Pojam linearne funkcije

🎯 Cilj lekcije

Objasniti šta je funkcija i kako svakoj vrijednosti x dodjeljuje tačno jednu vrijednost y.
Prepoznati i zapisati linearnu funkciju u obliku y = kx + n.
Izračunati vrijednosti y za zadane vrijednosti x i popuniti tabelu vrijednosti.
Prepoznati ulogu broja k (uz x) i broja n (slobodni član) u zapisu.

1. Šta je funkcija?

Funkcija je pravilo koje svakom broju x dodjeljuje tačno jedan broj y. Zamisli funkciju kao mašinu: ubaciš x, mašina izračuna po pravilu, izbaci y. Ta vrijednost y zove se i vrijednost funkcije za dato x.

💡 Primjer iz svakodneviceCijena taksija zavisi od pređenih kilometara — za svaki broj kilometara x postoji tačno jedna cijena y. To je funkcija!

2. Linearna funkcija: y = kx + n

Linearna funkcija je funkcija oblika:

y = kx + n

gdje su k i n stalni brojevi (konstante). Broj k stoji uz x, a broj n je slobodni član (ne zavisi od x). Da bismo izračunali y za neko x, uvrstimo x u formulu i izračunamo — prvo množenje, pa sabiranje.

Primjer: Funkcija y = 2x + 1. Za x = 3: y = 2 · 3 + 1 = 6 + 1 = 7. Za x = −2: y = 2 · (−2) + 1 = −4 + 1 = −3.

3. Tabela vrijednosti

Da bismo "vidjeli" funkciju, napravimo tabelu: u prvi red upišemo nekoliko vrijednosti x, a u drugi red izračunamo odgovarajuće y.

x	−2	−1	0	1	2
y = 2x + 1	−3	−1	1	3	5

Primijeti: kad x poraste za 1, y poraste za 2 (to je upravo broj k). Kad je x = 0, y = n = 1 — zato se n zove i odsječak na y-osi.

4. Isprobaj generator tabele

Upiši svoje k i n, pa gledaj kako se mijenja tabela vrijednosti za x od −2 do 2.

🧮 Generator tabele: y = kx + n

Promijeni k i n i posmatraj kako se mijenjaju vrijednosti y u tabeli.

k n

x	−2	−1	0	1	2
y = 2x + 1

5. Rješenje korak po korak

Za funkciju y = 3x − 2 izračunajmo vrijednosti za x = −1, x = 0 i x = 2, korak po korak.

y=3x − 2; k = 3, n = −2Prepiši funkciju i prepoznaj koeficijente.

y(−1)=3·(−1) − 2 = −5Negativni argument zagradi.

y(0)=3·0 − 2 = −2Vrijednost pri nuli jednaka je odsječku n.

y(2)=3·2 − 2 = 4Uvrsti treći argument.

x: −1, 0, 2; y: −5, −2, 4Zapiši parove u tabelu. Pri porastu x za 1 vrijednost y raste za 3.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Tabela vrijednosti — tri riješena primjera

Primjer 1: Tabela vrijednosti

Za y = 2x + (1) izračunaj vrijednosti pri x = −1, 0 i 1.

y(−1)=2 · (−1) + (1) = -1Uvrsti prvi argument.

y(0)=2 · 0 + (1) = 1Nula poništava proizvod.

y(1)=2 · 1 + (1) = 3Uvrsti treći argument.

(−1, -1), (0, 1), (1, 3)Ovo su tri tačke grafika.

Primjer 2: Tabela vrijednosti

Za y = -1x + (3) izračunaj vrijednosti pri x = −1, 0 i 1.

y(−1)=-1 · (−1) + (3) = 4Uvrsti prvi argument.

y(0)=-1 · 0 + (3) = 3Nula poništava proizvod.

y(1)=-1 · 1 + (3) = 2Uvrsti treći argument.

(−1, 4), (0, 3), (1, 2)Ovo su tri tačke grafika.

Primjer 3: Tabela vrijednosti

Za y = 3x + (-2) izračunaj vrijednosti pri x = −1, 0 i 1.

y(−1)=3 · (−1) + (-2) = -5Uvrsti prvi argument.

y(0)=3 · 0 + (-2) = -2Nula poništava proizvod.

y(1)=3 · 1 + (-2) = 1Uvrsti treći argument.

(−1, -5), (0, -2), (1, 1)Ovo su tri tačke grafika.

6. Primjer iz života

Primjer: Taksi naplaćuje 2 KM po kilometru plus 3 KM fiksnog starta. Cijena vožnje je y = 2x + 3, gdje je x broj pređenih kilometara.
Za x = 5 km: y = 2 · 5 + 3 = 10 + 3 = 13 KM. Za x = 10 km: y = 2 · 10 + 3 = 20 + 3 = 23 KM. Broj n = 3 je ono što platiš i kad ne pređeš nijedan kilometar (x = 0).

Primjer: Amar štedi džeparac u kasici. Već ima 10 KM, a svake sedmice dodaje po 5 KM. Njegova ušteđevina poslije x sedmica je y = 5x + 10.
Poslije x = 2 sedmice: y = 5 · 2 + 10 = 10 + 10 = 20 KM.
Poslije x = 6 sedmica: y = 5 · 6 + 10 = 30 + 10 = 40 KM.
Broj n = 10 je ono što je Amar imao PRIJE nego što je počeo štedjeti (x = 0), a k = 5 je koliko dodaje svake sedmice.

7. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Zamjena k i n. k uvijek stoji uz x (množi se s x), a n je sam, bez x. U y = 2x + 1, k = 2, n = 1.
Pogrešan redoslijed računanja. Prvo pomnoži k i x, pa tek onda saberi n. y = 2 · 3 + 1 = 7, a ne 2 · (3+1) = 8.
Greška sa znakom. Kod negativnog x pazi na minus: 2 · (−2) = −4, a ne 4.
Zaboravljeno n kad je x = 0. Za x = 0 uvijek vrijedi y = n — brza provjera tabele.

8. Kviz

1. Za funkciju y = 2x + 1, koliko je y kad je x = 3?

2. Za funkciju y = 3x − 2, koliko je y kad je x = −1?

3. U funkciji y = −4x + 5, koji je broj k, a koji n?

4. Za funkciju y = 5x + 2, koliko je y kad je x = 0?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.