — to je tražena kateta.

💡 KontrolaHipotenuza mora biti najduža! Ako dobiješ katetu dužu od hipotenuze, negdje si pogriješio/la — vrati se na 1. korak. I zapamti trojku 5-12-13: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

3. Kalkulator katete uživo

Upiši hipotenuzu c i poznatu katetu a — druga kateta b izračuna se sama. Probaj 13 i 5 → dobit ćeš 12. Pa probaj 10 i 6 → dobit ćeš 8.

🧮 Tražimo katetu b

Pravilo: hipotenuza c mora biti veća od katete a. Upiši cijele brojeve.

Hipotenuza c Kateta a

b = √(13² − 5²) = √144 = 12

🎉 To je trojka 5-12-13!

4. Primjer korak po korak

Hipotenuza c = 13, kateta a = 5. Tražimo katetu b — cijeli postupak, korak po korak:

b=√(c² − a²)Poznati su c = 13 i a = 5. Tražiš drugu katetu.

b=√(13² − 5²)Oduzimaš kvadrate, a ne same dužine 13 i 5.

b=√(169 − 25)Kvadriraj svaki poznati broj.

b=√144Oduzmi brojeve pod korijenom.

b=12; 5² + 12² = 13² ✓Pozitivni korijen daje katetu. Ovo je trojka 5–12–13.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Nepoznata kateta — tri riješena primjera

Primjer 1: Nepoznata kateta

Hipotenuza je 5 cm, a jedna kateta 3 cm. Izračunaj drugu katetu.

c=5 cm, a = 3 cmOznači hipotenuzu i poznatu katetu.

b²=c² − a²Kvadrat katete dobiješ oduzimanjem.

b²=25 − 9 = 16Izračunaj razliku kvadrata.

b=√16 = 4 cmUzmi pozitivan korijen.

9 + 16=25 ✓Provjeri Pitagorinom teoremom.

Primjer 2: Nepoznata kateta

Hipotenuza je 13 cm, a jedna kateta 5 cm. Izračunaj drugu katetu.

c=13 cm, a = 5 cmOznači hipotenuzu i poznatu katetu.

b²=c² − a²Kvadrat katete dobiješ oduzimanjem.

b²=169 − 25 = 144Izračunaj razliku kvadrata.

b=√144 = 12 cmUzmi pozitivan korijen.

25 + 144=169 ✓Provjeri Pitagorinom teoremom.

Primjer 3: Nepoznata kateta

Hipotenuza je 17 cm, a jedna kateta 8 cm. Izračunaj drugu katetu.

c=17 cm, a = 8 cmOznači hipotenuzu i poznatu katetu.

b²=c² − a²Kvadrat katete dobiješ oduzimanjem.

b²=289 − 64 = 225Izračunaj razliku kvadrata.

b=√225 = 15 cmUzmi pozitivan korijen.

64 + 225=289 ✓Provjeri Pitagorinom teoremom.

5. Još jedan primjer

Primjer: Hipotenuza c = 10, kateta a = 6. Kolika je kateta b?
b = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8. Provjera: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ✓ (trojka 6-8-10).

Primjer: Da li je trougao sa stranicama 7, 24, 25 pravougli?
Najduža je 25 — pretpostavimo da je hipotenuza. Provjera: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² ✓. Jeste pravougli — trojka 7-24-25!

Primjer sa igrališta: Pustiš zmaja (papirnatu leteću igračku) u zrak. Za pojednostavljeni model zanemari visinu ruke i zakrivljenje konopca. Konopac je zategnut i dug 41 m — to je hipotenuza. Zmaj leti na visini 9 m iznad tla. Kolika je vodoravna udaljenost između tebe i tačke na tlu iznad koje zmaj lebdi?
Visina 9 m je jedna kateta, konopac 41 m je hipotenuza, tražimo drugu katetu b (vodoravnu udaljenost). b = √(41² − 9²) = √(1681 − 81) = √1600 = 40 m. Provjera: 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² ✓ (trojka 9-40-41).

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Ne oduzimaj prije kvadriranja! √(13² − 5²) nije √(13 − 5) = √8. Prvo kvadriraj (169 − 25), pa tek onda korijen.
Ne sabiraj kad tražiš katetu! Kod katete ide minus (c² − a²), a ne plus. Plus je samo kad tražiš hipotenuzu.
Pazi šta je hipotenuza. Pod korijenom veći kvadrat mora biti prvi. Ako napišeš √(5² − 13²), dobit ćeš negativan broj — a to ne može biti kvadrat dužine.

7. Kviz

1. Hipotenuza c = 13, kateta a = 5. Kolika je kateta b?

2. Hipotenuza c = 10, kateta a = 6. Kolika je kateta b?

3. Hipotenuza c = 25, kateta a = 7. Kolika je kateta b?

4. Hipotenuza c = 15, kateta a = 9. Kolika je kateta b?

8. Šta dalje?

Znaš obje strane teoreme: sabiranje za hipotenuzu i oduzimanje za katetu. Sad te čeka najljepša primjena — dijagonale kvadrata i pravougaonika. Ako si griješio/la na 2. i 3. pitanju, ponovi pravilo "prvo kvadriraj, pa oduzmi".

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.