Grafik linearne funkcije

🎯 Cilj lekcije

Objasniti zašto je grafik linearne funkcije uvijek prava linija.
Nacrtati grafik pomoću dvije tačke iz tabele vrijednosti.
Pronaći presjek grafika s x-osom (y = 0) i s y-osom (x = 0).
Pročitati rješenje jednačine direktno s grafika.

1. Zašto je grafik prava linija?

Kad za funkciju y = kx + n nacrtaš sve tačke (x, y) u koordinatnom sistemu, one se uvijek poredaju u pravu liniju. Zato se ova funkcija i zove linearna (od latinske riječi "linea" — linija).

💡 ZapamtiSvaka tačka na pravoj je par (x, y) koji zadovoljava jednačinu y = kx + n. Ako par ne zadovoljava jednačinu, tačka nije na toj pravoj.

2. Dvije tačke su dovoljne

Kroz dvije različite tačke prolazi tačno jedna prava linija. Zato je za crtanje grafika dovoljno izračunati samo dvije tačke, ucrtati ih i spojiti ravnalom (treća tačka je dobra provjera).

Primjer: y = 2x − 4. Izaberimo x = 0 i x = 2.
x = 0: y = 2 · 0 − 4 = −4 → tačka (0, −4).
x = 2: y = 2 · 2 − 4 = 4 − 4 = 0 → tačka (2, 0).
Ucrtamo (0, −4) i (2, 0), spojimo pravom linijom — to je grafik.

3. Presjeci s osama

Dvije posebne tačke su uvijek korisne:

Presjek s y-osom: postavimo x = 0, pa je y = n. Tačka je (0, n).
Presjek s x-osom (nula funkcije): postavimo y = 0 i riješimo jednačinu kx + n = 0 po x.

Primjer: y = −x + 3. Presjek s y-osom: x = 0 → y = 3, tačka (0, 3). Presjek s x-osom: 0 = −x + 3 → x = 3, tačka (3, 0).

4. Isprobaj crtanje uživo

Upiši k i n — graf se crta sam, a tačke presjeka s osama se ispisuju ispod.

📈 Graf funkcije y = kx + n

Mreža pokazuje x od −6 do 6 i y od −6 do 6. Crvene tačke su presjeci s osama.

k 2 n −4

y = 2x − 4

Kada je k = 0

Funkcija je konstantna: y = n. Ako n ≠ 0, nema nulu i njen znak je znak broja n. Ako n = 0, svaki realan broj je nula funkcije; grafik je cijela x-osa. Zato pri računanju x = −n/k prvo provjeri k ≠ 0.

5. Rješenje korak po korak

Nacrtajmo grafik funkcije y = 2x − 4, korak po korak.

x₁=0, x₂ = 2Za crtanje prave odaberi dva različita argumenta.

y(0)=2·0 − 4 = −4Prva tačka je A(0, −4), presjek s y-osom.

y(2)=2·2 − 4 = 0Druga tačka je B(2, 0), presjek s x-osom.

A(0, −4), B(2, 0)Ucrtaj obje tačke na isti koordinatni sistem.

grafik: prava ABLenjirom povuci pravu i produži je u oba smjera. To je grafik y = 2x − 4.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Crtanje prave — tri riješena primjera

Primjer 1: Crtanje prave

Nacrtaj grafik y = 2x + (1).

x=0 ⇒ y = 1Odredi tačku na y-osi.

x=1 ⇒ y = 3Za drugu tačku pomjeri se jednu jedinicu udesno.

A(0, 1), B(1, 3)Ucrtaj tačke prema njihovim koordinatama.

grafik=prava ABLenjirom spoji tačke i produži pravu u oba smjera.

x=2 ⇒ y = 5Trećom tačkom provjeri položaj prave.

Primjer 2: Crtanje prave

Nacrtaj grafik y = -1x + (3).

x=0 ⇒ y = 3Odredi tačku na y-osi.

x=1 ⇒ y = 2Za drugu tačku pomjeri se jednu jedinicu udesno.

A(0, 3), B(1, 2)Ucrtaj tačke prema njihovim koordinatama.

grafik=prava ABLenjirom spoji tačke i produži pravu u oba smjera.

x=2 ⇒ y = 1Trećom tačkom provjeri položaj prave.

Primjer 3: Crtanje prave

Nacrtaj grafik y = 3x + (-2).

x=0 ⇒ y = -2Odredi tačku na y-osi.

x=1 ⇒ y = 1Za drugu tačku pomjeri se jednu jedinicu udesno.

A(0, -2), B(1, 1)Ucrtaj tačke prema njihovim koordinatama.

grafik=prava ABLenjirom spoji tačke i produži pravu u oba smjera.

x=2 ⇒ y = 4Trećom tačkom provjeri položaj prave.

Nula i znak linearne funkcije — tri riješena primjera

Primjer 1: Nula i znak linearne funkcije

Odredi nulu i znak funkcije y = 2x + (-6).

2x + (-6)=0Nula funkcije je argument za koji je y = 0.

2x=6Isti broj oduzmi s obje strane.

x=3Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

x < 3 ⇒ y < 0Uoči znak nagiba i položaj lijevo od nule.

x > 3 ⇒ y > 0Desno od nule znak je suprotan.

Primjer 2: Nula i znak linearne funkcije

Odredi nulu i znak funkcije y = -3x + (6).

-3x + (6)=0Nula funkcije je argument za koji je y = 0.

-3x=-6Isti broj oduzmi s obje strane.

x=2Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

x < 2 ⇒ y > 0Uoči znak nagiba i položaj lijevo od nule.

x > 2 ⇒ y < 0Desno od nule znak je suprotan.

Primjer 3: Nula i znak linearne funkcije

Odredi nulu i znak funkcije y = 4x + (4).

4x + (4)=0Nula funkcije je argument za koji je y = 0.

4x=-4Isti broj oduzmi s obje strane.

x=-1Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

x < -1 ⇒ y < 0Uoči znak nagiba i položaj lijevo od nule.

x > -1 ⇒ y > 0Desno od nule znak je suprotan.

6. Primjer

Primjer: Nacrtaj grafik y = −x + 3 i pročitaj presjeke s osama.
x = 0 → y = 3, tačka (0, 3). x = 3 → y = 0, tačka (3, 0). Prava pada slijeva nadesno jer je k = −1 negativno.

Primjer: Iznajmljivanje bicikla u parku košta y = 3x + 5 (u KM), gdje je x broj sati vožnje.
Presjek s y-osom: x = 0 → y = 5, tačka (0, 5) — to platiš i ako voziš 0 sati (fiksna naknada za iznajmljivanje).
Nula funkcije (gdje bi graf sjekao x-osu): 0 = 3x + 5 → 3x = −5 → x = −5/3 — ovo nema smisla u stvarnosti (ne možeš voziti negativno vrijeme)! To nas uči da graf ima smisla samo za x ≥ 0 kad govorimo o satima vožnje.
Za x = 2 sata: y = 3 · 2 + 5 = 11 KM.

7. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Zamjena x i y ose. Prva koordinata u (x, y) ide vodoravno, druga uspravno.
Pogrešno rješavanje kx + n = 0. Za presjek s x-osom prvo prebaci n na drugu stranu, pa podijeli sa k.
Crtanje samo jedne tačke. Jedna tačka ne određuje pravu — uvijek izračunaj barem dvije.
Nezatvorena linija. Prava se crta beskonačno u oba smjera, ne staje na izračunatim tačkama.

8. Kviz

1. Za y = 2x − 4, koja je tačka presjeka s y-osom?

2. Za y = 2x − 4, koja je tačka presjeka s x-osom?

3. Koliko je tačno najmanje tačaka potrebno za crtanje prave?

4. Za y = −x + 3, koja je tačka presjeka s x-osom?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.