Rogljasta tijela: baze, mreže i mjerenje

🎯 Cilj lekcije

Razlikuj rogalj, poliedar, prizmu i piramidu.
Poveži trostranu i četverostranu prizmu ili piramidu s bazom i mrežom.
Izračunaj površinu i zapreminu uz razlikovanje visina.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Poliedar je tijelo omeđeno mnogouglovima. Rogalj nastaje kada se više ravnih uglova sastaje u zajedničkom vrhu i nije ravan. Prizma ima dvije podudarne paralelne baze, piramida jednu bazu i bočne trouglove.

3. Pravila i veze

Uspravna prizma: P=2B+M, M=OᵦH, V=BH. Pravilna piramida: P=B+Oᵦs/2 i V=BH/3. H je visina tijela, s visina bočne strane. Za pravilnu četverostranu piramidu s²=H²+(a/2)². Za pravilnu trostranu bazu B=a²√3/4, a udaljenost središta od stranice je a√3/6; zato s²=H²+a²/12.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

Dvije kvadratne baze i četiri pravougaone bočne strane.

5. Rješenje korak po korak

a=6 cm, H = 4 cm; B = 36 cm²Zapiši stranicu kvadratne baze, visinu tijela i površinu baze.

s=√(4²+3²) = 5 cmU pravouglom presjeku koristi polovinu stranice baze, tj. 3 cm.

M=4·6·52 = 60 cm²; P = 96 cm²Omotač čine četiri bočna trougla; dodaj bazu od 36 cm².

V=36·43 = 48 cm³Za zapreminu koristi visinu tijela 4 cm. Rezultat je trećina zapremine odgovarajuće prizme.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Površina prave kvadratne prizme — tri riješena primjera

Primjer 1: Površina prave kvadratne prizme

Baza prave prizme je kvadrat stranice 2 cm, a visina je 3 cm. Izračunaj površinu.

B=a² = 2² = 4 cm²Izračunaj površinu jedne baze.

O=4a = 8 cmOmotač zavisi od obima baze.

M=O · H = 8 · 3 = 24 cm²Četiri bočna pravougaonika zajedno čine omotač.

P=2B + M = 8 + 24 = 32 cm²Dodaj dvije baze.

Primjer 2: Površina prave kvadratne prizme

Baza prave prizme je kvadrat stranice 3 cm, a visina je 5 cm. Izračunaj površinu.

B=a² = 3² = 9 cm²Izračunaj površinu jedne baze.

O=4a = 12 cmOmotač zavisi od obima baze.

M=O · H = 12 · 5 = 60 cm²Četiri bočna pravougaonika zajedno čine omotač.

P=2B + M = 18 + 60 = 78 cm²Dodaj dvije baze.

Primjer 3: Površina prave kvadratne prizme

Baza prave prizme je kvadrat stranice 4 cm, a visina je 6 cm. Izračunaj površinu.

B=a² = 4² = 16 cm²Izračunaj površinu jedne baze.

O=4a = 16 cmOmotač zavisi od obima baze.

M=O · H = 16 · 6 = 96 cm²Četiri bočna pravougaonika zajedno čine omotač.

P=2B + M = 32 + 96 = 128 cm²Dodaj dvije baze.

Zapremina prizme — tri riješena primjera

Primjer 1: Zapremina prizme

Prava prizma ima kvadratnu bazu stranice 2 cm i visinu 3 cm. Izračunaj zapreminu.

B=2 · 2 = 4 cm²Najprije izračunaj bazu.

V=B · HZapremina je površina baze puta visina tijela.

V=4 · 3 = 12 cm³Uvrsti veličine u centimetrima.

12 : 4=3 cm ✓Provjerom količnika dobiješ zadanu visinu.

Primjer 2: Zapremina prizme

Prava prizma ima kvadratnu bazu stranice 3 cm i visinu 5 cm. Izračunaj zapreminu.

B=3 · 3 = 9 cm²Najprije izračunaj bazu.

V=B · HZapremina je površina baze puta visina tijela.

V=9 · 5 = 45 cm³Uvrsti veličine u centimetrima.

45 : 9=5 cm ✓Provjerom količnika dobiješ zadanu visinu.

Primjer 3: Zapremina prizme

Prava prizma ima kvadratnu bazu stranice 4 cm i visinu 6 cm. Izračunaj zapreminu.

B=4 · 4 = 16 cm²Najprije izračunaj bazu.

V=B · HZapremina je površina baze puta visina tijela.

V=16 · 6 = 96 cm³Uvrsti veličine u centimetrima.

96 : 16=6 cm ✓Provjerom količnika dobiješ zadanu visinu.

Površina pravilne četverostrane piramide — tri riješena primjera

Primjer 1: Površina pravilne četverostrane piramide

Baza pravilne piramide ima stranicu 2 cm, a apotema bočne strane iznosi 3 cm. Odredi površinu.

B=2² = 4 cm²Baza je kvadrat.

P₁=a · s2 = 2 · 32 = 3,0 cm²Apotema je visina bočnog trougla.

M=4 · 3,0 = 12 cm²Postoje četiri podudarna bočna trougla.

P=B + M = 4 + 12 = 16 cm²Piramida ima jednu bazu.

Primjer 2: Površina pravilne četverostrane piramide

Baza pravilne piramide ima stranicu 3 cm, a apotema bočne strane iznosi 5 cm. Odredi površinu.

B=3² = 9 cm²Baza je kvadrat.

P₁=a · s2 = 3 · 52 = 7,5 cm²Apotema je visina bočnog trougla.

M=4 · 7,5 = 30 cm²Postoje četiri podudarna bočna trougla.

P=B + M = 9 + 30 = 39 cm²Piramida ima jednu bazu.

Primjer 3: Površina pravilne četverostrane piramide

Baza pravilne piramide ima stranicu 4 cm, a apotema bočne strane iznosi 6 cm. Odredi površinu.

B=4² = 16 cm²Baza je kvadrat.

P₁=a · s2 = 4 · 62 = 12,0 cm²Apotema je visina bočnog trougla.

M=4 · 12,0 = 48 cm²Postoje četiri podudarna bočna trougla.

P=B + M = 16 + 48 = 64 cm²Piramida ima jednu bazu.

Zapremina piramide — tri riješena primjera

Primjer 1: Zapremina piramide

Piramida ima kvadratnu bazu stranice 2 cm i visinu 9 cm. Izračunaj zapreminu.

B=2² = 4 cm²Izračunaj bazu.

V=B · H3Piramida zauzima trećinu odgovarajuće prizme.

V=4 · 93 = 12 cm³Množi, pa podijeli s tri.

3V=36 cm³To je zapremina prizme iste baze i visine.

Primjer 2: Zapremina piramide

Piramida ima kvadratnu bazu stranice 3 cm i visinu 15 cm. Izračunaj zapreminu.

B=3² = 9 cm²Izračunaj bazu.

V=B · H3Piramida zauzima trećinu odgovarajuće prizme.

V=9 · 153 = 45 cm³Množi, pa podijeli s tri.

3V=135 cm³To je zapremina prizme iste baze i visine.

Primjer 3: Zapremina piramide

Piramida ima kvadratnu bazu stranice 4 cm i visinu 18 cm. Izračunaj zapreminu.

B=4² = 16 cm²Izračunaj bazu.

V=B · H3Piramida zauzima trećinu odgovarajuće prizme.

V=16 · 183 = 96 cm³Množi, pa podijeli s tri.

3V=288 cm³To je zapremina prizme iste baze i visine.

Mreža trostrane prizme: korak po korak

Kvadratna baza nije jedina mogućnost. Za uspravnu prizmu s pravouglom trougaonom bazom izračunaj bazu i njen obim, pa odredi tri različita pravougaonika omotača. Mrežu nacrtaj i sklopi na papiru.

Primjer 1: Mreža trostrane prizme

Baza uspravne prizme je pravougli trougao kateta 3 i 4 cm. Visina prizme je 6 cm. Odredi mrežu, površinu i zapreminu.

c = √(3²+4²) = 5 cmNađi treću stranicu baze.

B = 3·4/2 = 6 cm²; O = 3+4+5 = 12 cmVisina prizme nije visina trougaone baze.

mreža: 2 trougla + 3×6, 4×6, 5×6Pravougaonike spoji u traku po zajedničkim stranicama dužine 6; trouglove dodaj na suprotne rubove.

M = 12·6 = 72 cm²; P = 2·6+72 = 84 cm²Površinu provjeri zbirom svih pet dijelova mreže.

V = 6·6 = 36 cm³Pomnoži površinu baze visinom tijela.

Primjer 2: Mreža trostrane prizme

Baza ima katete 5 i 12 cm, a prizma visinu 4 cm. Odredi mrežu, površinu i zapreminu.

c = √(25+144) = 13 cmHipotenuza je najduža stranica baze.

B = 5·12/2 = 30 cm²; O = 30 cmIzračunaj oba podatka baze.

mreža: 2 trougla + 5×4, 12×4, 13×4Pravougaonike spoji u traku; dvije baze smjesti na suprotne rubove.

P = 2·30+30·4 = 180 cm²Saberi dvije baze i omotač.

V = 30·4 = 120 cm³Zapremina koristi površinu baze, a ne njen obim.

Primjer 3: Mreža trostrane prizme

Prizma baze kateta 6 i 8 cm visoka je 10 cm. Nacrtaj mrežu i provjeri površinu dvjema strategijama.

c = 10 cm; B = 6·8/2 = 24 cm²Prepoznaj udvostručenu trojku 3–4–5.

mreža: 2 trougla + 6×10, 8×10, 10×10Svaka stranica baze daje jedan bočni pravougaonik.

P = 2·24+(6+8+10)·10 = 288 cm²Prvi način: obim baze puta visina.

P = 24+24+60+80+100 = 288 cm² ✓Drugi način: saberi sve dijelove nacrtane mreže.

Samostalno: Nacrtaj mrežu prizme čija baza ima katete8 i15 cm, a visina tijela je3 cm. Izračunaj P i V.

Provjeri postupak

Treća stranica baze je17 cm. Dvije baze imaju po60 cm². Tri pravougaonika su8×3,15×3,17×3. Omotač je120 cm², P=240 cm²,V=180 cm³. Papirni model treba imati5strana,9bridova i6tjemena.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Uspravna trostrana prizma baze jednakostraničnog trougla a=4 cm i visine 10 cm ima B=4√3 cm², M=12·10=120 cm², P=120+8√3 cm² i V=40√3 cm³. Nacrtaj dvije jednake trougaone baze i tri pravougaonika 4×10: dobio si njenu mrežu. Pravilna trostrana piramida sa a=6 i H=4 ima s=√19, M=9√19 i V=12√3.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Nacrtaj mrežu pravilne četverostrane prizme a=3 cm,H=5 cm. Izračunaj P i V.

Provjeri rješenje i postupak

Dvije kvadratne baze 3×3 i četiri pravougaonika 3×5. B=9, M=60, P=78 cm², V=45 cm³.

Zadatak 2. Nacrtaj mrežu pravilne trostrane piramide a=6,H=4. Označi različite visine i izračunaj P i V.

Provjeri rješenje i postupak

B=9√3; s=√(16+3)=√19. M=9√19; P=9√3+9√19 cm²; V=12√3 cm³. Mreža ima jednakostraničnu bazu i tri jednakokraka trougla.

Zadatak 3. Kutija je kvadar 3×4×12 cm. Nađi prostornu dijagonalu na dva koraka.

Provjeri rješenje i postupak

Dijagonala baze √(9+16)=5; prostorna dijagonala √(25+144)=13 cm. Skica pokazuje dva uzastopna pravougla trougla.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

Visina bočne strane nije visina tijela.
Površina je u cm², zapremina u cm³.
Piramida ima jednu bazu; prizma dvije.

8. Provjeri znanje

1. Zapremina piramide B=30 cm², H=6 cm je

2. Omotač uspravne prizme je

3. Pravilna četverostrana piramida a=6, H=4 ima bočnu visinu

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 38. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.