Proporcionalnost, procenti i jednostavna kamata

🎯 Cilj lekcije

Razlikuj direktnu i obrnutu proporcionalnost.
Izračunaj dio, osnovicu i cijenu nakon popusta.
Primijeni jednostavnu kamatu uz odgovarajuću jedinicu vremena.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Dvije veličine su direktno proporcionalne ako je njihov količnik stalan. Obrnuto su proporcionalne ako im je proizvod stalan. Prvo provjeri model, pa računaj.

3. Pravila i veze

Direktna proporcionalnost: y=kx, grafik je prava kroz ishodište. Obrnuta: y=k/x, x≠0; grafik nije prava. Procenat p% znači p/100. Dio D=G·p/100, osnovica G=100D/p za p≠0. Jednostavna kamata I=G·p·t/100, gdje je p brojčana vrijednost godišnje stope (za 3% uzmi p=3), a t vrijeme u godinama; glavnica se tokom tog obračuna ne mijenja.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

Od početnih 100 KM popust je 10 KM, a ostaje 90 KM.

Grafici proporcionalnosti

Uporedi y=2x i y=12/x za pozitivne x. U prvoj vezi količnik y/x=2 ostaje stalan i grafik je prava kroz ishodište. U drugoj proizvod xy=12 ostaje stalan, a grafik je zakrivljen: povećanje x smanjuje y. Za istu skalu uporedi tačke(1,12),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2).

Model:

x=1,2,3,4,6 → y=2,4,6,8,12.

5. Rješenje korak po korak

C=80 KM; p = 15%Početna cijena ruksaka je osnovica procenta.

S=80·15100 = 12 KMIzračunaj iznos popusta.

C₁=80 − 12 = 68 KMPopust oduzmi od početne cijene.

6880=0,85 = 85% ✓Plaćeno je 85% početne cijene, a popust je 15%.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Direktna proporcionalnost — tri riješena primjera

Primjer 1: Direktna proporcionalnost

2 sveske koštaju 6 KM. Koliko košta 4 takvih sveski?

c=6 : 2 = 3 KMPrvo odredi cijenu jedne sveske.

C=3 · 4Ukupna cijena proporcionalna je broju sveski.

C=12 KMPomnoži jediničnu cijenu količinom.

12 : 4=3 KM ✓Provjeri stalnu cijenu po komadu.

Primjer 2: Direktna proporcionalnost

3 sveske koštaju 9 KM. Koliko košta 5 takvih sveski?

c=9 : 3 = 3 KMPrvo odredi cijenu jedne sveske.

C=3 · 5Ukupna cijena proporcionalna je broju sveski.

C=15 KMPomnoži jediničnu cijenu količinom.

15 : 5=3 KM ✓Provjeri stalnu cijenu po komadu.

Primjer 3: Direktna proporcionalnost

4 sveske koštaju 12 KM. Koliko košta 6 takvih sveski?

c=12 : 4 = 3 KMPrvo odredi cijenu jedne sveske.

C=3 · 6Ukupna cijena proporcionalna je broju sveski.

C=18 KMPomnoži jediničnu cijenu količinom.

18 : 6=3 KM ✓Provjeri stalnu cijenu po komadu.

Obrnuta proporcionalnost — tri riješena primjera

Primjer 1: Obrnuta proporcionalnost

2 jednako brze mašine završe posao za 12 sati. Koliko treba 4 takvih mašina?

2 · 12=24Broj mašina puta vrijeme je stalno.

4 · t=24Postavi jednakost za novi broj mašina.

t=24 : 4 = 6 satiPodijeli ukupni rad brojem mašina.

2 puta više mašina ⇒ 2 puta kraće vrijemeProvjeri smisao rezultata uz istu brzinu mašina.

Primjer 2: Obrnuta proporcionalnost

3 jednako brze mašine završe posao za 12 sati. Koliko treba 6 takvih mašina?

3 · 12=36Broj mašina puta vrijeme je stalno.

6 · t=36Postavi jednakost za novi broj mašina.

t=36 : 6 = 6 satiPodijeli ukupni rad brojem mašina.

2 puta više mašina ⇒ 2 puta kraće vrijemeProvjeri smisao rezultata uz istu brzinu mašina.

Primjer 3: Obrnuta proporcionalnost

4 jednako brze mašine završe posao za 12 sati. Koliko treba 8 takvih mašina?

4 · 12=48Broj mašina puta vrijeme je stalno.

8 · t=48Postavi jednakost za novi broj mašina.

t=48 : 8 = 6 satiPodijeli ukupni rad brojem mašina.

2 puta više mašina ⇒ 2 puta kraće vrijemeProvjeri smisao rezultata uz istu brzinu mašina.

Procenat i sniženje — tri riješena primjera

Primjer 1: Procenat i sniženje

Jakna košta 200 KM. Snižena je za 15%. Kolika je nova cijena?

S=15100 · 200Procenat pretvori u razlomak.

S=30 KMIzračunaj iznos sniženja.

C=200 − 30 = 170 KMSniženje oduzmi od početne cijene.

0,85 · 200=170 KM ✓Nova cijena iznosi 85% početne.

Primjer 2: Procenat i sniženje

Jakna košta 300 KM. Snižena je za 15%. Kolika je nova cijena?

S=15100 · 300Procenat pretvori u razlomak.

S=45 KMIzračunaj iznos sniženja.

C=300 − 45 = 255 KMSniženje oduzmi od početne cijene.

0,85 · 300=255 KM ✓Nova cijena iznosi 85% početne.

Primjer 3: Procenat i sniženje

Jakna košta 400 KM. Snižena je za 15%. Kolika je nova cijena?

S=15100 · 400Procenat pretvori u razlomak.

S=60 KMIzračunaj iznos sniženja.

C=400 − 60 = 340 KMSniženje oduzmi od početne cijene.

0,85 · 400=340 KM ✓Nova cijena iznosi 85% početne.

Jednostavna kamata — tri riješena primjera

Primjer 1: Jednostavna kamata

Glavnica je 2000 KM, godišnja stopa 3%, a vrijeme 2 godine. Izračunaj jednostavnu kamatu.

G=2000 KM, p = 3 (stopa 3%), t = 2 godineVrijeme i godišnja stopa moraju koristiti istu vremensku jedinicu.

K=G · p · t100Kod jednostavne kamate glavnica ostaje nepromijenjena.

K=2000 · 3 · 2100 = 120 KMIzračunaj ukupnu kamatu za dvije godine.

G + K=2120 KMDodaj kamatu glavnici.

Primjer 2: Jednostavna kamata

Glavnica je 3000 KM, godišnja stopa 3%, a vrijeme 2 godine. Izračunaj jednostavnu kamatu.

G=3000 KM, p = 3 (stopa 3%), t = 2 godineVrijeme i godišnja stopa moraju koristiti istu vremensku jedinicu.

K=G · p · t100Kod jednostavne kamate glavnica ostaje nepromijenjena.

K=3000 · 3 · 2100 = 180 KMIzračunaj ukupnu kamatu za dvije godine.

G + K=3180 KMDodaj kamatu glavnici.

Primjer 3: Jednostavna kamata

Glavnica je 4000 KM, godišnja stopa 3%, a vrijeme 2 godine. Izračunaj jednostavnu kamatu.

G=4000 KM, p = 3 (stopa 3%), t = 2 godineVrijeme i godišnja stopa moraju koristiti istu vremensku jedinicu.

K=G · p · t100Kod jednostavne kamate glavnica ostaje nepromijenjena.

K=4000 · 3 · 2100 = 240 KMIzračunaj ukupnu kamatu za dvije godine.

G + K=4240 KMDodaj kamatu glavnici.

Vraćanje na početnu cijenu: korak po korak

Procenat se odnosi na početnu osnovicu. Nakon popusta ostaje (100−p)% te osnovice. Ne vraćaj cijenu dodavanjem istog procenta na manji iznos.

Primjer 1: Vraćanje na početnu cijenu

Nakon popusta 20% cijena je 64 KM. Kolika je bila prije popusta?

0,80G = 64Ostalo je 80% početne cijene.

G = 64 : 0,80 = 80 KMPodijeli preostalim udjelom.

80 − 0,20·80 = 64 KM ✓Provjeri iz početne cijene.

Primjer 2: Vraćanje na početnu cijenu

Cijena je povećana 25% i sada je 150 KM. Odredi početnu cijenu.

1,25G = 150Nova cijena je 125% početne.

G = 150 : 1,25 = 120 KMKod povećanja dijeli faktorom većim od 1.

120 + 0,25·120 = 150 KM ✓Povećanje je 30 KM.

Primjer 3: Vraćanje na početnu cijenu

Artikal od 100 KM prvo je snižen 20%, pa povećan 20%. Kolika je cijena?

C₁ = 100·0,80 = 80 KMPrvi procenat primijeni na 100 KM.

C₂ = 80·1,20 = 96 KMDrugi procenat primijeni na novu osnovicu 80 KM.

96 − 100 = −4 KMUkupna promjena je smanjenje 4%, a ne 0%.

Samostalno: Nakon sniženja 15% patike koštaju 68 KM. Odredi početnu cijenu.

Provjeri postupak

0,85G=68; G=68:0,85=80 KM. Provjera:15% od 80 je 12; 80−12=68.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Za 200 KM uz jednostavnu godišnju kamatu 3% tokom pola godine: I=200·3·0,5/100=3 KM. Ukupno 203 KM. Ako četiri jednako brze osobe obave posao za 6 sati, dvije će za isti posao trebati 12 sati: proizvod 4·6=2·12.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Šest radnika završi posao za 8 sati. Koliko treba četvorici, uz isti učinak?

Provjeri rješenje i postupak

6·8=4t, pa t=12 sati. Model pretpostavlja podjednak učinak bez smetnji.

Zadatak 2. Proizvod nakon popusta 20% košta 64 KM. Kolika je početna cijena?

Provjeri rješenje i postupak

64=0,8G, pa G=80 KM. Provjera:20% od 80 je 16, a 80−16=64.

Zadatak 3. Izračunaj jednostavnu kamatu na 400 KM, godišnje 3%, za 9 mjeseci.

Provjeri rješenje i postupak

t=9/12=0,75; I=400·3·0,75/100=9 KM. Ukupno 409 KM.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

Popust pa poskupljenje istog procenta ne vraćaju uvijek staru cijenu.
Taksa s početnom naknadom nije direktna proporcionalnost.
Mjesece pretvori u godine prije godišnje kamate.

8. Provjeri znanje

1. 20% od 150 je

2. y=12/x; za x=3 je y

3. Kamata na 100 KM, 5%, 2 godine je

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 37. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.