Razlikuj racionalne i iracionalne brojeve i uporedi njihove vrijednosti.
Izračunaj korijen i riješi x²=a, vodeći računa o broju rješenja.
Konstruiši √2 na brojevnoj osi i objasni apsolutnu vrijednost.
1. Prije početka
Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.
2. Razumij pojam
Racionalan broj možeš zapisati kao razlomak dva cijela broja, uz imenilac različit od nule. Iracionalan broj nema takav zapis. Njegov decimalni zapis je beskonačan i neperiodičan. Oba skupa zajedno čine realne brojeve R.
3. Pravila i veze
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I = R \ Q. Broj √2 pripada I, a √9 = 3 pripada Q. Korijen √a je nenegativan broj čiji je kvadrat a; u R postoji za a ≥ 0. Jednačina x² = a ima dva rješenja kada je a > 0, jedno za a = 0, a nijedno realno za a < 0. Apsolutna vrijednost |x| je udaljenost od nule: |−√2| = √2. R je zatvoren za sabiranje, oduzimanje i množenje, a za dijeljenje je potreban nenulti djelilac.
Računanje s korijenima
Za a,b≥0 vrijedi √a·√b=√(ab), a za b>0 vrijedi √a/√b=√(a/b). Ne primjenjuj ta pravila na zbir. Izdvajanjem savršenog kvadrata dobijaš √18=3√2. Zato √18+√8=3√2+2√2=5√2, a √18−√8=√2. Proizvod √18·√8=√144=12; količnik √18/√8=√(9/4)=3/2.
Samostalno: Izračunaj √12+√27, √27−√12, √12·√27 i √27/√12.Provjeri sva četiri računa
√12=2√3, √27=3√3. Zbir je 5√3, razlika √3, proizvod √324=18 i količnik √(9/4)=3/2. Druga provjera proizvoda:2√3·3√3=6·3=18.
4. Istraži primjere
Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.
√2: između 1 i 1,5; iracionalan
5. Rješenje korak po korak
x²=49Tražiš sve realne brojeve čiji je kvadrat 49.
7²=(−7)² = 49 ⇒ x ∈ {−7,7}Jednačina ima dva rješenja.
√49=7Simbol korijena označava nenegativnu vrijednost, a ne oba rješenja jednačine.
√12 · √27=√(12·27)Oba broja pod korijenom su nenegativna.
=√324 = 18Prepoznaj potpuni kvadrat.
2√3 · 3√3=6·3 = 18 ✓Provjeri izdvajanjem kvadrata iz oba korijena.
Primjer 2: Množenje korijena
Izračunaj √27 · √75.
√27 · √75=√(27·75)Oba broja pod korijenom su nenegativna.
=√2025 = 45Prepoznaj potpuni kvadrat.
3√3 · 5√3=15·3 = 45 ✓Provjeri izdvajanjem kvadrata iz oba korijena.
Primjer 3: Množenje korijena
Izračunaj √48 · √147.
√48 · √147=√(48·147)Oba broja pod korijenom su nenegativna.
=√7056 = 84Prepoznaj potpuni kvadrat.
4√3 · 7√3=28·3 = 84 ✓Provjeri izdvajanjem kvadrata iz oba korijena.
Dijeljenje korijena — tri riješena primjera
Primjer 1: Dijeljenje korijena
Izračunaj √27 : √12.
√12 > 0Djelilac nije nula, pa je dijeljenje dopušteno.
√27 : √12=(3√3) : (2√3)Izdvoji potpune kvadrate.
=32 = 32Skrati zajednički nenulti faktor √3.
Primjer 2: Dijeljenje korijena
Izračunaj √75 : √27.
√27 > 0Djelilac nije nula, pa je dijeljenje dopušteno.
√75 : √27=(5√3) : (3√3)Izdvoji potpune kvadrate.
=53 = 53Skrati zajednički nenulti faktor √3.
Primjer 3: Dijeljenje korijena
Izračunaj √147 : √48.
√48 > 0Djelilac nije nula, pa je dijeljenje dopušteno.
√147 : √48=(7√3) : (4√3)Izdvoji potpune kvadrate.
=74 = 74Skrati zajednički nenulti faktor √3.
Apsolutna vrijednost realnog broja — tri riješena primjera
Primjer 1: Apsolutna vrijednost realnog broja
Izračunaj |−2√2| i udaljenost brojeva −2√2 i 2√2.
|−2√2|=2√2Apsolutna vrijednost je nenegativna udaljenost od nule.
d=|2√2 − (−2√2)|Udaljenost je apsolutna vrijednost razlike.
d=|4√2| = 4√2Brojevi su s različitih strana nule pa se udaljenosti do nule sabiraju.
Primjer 2: Apsolutna vrijednost realnog broja
Izračunaj |−3√2| i udaljenost brojeva −3√2 i 3√2.
|−3√2|=3√2Apsolutna vrijednost je nenegativna udaljenost od nule.
d=|3√2 − (−3√2)|Udaljenost je apsolutna vrijednost razlike.
d=|6√2| = 6√2Brojevi su s različitih strana nule pa se udaljenosti do nule sabiraju.
Primjer 3: Apsolutna vrijednost realnog broja
Izračunaj |−4√2| i udaljenost brojeva −4√2 i 4√2.
|−4√2|=4√2Apsolutna vrijednost je nenegativna udaljenost od nule.
d=|4√2 − (−4√2)|Udaljenost je apsolutna vrijednost razlike.
d=|8√2| = 8√2Brojevi su s različitih strana nule pa se udaljenosti do nule sabiraju.
Razvrstavanje realnih brojeva — tri riješena primjera
Primjer 1: Razvrstavanje realnih brojeva
Odredi najmanji od skupova ℕ, ℤ, ℚ, ℝ kojem pripadaju 2, −2, 210 i √5.
2 ∈ ℕ; −2 ∈ ℤPrvi je prirodan broj, a drugi cijeli broj koji nije prirodan.
210 ∈ ℚRazlomak dva cijela broja s nenultim imeniocem je racionalan.
2² < 5 < 3²Broj pod korijenom nije potpuni kvadrat.
√5 ∈ ℝ \ ℚKorijen tog prirodnog broja je iracionalan; među ponuđenim skupovima pripada samo ℝ.
Primjer 2: Razvrstavanje realnih brojeva
Odredi najmanji od skupova ℕ, ℤ, ℚ, ℝ kojem pripadaju 3, −3, 310 i √10.
3 ∈ ℕ; −3 ∈ ℤPrvi je prirodan broj, a drugi cijeli broj koji nije prirodan.
310 ∈ ℚRazlomak dva cijela broja s nenultim imeniocem je racionalan.
3² < 10 < 4²Broj pod korijenom nije potpuni kvadrat.
√10 ∈ ℝ \ ℚKorijen tog prirodnog broja je iracionalan; među ponuđenim skupovima pripada samo ℝ.
Primjer 3: Razvrstavanje realnih brojeva
Odredi najmanji od skupova ℕ, ℤ, ℚ, ℝ kojem pripadaju 4, −4, 410 i √17.
4 ∈ ℕ; −4 ∈ ℤPrvi je prirodan broj, a drugi cijeli broj koji nije prirodan.
410 ∈ ℚRazlomak dva cijela broja s nenultim imeniocem je racionalan.
4² < 17 < 5²Broj pod korijenom nije potpuni kvadrat.
√17 ∈ ℝ \ ℚKorijen tog prirodnog broja je iracionalan; među ponuđenim skupovima pripada samo ℝ.
Izaberi tačnu ili približnu vrijednost: korak po korak
U zadatku prvo odluči treba li tačan izraz, procjena ili praktično zaokruživanje. Jedinice i značenje rezultata određuju kako završavaš račun.
Primjer 1: Izaberi tačnu ili približnu vrijednost
Kvadrat površine 72 cm² ima stranicu a. Izračunaj obim tačno i približno.
a = √72 = √(36·2) = 6√2 cmDužina je pozitivan korijen površine.
O = 4a = 24√2 cmZadrži tačan korijen do kraja.
O ≈ 33,94 cmZaokruži na dvije decimale tek konačni rezultat.
Primjer 2: Izaberi tačnu ili približnu vrijednost
Da li letva dužine 7,1 m može pokriti dijagonalu kvadratne sobe stranice 5 m?
d = √(5²+5²) = √50 = 5√2 mPod i njegova dijagonala daju pravougli trougao.
7,1² = 50,41 > 50 = d²Poredi kvadrate pozitivnih dužina, bez ranog zaokruživanja.
7,1 m > d ≈ 7,071 mLetva je dovoljno duga u idealnom modelu, bez dodatka za ugradnju.
Primjer 3: Izaberi tačnu ili približnu vrijednost
Kvadrat ima površinu 18 m². Ograda se prodaje u cijelim metrima. Koliko metara treba za cijeli obim?
a = √18 = 3√2 mNajprije nađi stranicu.
O = 12√2 m ≈ 16,97 mObim je četiri puta stranica.
17 mZa kupovinu zaokruži naviše da ograda ne bude kratka.
Samostalno: Za kvadrat površine 32 m² izračunaj obim tačno i broj cijelih metara ograde za kupovinu.
Provjeri postupak
a=√32=4√2 m; O=16√2 m≈22,63 m. Potrebna su 23 cijela metra, ako zanemarimo otpad i otvor za kapiju.
6. Primijeni i provjeri
Primjer i zadatak: Kvadratni trg ima površinu 50 m². Stranica je √50 = √(25·2) = 5√2 m ≈ 7,07 m. Približna vrijednost nije tačna jednakost. Za konstrukciju √2 nacrtaj pravougli trougao s katetama 1 i 1; hipotenuzu šestarom prenesi od nule na brojevnu osu.
Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.
Samostalni zadaci s provjerom
Zadatak 1. Razvrstaj −2, 0,25, √5 i √16 u Q ili I.
Provjeri rješenje i postupak
−2, 0,25 i √16=4 su racionalni; √5 je iracionalan. Svaki navedeni broj je realan.
Zadatak 2. Provjeri zatvorenost R na primjerima √2+√2, √2·√2, √2/0 i √(−1). Objasni ograničenja.
Provjeri rješenje i postupak
√2+√2=2√2∈R, √2·√2=2∈R. Dijeljenje nulom nije definisano. √(−1) nije realan broj; korjenovanje zahtijeva nenegativan podkorijenski izraz.
Zadatak 3. Na osi konstruiši √2 pa uporedi −√2 i −1,5. Koliko je |−√2|?
Provjeri rješenje i postupak
Prenesi hipotenuzu trougla kateta 1 i 1. Kako √2<1,5, vrijedi −√2>−1,5. Apsolutna vrijednost je √2. Provjeri drugom metodom približavanjem √2≈1,414.
7. Česte greške
⚠️ Česte greške
√(a+b) obično nije √a+√b: √(9+16)=5.
√(x²)=|x|, pa √((−3)²)=3.
Decimalna aproksimacija ne mijenja pripadnost skupu: √2 je iracionalan.
8. Provjeri znanje
1. Koliko je √81?
2. Rješenja x²=16 su
3. Koji je iracionalan?
Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.