Površina prizme i piramide

🎯 Cilj lekcije

Izračunati površinu baze B i omotača (bočnih strana) M.
Primijeniti formulu P = 2B + M za prizmu.
Primijeniti formulu P = B + M za piramidu, koristeći apotemu bočne strane.

1. Površina prizme: P = 2B + M

Zamisli da hoćeš oblijepiti kutiju papirom sa svih strana, bez preklapanja — koliko papira ti treba? To je upravo površina prizme.

Površina prizme sastoji se od dvije baze (gornja i donja, iste površine B) i omotača M (zbir površina svih bočnih pravougaonika). Kod uspravne prizme omotač se računa kao proizvod obima baze o i visine H:

M = o · H • P = 2B + M

Primjer: Kvadar s kvadratnom bazom a = 4 cm i visinom H = 10 cm.
Baza: B = a² = 4² = 16 cm². Obim baze: o = 4a = 4 · 4 = 16 cm.
Omotač: M = o · H = 16 · 10 = 160 cm².
Površina: P = 2B + M = 2 · 16 + 160 = 32 + 160 = 192 cm².

2. Površina piramide: P = B + M

Isto pitanje, ali za šator u obliku piramide: koliko platna treba za pod i sve kose strane? To ti kaže površina piramide.

Piramida ima jednu bazu B i omotač M koji se sastoji od trouglastih bočnih strana. Kod pravilne piramide sve bočne strane imaju jednaku visinu l. Tada se omotač računa pomoću obima baze o i apoteme bočne strane l (visine bočnog trougla, ne visine piramide!):

M = ½ · o · l • P = B + M

Primjer: Kvadratna piramida s bazom a = 6 cm i apotemom bočne strane l = 5 cm.
Baza: B = a² = 6² = 36 cm². Obim baze: o = 4a = 24 cm.
Omotač: M = ½ · 24 · 5 = 60 cm².
Površina: P = B + M = 36 + 60 = 96 cm².

Primjer iz života: Zatvorena staklena kutija ima oblik kvadra — kvadratno dno stranice a = 30 cm i visinu H = 40 cm. Koliko stakla (površine) je potrebno da se napravi (svih 6 strana)?
Baza: B = a² = 30² = 900 cm². Obim baze: o = 4 · 30 = 120 cm.
Omotač: M = o · H = 120 · 40 = 4800 cm².
Površina: P = 2B + M = 2 · 900 + 4800 = 1800 + 4800 = 6600 cm² (to je tačno 0,66 m² stakla). Za akvarij bez poklopca oduzmi gornju bazu: 6600−900=5700 cm².

💡 Pazi na apotemuApotema bočne strane l NIJE isto što i visina piramide H! l je kosa dužina od sredine ivice baze do vrha, a H je okomita visina od vrha do baze.

3. Isprobaj uživo

Upiši stranicu baze a, visinu prizme H i apotemu bočne strane piramide l — alat računa površinu oba tijela.

🧮 Kalkulator površine (kvadratna baza)

Baza je uvijek kvadrat sa stranicom a.

a (cm) H prizme (cm) l piramide (cm)

4. Rješenje korak po korak

Izračunajmo površinu kvadratne piramide s bazom a = 8 cm i apotemom l = 6 cm, korak po korak.

B=8² = 64 cm²Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat stranice 8 cm.

o=4·8 = 32 cmIzračunaj obim baze.

M=o·l2 = 32·62 = 96 cm²Apotema bočne strane je 6 cm; nije visina cijelog tijela.

P=B + M = 64 + 96 = 160 cm²Piramida ima jednu bazu, pa je dodaj omotaču.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Površina prave kvadratne prizme — tri riješena primjera

Primjer 1: Površina prave kvadratne prizme

Baza prave prizme je kvadrat stranice 2 cm, a visina je 3 cm. Izračunaj površinu.

B=a² = 2² = 4 cm²Izračunaj površinu jedne baze.

O=4a = 8 cmOmotač zavisi od obima baze.

M=O · H = 8 · 3 = 24 cm²Četiri bočna pravougaonika zajedno čine omotač.

P=2B + M = 8 + 24 = 32 cm²Dodaj dvije baze.

Primjer 2: Površina prave kvadratne prizme

Baza prave prizme je kvadrat stranice 3 cm, a visina je 5 cm. Izračunaj površinu.

B=a² = 3² = 9 cm²Izračunaj površinu jedne baze.

O=4a = 12 cmOmotač zavisi od obima baze.

M=O · H = 12 · 5 = 60 cm²Četiri bočna pravougaonika zajedno čine omotač.

P=2B + M = 18 + 60 = 78 cm²Dodaj dvije baze.

Primjer 3: Površina prave kvadratne prizme

Baza prave prizme je kvadrat stranice 4 cm, a visina je 6 cm. Izračunaj površinu.

B=a² = 4² = 16 cm²Izračunaj površinu jedne baze.

O=4a = 16 cmOmotač zavisi od obima baze.

M=O · H = 16 · 6 = 96 cm²Četiri bočna pravougaonika zajedno čine omotač.

P=2B + M = 32 + 96 = 128 cm²Dodaj dvije baze.

Površina pravilne četverostrane piramide — tri riješena primjera

Primjer 1: Površina pravilne četverostrane piramide

Baza pravilne piramide ima stranicu 2 cm, a apotema bočne strane iznosi 3 cm. Odredi površinu.

B=2² = 4 cm²Baza je kvadrat.

P₁=a · s2 = 2 · 32 = 3,0 cm²Apotema je visina bočnog trougla.

M=4 · 3,0 = 12 cm²Postoje četiri podudarna bočna trougla.

P=B + M = 4 + 12 = 16 cm²Piramida ima jednu bazu.

Primjer 2: Površina pravilne četverostrane piramide

Baza pravilne piramide ima stranicu 3 cm, a apotema bočne strane iznosi 5 cm. Odredi površinu.

B=3² = 9 cm²Baza je kvadrat.

P₁=a · s2 = 3 · 52 = 7,5 cm²Apotema je visina bočnog trougla.

M=4 · 7,5 = 30 cm²Postoje četiri podudarna bočna trougla.

P=B + M = 9 + 30 = 39 cm²Piramida ima jednu bazu.

Primjer 3: Površina pravilne četverostrane piramide

Baza pravilne piramide ima stranicu 4 cm, a apotema bočne strane iznosi 6 cm. Odredi površinu.

B=4² = 16 cm²Baza je kvadrat.

P₁=a · s2 = 4 · 62 = 12,0 cm²Apotema je visina bočnog trougla.

M=4 · 12,0 = 48 cm²Postoje četiri podudarna bočna trougla.

P=B + M = 16 + 48 = 64 cm²Piramida ima jednu bazu.

5. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno 2 kod prizme. Prizma ima DVIJE baze — P = 2B + M, ne B + M.
Korištenje H umjesto l kod piramide. Omotač piramide koristi apotemu bočne strane l, ne visinu tijela H.
Zaboravljeno ½ kod piramide. Omotač piramide je ½ · o · l, jer su bočne strane trouglovi.
Pogrešan obim baze. Za kvadrat o = 4a, za pravougaonik o = 2(a+b) — pazi koji oblik je baza.

6. Kviz

1. Kvadar s kvadratnom bazom a = 4 cm, H = 10 cm. Kolika je površina?

2. Kvadratna piramida, a = 6 cm, apotema l = 5 cm. Kolika je površina?

3. Šta je apotema bočne strane piramide?

4. Zašto formula za prizmu ima 2B, a za piramidu samo B?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.

Prije početka

Na papiru zapiši poznate podatke i šta tražiš. Prisjeti se pravila navedenih u objašnjenju; ako ti neko nije jasno, prvo ga provjeri na jednostavnom primjeru.