Zapremina prizme i piramide

🎯 Cilj lekcije

Primijeniti formulu V = B · H za zapreminu prizme.
Primijeniti formulu V = ⅓ · B · H za zapreminu piramide.
Prepoznati da piramida ima tačno trećinu zapremine prizme s istom bazom i visinom.

1. Zapremina prizme: V = B · H

Zapremina ti kaže koliko nečega (vode, pijeska, sladoleda) stane unutra u tijelo. Za prizmu je to jednostavno: površina baze B pomnožena s visinom H.

Zapremina prizme jednaka je površini baze B pomnoženoj s visinom H:

V = B · H

Primjer: Kvadar s kvadratnom bazom a = 4 cm (B = 16 cm²) i visinom H = 10 cm.
V = B · H = 16 · 10 = 160 cm³.

2. Zapremina piramide: V = ⅓ · B · H

Zamisli da prizmu i piramidu s istom bazom i istom visinom puniš vodom. U piramidu ti treba tačno tri puta manje vode! Zato kod piramide množimo sa ⅓.

Piramida ima tačno trećinu zapremine prizme sa istom bazom i istom visinom:

V = ⅓ · B · H

💡 Zašto baš H, a ne l?Za zapreminu piramide koristi se PRAVA visina H (okomita od vrha do baze), a ne apotema bočne strane l koja se koristila za površinu!

Primjer: Kvadratna piramida s bazom a = 6 cm (B = 36 cm²) i visinom H = 9 cm.
V = ⅓ · B · H = ⅓ · 36 · 9 = ⅓ · 324 = 108 cm³.

Primjer iz života: Kutija za sladoled ima oblik kvadra (prizme) sa kvadratnim dnom a = 5 cm i visinom H = 12 cm. Koliko sladoleda (zapremine) stane u kutiju?
Baza: B = a² = 5² = 25 cm².
V = B · H = 25 · 12 = 300 cm³ (to je 300 ml sladoleda).
Da je to umjesto kutije bio šator u obliku piramide s istom bazom i visinom, u njega bi stalo samo V = ⅓ · 300 = 100 cm³ — tri puta manje!

3. Isprobaj uživo

Upiši stranicu kvadratne baze a i visinu H — alat računa zapreminu prizme i piramide i pokazuje da je piramida tačno trećina prizme.

🧮 Kalkulator zapremine (kvadratna baza)

Oba tijela imaju istu bazu i istu visinu H.

a (cm) H (cm)

Prizma

Piramida

4. Rješenje korak po korak

Izračunajmo zapreminu kvadratne piramide s bazom a = 6 cm i visinom H = 9 cm, korak po korak.

B=6² = 36 cm²Kvadratna baza ima stranicu 6 cm.

B·H=36·9 = 324 cm³Prvo izračunaj zapreminu odgovarajuće prizme.

V=3243 = 108 cm³Zapremina piramide je trećina ovog proizvoda.

108·3=324 cm³ ✓Prizma iste baze i visine ima tri puta veću zapreminu.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Zapremina prizme — tri riješena primjera

Primjer 1: Zapremina prizme

Prava prizma ima kvadratnu bazu stranice 2 cm i visinu 3 cm. Izračunaj zapreminu.

B=2 · 2 = 4 cm²Najprije izračunaj bazu.

V=B · HZapremina je površina baze puta visina tijela.

V=4 · 3 = 12 cm³Uvrsti veličine u centimetrima.

12 : 4=3 cm ✓Provjerom količnika dobiješ zadanu visinu.

Primjer 2: Zapremina prizme

Prava prizma ima kvadratnu bazu stranice 3 cm i visinu 5 cm. Izračunaj zapreminu.

B=3 · 3 = 9 cm²Najprije izračunaj bazu.

V=B · HZapremina je površina baze puta visina tijela.

V=9 · 5 = 45 cm³Uvrsti veličine u centimetrima.

45 : 9=5 cm ✓Provjerom količnika dobiješ zadanu visinu.

Primjer 3: Zapremina prizme

Prava prizma ima kvadratnu bazu stranice 4 cm i visinu 6 cm. Izračunaj zapreminu.

B=4 · 4 = 16 cm²Najprije izračunaj bazu.

V=B · HZapremina je površina baze puta visina tijela.

V=16 · 6 = 96 cm³Uvrsti veličine u centimetrima.

96 : 16=6 cm ✓Provjerom količnika dobiješ zadanu visinu.

Zapremina piramide — tri riješena primjera

Primjer 1: Zapremina piramide

Piramida ima kvadratnu bazu stranice 2 cm i visinu 9 cm. Izračunaj zapreminu.

B=2² = 4 cm²Izračunaj bazu.

V=B · H3Piramida zauzima trećinu odgovarajuće prizme.

V=4 · 93 = 12 cm³Množi, pa podijeli s tri.

3V=36 cm³To je zapremina prizme iste baze i visine.

Primjer 2: Zapremina piramide

Piramida ima kvadratnu bazu stranice 3 cm i visinu 15 cm. Izračunaj zapreminu.

B=3² = 9 cm²Izračunaj bazu.

V=B · H3Piramida zauzima trećinu odgovarajuće prizme.

V=9 · 153 = 45 cm³Množi, pa podijeli s tri.

3V=135 cm³To je zapremina prizme iste baze i visine.

Primjer 3: Zapremina piramide

Piramida ima kvadratnu bazu stranice 4 cm i visinu 18 cm. Izračunaj zapreminu.

B=4² = 16 cm²Izračunaj bazu.

V=B · H3Piramida zauzima trećinu odgovarajuće prizme.

V=16 · 183 = 96 cm³Množi, pa podijeli s tri.

3V=288 cm³To je zapremina prizme iste baze i visine.

5. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno ⅓ kod piramide. Bez tog množioca dobićeš zapreminu prizme, ne piramide.
Korištenje apoteme l umjesto visine H. Zapremina uvijek koristi pravu (okomitu) visinu H, ne kosu apotemu.
Pogrešne jedinice. Zapremina se mjeri u cm³ (ili m³), površina u cm² — ne miješaj ih.
Zaokruživanje prerano. Kod razlomka ⅓ bolje zadrži tačan oblik dok god možeš, zaokruži tek na kraju.

6. Kviz

1. Prizma, B = 16 cm², H = 10 cm. Kolika je zapremina?

2. Piramida, B = 36 cm², H = 9 cm. Kolika je zapremina?

3. Koja visina se koristi za zapreminu piramide?

4. Prizma i piramida imaju istu bazu B = 20 cm² i visinu H = 6 cm. Koliki je odnos njihovih zapremina (prizma : piramida)?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.

Prije početka

Na papiru zapiši poznate podatke i šta tražiš. Prisjeti se pravila navedenih u objašnjenju; ako ti neko nije jasno, prvo ga provjeri na jednostavnom primjeru.