Pojam sistema jednačina

🎯 Cilj lekcije

Objasniti šta je sistem dvije linearne jednačine s dvije nepoznate.
Razumjeti da je rješenje sistema par brojeva (x, y) koji zadovoljava OBJE jednačine.
Provjeriti uvrštavanjem da li je dati par rješenje sistema.

1. Šta je sistem jednačina?

Sistem dvije linearne jednačine s dvije nepoznate x i y je par jednačina koje posmatramo zajedno:

x + y = 7
x − y = 1

Tražimo par brojeva (x, y) koji istovremeno zadovoljava obje jednačine — ne samo jednu!

💡 Zamisli ovakoSvaka jednačina je uslov. Rješenje sistema je uređeni par brojeva koji "prolazi" oba uslova odjednom, kao lozinka koja mora zadovoljiti dva pravila istovremeno.

2. Šta znači rješenje sistema?

Za sistem x + y = 7 i x − y = 1, rješenje je x = 4, y = 3. Provjerimo: 4 + 3 = 7 ✓ i 4 − 3 = 1 ✓. Oba uslova su zadovoljena, pa je par (4, 3) rješenje sistema.

3. Kako provjeriti rješenje

Da provjeriš da li je neki par (x, y) rješenje sistema, uvrsti ga u obje jednačine. Ako obje jednačine postanu tačne, par je rješenje. Ako samo jedna postane tačna, par nije rješenje sistema (iako jeste rješenje jedne jednačine).

Primjer: Da li je (5, 2) rješenje sistema x + y = 7, x − y = 1?
Prva jednačina: 5 + 2 = 7 ✓. Druga jednačina: 5 − 2 = 3 ≠ 1 ✗.
Pošto druga jednačina nije zadovoljena, par (5, 2) nije rješenje sistema.

4. Isprobaj provjeru uživo

Upiši par (x, y) i provjeri da li zadovoljava sistem x + y = 7, x − y = 1.

🔍 Provjeri rješenje sistema

Sistem: x + y = 7 i x − y = 1. Upiši x i y pa klikni na dugme, ili probaj nasumičan par.

x y

Upiši x i y, pa klikni „Provjeri".

x + y = 7 ?

x − y = 1 ?

5. Rješenje korak po korak

Provjerimo, korak po korak, da li je par (6, 4) rješenje sistema x + y = 10, x − y = 2.

x+y=10; x−y = 2; (x,y) = (6,4)Prepiši sistem i par koji provjeravaš.

6 + 4=10 ✓Prva jednačina je zadovoljena.

6 − 4=2 ✓I druga jednačina mora vrijediti za isti par.

S={(6,4)}Par jeste rješenje sistema jer zadovoljava obje jednačine.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Provjera uređenog para — tri riješena primjera

Primjer 1: Provjera uređenog para

Provjeri da li (2, 3) rješava sistem x + y = 5, 2x + y = 7.

x=2, y = 3Prvi broj je x, drugi y.

2 + (3)=5 ✓Provjeri prvu jednačinu.

2 · (2) + (3)=7 ✓Provjeri drugu jednačinu.

Rješenje: (2, 3)Obje jednakosti vrijede za isti par.

Primjer 2: Provjera uređenog para

Provjeri da li (3, 1) rješava sistem x + y = 4, 2x + y = 7.

x=3, y = 1Prvi broj je x, drugi y.

3 + (1)=4 ✓Provjeri prvu jednačinu.

2 · (3) + (1)=7 ✓Provjeri drugu jednačinu.

Rješenje: (3, 1)Obje jednakosti vrijede za isti par.

Primjer 3: Provjera uređenog para

Provjeri da li (-1, 4) rješava sistem x + y = 3, 2x + y = 2.

x=-1, y = 4Prvi broj je x, drugi y.

-1 + (4)=3 ✓Provjeri prvu jednačinu.

2 · (-1) + (4)=2 ✓Provjeri drugu jednačinu.

Rješenje: (-1, 4)Obje jednakosti vrijede za isti par.

6. Primjer iz života

Primjer: Zbir dva broja je 10, a njihova razlika je 2. Koji su to brojevi?
Ovo je sistem x + y = 10, x − y = 2. Rješenje je x = 6, y = 4 (naučit ćeš kako ga pronaći u sljedeće dvije lekcije). Provjera: 6 + 4 = 10 ✓, 6 − 4 = 2 ✓.

Primjer iz života: U školskoj sali ima lopti za fudbal (x) i lopti za košarku (y). Ukupno ih je 12, a lopti za fudbal ima 4 više nego za košarku. To zapisujemo kao sistem:
x + y = 12 (ukupan broj lopti)
x − y = 4 (razlika)
Da li je par (8, 4) rješenje? Provjera: 8 + 4 = 12 ✓ i 8 − 4 = 4 ✓. Obje jednačine su tačne, pa je (8, 4) rješenje — u sali je 8 fudbalskih i 4 košarkaške lopte.

7. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Provjera samo jedne jednačine. Par mora zadovoljiti OBJE jednačine, ne samo jednu.
Zamjena x i y. Pazi koji broj uvrštavaš za x, a koji za y — redoslijed je bitan.
Greška sa znakom kod oduzimanja. x − y nije isto što i y − x.
Zaključak bez provjere obje jednačine. Nikad ne reci "to je rješenje" dok ne provjeriš obje jednačine do kraja.

8. Kviz

1. Da li je par (4, 3) rješenje sistema x + y = 7, x − y = 1?

2. Da li je par (5, 2) rješenje sistema x + y = 7, x − y = 1?

3. Šta mora da vrijedi da bi par (x, y) bio rješenje sistema?

4. Zbir dva broja je 10, razlika je 2. Da li su to brojevi 6 i 4?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.