Talesova teorema i dijeljenje duži

🎯 Cilj lekcije

Prepoznaj uslove za primjenu Talesove teoreme.
Izračunaj nepoznatu duž koristeći odgovarajuću proporciju.
Podijeli duž u zadatom omjeru pomoću geometrijskog pribora.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Paralelne prave koje sijeku krake ugla odsijecaju proporcionalne duži. To je osnova Talesove teoreme i konstrukcije podjele duži.

3. Pravila i veze

U trouglu ABC uz D u unutrašnjosti duži AB, E u unutrašnjosti duži AC i DE ∥ BC vrijedi AD/AB=AE/AC=DE/BC. Također AD/DB=AE/EC. Svaka razmjera mora porediti odgovarajuće duži. Za podjelu AB u omjeru m:n, gdje su m i n pozitivni cijeli brojevi, pomoćni krak podijeli na m+n jednakih dijelova.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

Dužina 12 cm: dijelovi 6 cm i 6 cm.

5. Rješenje korak po korak

AB=10 cm; 2 + 3 = 5Dijeliš duž u omjeru 2 : 3, dakle na pet jednakih jedinica omjera.

AA₁=A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅Na pomoćnom kraku šestarom nanesi pet jednakih odsječaka.

A₂D ∥ A₅B; D ∈ ABSpoji A₅ s B, pa kroz A₂ povuci paralelu toj spojnici.

AD=10·25 = 4 cm; DB = 6 cmTalesova teorema daje AD/AB = 2/5. Provjera: 4 : 6 = 2 : 3.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Talesova teorema — tri riješena primjera

Primjer 1: Talesova teorema

U trouglu ABC je DE ∥ BC, D je na AB, E na AC. Ako je AD = 2 cm, DB = 4 cm i AE = 4 cm, izračunaj EC.

AB=2 + 4 = 6 cmNajprije izračunaj cijelu stranicu.

ADAB=AEAC ⇒ 26 = 4ACParalelnost daje jednake odnose.

AC=4 · 62 = 12 cmUnakrsnim množenjem odredi cijelu drugu stranicu.

EC=AC − AE = 12 − 4 = 8 cmTražen je ostatak duži, a ne cijela stranica.

Primjer 2: Talesova teorema

U trouglu ABC je DE ∥ BC, D je na AB, E na AC. Ako je AD = 3 cm, DB = 6 cm i AE = 4 cm, izračunaj EC.

AB=3 + 6 = 9 cmNajprije izračunaj cijelu stranicu.

ADAB=AEAC ⇒ 39 = 4ACParalelnost daje jednake odnose.

AC=4 · 93 = 12 cmUnakrsnim množenjem odredi cijelu drugu stranicu.

EC=AC − AE = 12 − 4 = 8 cmTražen je ostatak duži, a ne cijela stranica.

Primjer 3: Talesova teorema

U trouglu ABC je DE ∥ BC, D je na AB, E na AC. Ako je AD = 4 cm, DB = 8 cm i AE = 4 cm, izračunaj EC.

AB=4 + 8 = 12 cmNajprije izračunaj cijelu stranicu.

ADAB=AEAC ⇒ 412 = 4ACParalelnost daje jednake odnose.

AC=4 · 124 = 12 cmUnakrsnim množenjem odredi cijelu drugu stranicu.

EC=AC − AE = 12 − 4 = 8 cmTražen je ostatak duži, a ne cijela stranica.

Dijeljenje duži u omjeru — tri riješena primjera

Primjer 1: Dijeljenje duži u omjeru

Duž dužine 12 cm podijeli u odnosu 1 : 2. Izračunaj oba dijela.

1 + 2=3 dijelaSaberi članove omjera.

u=12 : 3 = 4 cmNađi dužinu jednog jednakog dijela.

a=4 cm, b = 2 · 4 = 8 cmPrvi dio sadrži jednu, a drugi dvije jedinice omjera.

4 + 8=12 cm ✓Provjeri zbir i odnos 1 : 2.

Primjer 2: Dijeljenje duži u omjeru

Duž dužine 18 cm podijeli u odnosu 1 : 2. Izračunaj oba dijela.

1 + 2=3 dijelaSaberi članove omjera.

u=18 : 3 = 6 cmNađi dužinu jednog jednakog dijela.

a=6 cm, b = 2 · 6 = 12 cmPrvi dio sadrži jednu, a drugi dvije jedinice omjera.

6 + 12=18 cm ✓Provjeri zbir i odnos 1 : 2.

Primjer 3: Dijeljenje duži u omjeru

Duž dužine 24 cm podijeli u odnosu 1 : 2. Izračunaj oba dijela.

1 + 2=3 dijelaSaberi članove omjera.

u=24 : 3 = 8 cmNađi dužinu jednog jednakog dijela.

a=8 cm, b = 2 · 8 = 16 cmPrvi dio sadrži jednu, a drugi dvije jedinice omjera.

8 + 16=24 cm ✓Provjeri zbir i odnos 1 : 2.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: U trouglu je AB=9 cm, AC=12 cm, a AD=3 cm i DE∥BC. AE/12=3/9=1/3, pa AE=4 cm. Preostali dio EC=8 cm.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Uz DE∥BC, AB=15, AD=6 i AC=20 nađi AE.

Provjeri rješenje i postupak

AE/20=6/15=2/5, pa AE=8. EC=12.

Zadatak 2. Konstruiši podjelu duži 14 cm u omjeru 3:4.

Provjeri rješenje i postupak

Na pomoćnom kraku odloži 7 jednakih odsječaka. Spoji sedmi s krajem duži; kroz treći povuci paralelu. Dijelovi su 6 cm i 8 cm.

Zadatak 3. Slični trouglovi imaju odgovarajuće stranice 4 i 10. Ako je druga stranica manjeg 6, kolika je odgovarajuća veća?

Provjeri rješenje i postupak

Koeficijent je 10/4=2,5. Veća stranica je 6·2,5=15.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

Paralelnost je neophodan uslov ove konstrukcije.
Ne zamijeni dio i cijelu duž: AD/AB nije AD/DB.
Omjer 2:3 znači 5 dijelova ukupno.

8. Provjeri znanje

1. 10 cm u omjeru 2:3 daje

2. AD/AB=1/2 i AC=8 cm, pa AE je

3. Za Talesovu teoremu DE i BC moraju biti

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 37. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.