Vietove formule

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuDodatno gradivo: ova tema proširuje osnovni program. Prvo završi polinome i faktorizaciju te linearnu algebru.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: napisati Vietove formule za zbir i proizvod rješenja; pogoditi rješenja jednačine x² + px + q = 0 napamet; provjeriti rješenja bez rješavanja jednačine; sastaviti kvadratnu jednačinu kad su ti data rješenja.

1. Šta su Vietove formule?

Francuski matematičar Viet otkrio je nešto sjajno. Za kvadratnu jednačinu ax² + bx + c = 0, uz a ≠ 0 i postojeća realna rješenja, pogledaš koeficijente — i odmah znaš koliki su zbir i proizvod njenih rješenja. Bez ikakvog rješavanja!

Te dvije veze zovu se Vietove formule (čitaj: vijetove).

x₁ + x₂ = −b / a • x₁ · x₂ = c / a

💡 Najlakši slučajKad je a = 1 (jednačina x² + px + q = 0), formule imaju jednostavniji oblik: zbir rješenja je −p, a proizvod je q. Pazi na minus kod zbira!

2. Pogađanje rješenja napamet

Za jednačinu x² + px + q = 0 tražiš dva broja čiji je zbir −p i proizvod q. Krećeš od proizvoda (manje mogućnosti), pa provjeriš zbir. Zvuči kao detektivska igra — i jeste!

Primjer: Pogodi rješenja od x² − 5x + 6 = 0.
Zbir treba biti 5, proizvod 6. Parovi koji daju proizvod 6: 1 i 6 (zbir 7 ✗), 2 i 3 (zbir 5 ✓). Dakle rješenja su 2 i 3. Provjera formulom iz prošle lekcije: D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1) / 2 → 3 i 2 ✓

3. Glavni primjer: x² − 7x + 12 = 0

Primjer: Riješi x² − 7x + 12 = 0 pomoću Vietovih formula.
1) Zbir: x₁ + x₂ = −(−7) / 1 = 7. Proizvod: x₁ · x₂ = 12 / 1 = 12.
2) Koja dva broja daju proizvod 12? Probaj: 1·12 (zbir 13 ✗), 2·6 (zbir 8 ✗), 3·4 (zbir 7 ✓).
3) Rješenja su x₁ = 3, x₂ = 4.
Provjera: 3 + 4 = 7 ✓, 3 · 4 = 12 ✓, i uvrštavanjem: 9 − 21 + 12 = 0 ✓

4. Obrnuto: sastavi jednačinu kad znaš rješenja

Vietove formule rade i unazad! Ako znaš da rješenja trebaju biti npr. 3 i 4, jednačinu sastaviš ovako: zbir 7 ide s minusom (−7x), proizvod 12 ide kao slobodni član.

rješenja 3 i 4 ⇒ x² − 7x + 12 = 0

Opšte pravilo: za rješenja m i n jednačina je x² − (m + n)x + mn = 0. Probaj u vizualu ispod!

5. Isprobaj sam: generator jednačine

🧮 Generator: od rješenja do jednačine

Upiši dva broja kao željena rješenja x₁ i x₂ — alat će sastaviti jednačinu i provjeriti Vietove formule.

x₁ x₂

Upiši dva broja i pritisni „Generiši jednačinu".

👉 Ili pomjeraj klizače — jednačina i prikaz na brojevnoj pravoj se mijenjaju uživo!

x₁ = 3 x₂ = 4

6. Rješenje korak po korak: x² − 7x + 12 = 0

Riješimo zajedno primjer x² − 7x + 12 = 0 korak po korak. Otkrivaj jedan po jedan korak:

x₁ + x₂=7; x₁x₂ = 12Za x² − 7x + 12 = 0 primijeni Vietove formule.

12=1·12 = 2·6 = 3·4Traži parove cijelih brojeva. Negativni par −3 i −4 daje zbir −7, pa ne odgovara.

1+12=13; 2+6 = 8; 3+4 = 7 ✓Samo posljednji par daje i traženi zbir.

x₁=3, x₂ = 4Zapiši oba rješenja.

3+4=7; 3·4 = 12; 16−28+12 = 0 ✓Provjeri zbir, proizvod i uvrštavanje u jednačinu.

Primjer iz života — online igra 🎮: Ti i tvoj prijatelj igrate igru. Zbir vaših bodova je 11, a proizvod 24. Koliko je bodova osvojio svako od vas?
1) Tražimo dva broja čiji je zbir 11 i proizvod 24.
2) Parovi koji daju proizvod 24: 1 i 24 (zbir 25 ✗), 2 i 12 (zbir 14 ✗), 3 i 8 (zbir 11 ✓).
3) Rješenja su 3 i 8 — jedan igrač ima 3 boda, drugi 8 bodova.
Jednačina iza ove priče je x² − 11x + 24 = 0. Provjera: 3 + 8 = 11 ✓, 3 · 8 = 24 ✓, i uvrštavanjem: 9 − 33 + 24 = 0 ✓

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Rješenja pomoću Vietovih formula — tri riješena primjera

Primjer 1: Rješenja pomoću Vietovih formula

Riješi x² + (-5)x + (6) = 0 pomoću zbira i proizvoda.

x₁ + x₂=5Zbir je suprotan koeficijentu uz x.

x₁ · x₂=6Proizvod je slobodni član jer je a = 1.

2 + (3)=5; 2 · (3) = 6Traži dva broja koja zadovoljavaju oba uslova.

(x − (2))(x − (3))=0Zapiši faktorizirani oblik.

x ∈ {2, 3}Proizvod je nula kada je bar jedan faktor nula.

Primjer 2: Rješenja pomoću Vietovih formula

Riješi x² + (-3)x + (-4) = 0 pomoću zbira i proizvoda.

x₁ + x₂=3Zbir je suprotan koeficijentu uz x.

x₁ · x₂=-4Proizvod je slobodni član jer je a = 1.

-1 + (4)=3; -1 · (4) = -4Traži dva broja koja zadovoljavaju oba uslova.

(x − (-1))(x − (4))=0Zapiši faktorizirani oblik.

x ∈ {-1, 4}Proizvod je nula kada je bar jedan faktor nula.

Primjer 3: Rješenja pomoću Vietovih formula

Riješi x² + (5)x + (6) = 0 pomoću zbira i proizvoda.

x₁ + x₂=-5Zbir je suprotan koeficijentu uz x.

x₁ · x₂=6Proizvod je slobodni član jer je a = 1.

-3 + (-2)=-5; -3 · (-2) = 6Traži dva broja koja zadovoljavaju oba uslova.

(x − (-3))(x − (-2))=0Zapiši faktorizirani oblik.

x ∈ {-3, -2}Proizvod je nula kada je bar jedan faktor nula.

Jednačina iz zadanih rješenja — tri riješena primjera

Primjer 1: Jednačina iz zadanih rješenja

Sastavi kvadratnu jednačinu čija su rješenja 2 i 3, s vodećim koeficijentom 1.

(x − (2))(x − (3))=0Svako rješenje određuje jedan linearni faktor.

x² − (2+(3))x + (2)·(3)=0Pomnoži zagrade.

x² + (-5)x + (6)=0Sredi koeficijente.

x₁ + x₂=5, x₁x₂ = 6 ✓Provjeri Vietovim formulama.

Primjer 2: Jednačina iz zadanih rješenja

Sastavi kvadratnu jednačinu čija su rješenja -1 i 4, s vodećim koeficijentom 1.

(x − (-1))(x − (4))=0Svako rješenje određuje jedan linearni faktor.

x² − (-1+(4))x + (-1)·(4)=0Pomnoži zagrade.

x² + (-3)x + (-4)=0Sredi koeficijente.

x₁ + x₂=3, x₁x₂ = -4 ✓Provjeri Vietovim formulama.

Primjer 3: Jednačina iz zadanih rješenja

Sastavi kvadratnu jednačinu čija su rješenja -3 i -2, s vodećim koeficijentom 1.

(x − (-3))(x − (-2))=0Svako rješenje određuje jedan linearni faktor.

x² − (-3+(-2))x + (-3)·(-2)=0Pomnoži zagrade.

x² + (5)x + (6)=0Sredi koeficijente.

x₁ + x₂=-5, x₁x₂ = 6 ✓Provjeri Vietovim formulama.

7. Kad pogađanje ne radi — vrati se na formulu

Pogađanje uspijeva kad su rješenja lijepi cijeli brojevi. Ako par ne pronalaziš (npr. kod x² − 5x + 3 = 0, gdje je D = 25 − 12 = 13), ne gubi vrijeme — vrati se na formulu x = (−b ± √D) / 2a iz prošle lekcije. Vietove formule tada koristi samo za provjeru: zbir mora biti 5, proizvod 3. Pametan matematičar zna kad koji alat uzeti!

⚠️ Česte greške

Zaboravljen minus kod zbira: zbir je −b/a, a NE b/a! Kod x² − 7x + 12 zbir je +7, a ne −7.
Pomiješan zbir i proizvod: zbir ide uz x (s promijenjenim znakom), proizvod je slobodni član. Ne okreći ih!
Dijeljenje zaboravljeno: formule imaju /a! Kod 2x² − 10x + 12 = 0 zbir je 10/2 = 5, a proizvod 12/2 = 6 (rješenja 2 i 3).
Vjerovanje pogotku bez provjere: uvijek provjeri zbir, proizvod I uvrštavanje — tri provjere, manje grešaka.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Za jednačinu x² − 7x + 12 = 0 koliki su zbir i proizvod rješenja?

2. Koja su rješenja jednačine x² − 7x + 12 = 0?

3. Sastavi jednačinu (s a = 1) čija su rješenja 2 i 5.

4. Za 2x² − 10x + 12 = 0 koliki su zbir i proizvod rješenja?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.