Početna / 8. razred / 8.2 Linearne funkcije / Nagib i odsječak

Nagib i odsječak

Pokreni prezentaciju →

🎯 Cilj lekcije
  • Objasniti šta broj k (nagib) govori o strmini i smjeru prave.
  • Objasniti šta broj n (odsječak) govori o položaju prave na y-osi.
  • Izračunati k i n kad su poznate dvije tačke prave.
  • Prepoznati da paralelne prave imaju isti nagib k.

1. Šta je nagib k?

Broj k u y = kx + n zove se nagib (ili koeficijent pravca). On govori koliko se y mijenja kad se x poveća za 1 — to je "strmina" prave.

  • Ako je k > 0, funkcija raste (prava se penje slijeva nadesno).
  • Ako je k < 0, funkcija opada (prava pada slijeva nadesno).
  • Ako je k = 0, prava je vodoravna (konstantna funkcija).

Što je |k| veće, prava je strmija. Na primjer, k = 5 je strmija prava od k = 1.

2. Šta je odsječak n?

Broj n govori gdje prava siječe y-osu — to je tačka (0, n). Zato se n zove odsječak na y-osi. Ako povećaš n, cijela prava se pomjeri gore; ako smanjiš n, pomjeri se dolje — nagib ostaje isti.

k = nagib (strmina)   •   n = odsječak na y-osi

3. Računanje k iz dvije tačke

Ako znaš dvije tačke prave (x₁, y₁) i (x₂, y₂), nagib računaš formulom:

k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Ova formula zahtijeva x₂ ≠ x₁. Ako dvije različite tačke imaju istu x-koordinatu, prava je uspravna: x = x₁. Njen nagib nije definisan i ne može se zapisati kao y = kx + n.

Primjer: Prava prolazi kroz tačke (1, 3) i (3, 7). Nađi k i n.
k = (7 − 3) / (3 − 1) = 4 / 2 = 2.
Uvrsti tačku (1, 3) u y = 2x + n: 3 = 2 · 1 + n → 3 = 2 + n → n = 1.
Funkcija je y = 2x + 1. Provjera drugom tačkom: 2 · 3 + 1 = 7 ✓

4. Isprobaj nagib uživo

Pomjeri klizač k i gledaj kako se mijenja strmina prave, a klizač n pomjeraj da vidiš kako se prava diže i spušta.

📐 Nagib i odsječak uživo

k mijenja strmini i smjer, n pomjera pravu gore-dolje bez promjene nagiba.

5. Rješenje korak po korak

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke (2, 1) i (4, 5), korak po korak.

A(2,1), B(4,5)Zapiši koordinate dviju poznatih tačaka.
k=5−14−2 = 42 = 2U brojniku i imeniocu koristi isti redoslijed tačaka.
1=2·2 + n = 4 + nUvrsti tačku A u y = kx + n.
n=1 − 4 = −3Odredi odsječak na y-osi.
y=2x − 3; 2·4−3 = 5 ✓Provjeri tačkom B koju nisi koristio za računanje odsječka.
Primjer: Biljka u saksiji raste linearno. Nakon 2 dana njena visina je 5 cm, a nakon 5 dana je 11 cm. Nađi formulu rasta y = kx + n (x = broj dana).
Tačke: (2, 5) i (5, 11). k = (11 − 5) / (5 − 2) = 6 / 3 = 2 (biljka raste 2 cm dnevno).
Uvrsti (2, 5): 5 = 2 · 2 + n → 5 = 4 + n → n = 1 (biljka je "startovala" sa 1 cm, prije prvog dana mjerenja).
Formula: y = 2x + 1. Provjera drugom tačkom: 2 · 5 + 1 = 11 ✓

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Nagib iz dvije tačke — tri riješena primjera

Primjer 1: Nagib iz dvije tačke

Odredi nagib i jednačinu prave kroz A(0, 1) i B(2, 5).

Δx=2 − 0 = 2Izračunaj promjenu prve koordinate.
Δy=5 − (1) = 4Izračunaj promjenu druge koordinate.
k=Δy : Δx = 4 : 2 = 2Sačuvaj isti redoslijed tačaka.
n=1Tačka A leži na y-osi.
y=2x + (1)Uvrsti nagib i odsječak u oblik y = kx + n.

Primjer 2: Nagib iz dvije tačke

Odredi nagib i jednačinu prave kroz A(0, 3) i B(2, 1).

Δx=2 − 0 = 2Izračunaj promjenu prve koordinate.
Δy=1 − (3) = -2Izračunaj promjenu druge koordinate.
k=Δy : Δx = -2 : 2 = -1Sačuvaj isti redoslijed tačaka.
n=3Tačka A leži na y-osi.
y=-1x + (3)Uvrsti nagib i odsječak u oblik y = kx + n.

Primjer 3: Nagib iz dvije tačke

Odredi nagib i jednačinu prave kroz A(0, -2) i B(2, 4).

Δx=2 − 0 = 2Izračunaj promjenu prve koordinate.
Δy=4 − (-2) = 6Izračunaj promjenu druge koordinate.
k=Δy : Δx = 6 : 2 = 3Sačuvaj isti redoslijed tačaka.
n=-2Tačka A leži na y-osi.
y=3x + (-2)Uvrsti nagib i odsječak u oblik y = kx + n.

Paralelne prave — tri riješena primjera

Primjer 1: Paralelne prave

Da li su prave y = 2x + (1) i y = 2x + (5) paralelne?

k₁=2, k₂ = 2Pročitaj koeficijente uz x.
n₁=1, n₂ = 5Pročitaj odsječke na y-osi.
k₁=k₂, n₁ ≠ n₂Nagibi su jednaki, a odsječci različiti.
p ∥ qPrave su različite i nemaju zajedničku tačku.

Primjer 2: Paralelne prave

Da li su prave y = -1x + (3) i y = -1x + (7) paralelne?

k₁=-1, k₂ = -1Pročitaj koeficijente uz x.
n₁=3, n₂ = 7Pročitaj odsječke na y-osi.
k₁=k₂, n₁ ≠ n₂Nagibi su jednaki, a odsječci različiti.
p ∥ qPrave su različite i nemaju zajedničku tačku.

Primjer 3: Paralelne prave

Da li su prave y = 3x + (-2) i y = 3x + (2) paralelne?

k₁=3, k₂ = 3Pročitaj koeficijente uz x.
n₁=-2, n₂ = 2Pročitaj odsječke na y-osi.
k₁=k₂, n₁ ≠ n₂Nagibi su jednaki, a odsječci različiti.
p ∥ qPrave su različite i nemaju zajedničku tačku.

6. Paralelne prave

Dvije prave su paralelne ako imaju isti nagib k, a različit odsječak n — nikad se ne sijeku.

Primjer: y = 3x + 2 i y = 3x − 5 su paralelne jer obje imaju k = 3. Jedna siječe y-osu u tački (0, 2), druga u (0, −5) — zato se nikad ne dodiruju.

7. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške
  • Obrnut razlomak za k. Formula je (y₂−y₁)/(x₂−x₁), a ne obrnuto. Pazi koji broj je brojnik, koji imenilac.
  • Pomiješan redoslijed tačaka. Ako u brojniku staviš y₂−y₁, u imeniocu mora biti x₂−x₁ (istim redoslijedom).
  • Zaboravljeno računanje n. Nakon što nađeš k, moraš uvrstiti jednu tačku da nađeš n — k sam nije dovoljan.
  • Pogrešna pretpostavka da paralelne prave imaju isti n. Paralelne prave imaju isti k, a različit n (inače bi bile ista prava).

8. Kviz

1. Prava prolazi kroz (1, 2) i (3, 8). Koliki je nagib k?

2. Funkcija y = 2x − 3 ima tačku (0, 1) na grafiku. Da li je to tačno?

3. Koje dvije prave su paralelne?

4. Za funkciju s k = −2, kako se ponaša prava?

← PrethodnaSljedeća →

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.