Kupa — površina i zapremina

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati elemente kupe: radijus r, visina H, izvodnica s.
Izračunati izvodnicu s pomoću Pitagorine teoreme: s = √(r² + H²).
Izračunati površinu P = πr(r + s) i zapreminu V = ⅓πr²H kupe.

1. Elementi kupe

Kupa nastaje obrtanjem pravouglog trougla oko jedne katete. Ima kružnu bazu (radijus r), vrh, visinu H (okomita od vrha do centra baze) i izvodnicu s (kosa dužina od vrha do ruba baze).

2. Izvodnica — vraćamo se Pitagori!

Radijus r, visina H i izvodnica s grade pravougli trougao (r i H su katete, s je hipotenuza) — baš ono što smo učili u oblasti 8.1!

s = √(r² + H²)

Primjer: Kupa r = 3 cm, H = 4 cm. s = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5 cm (naša poznata trojka 3-4-5!).

3. Površina kupe

Površina kupe sastoji se od kružne baze (πr²) i bočnog omotača (πrs):

P = πr² + πrs = πr(r + s)

Primjer: Kupa r = 3 cm, s = 5 cm (π ≈ 3,14).
Baza: B = πr² = 3,14 · 9 = 28,26 cm².
Omotač: M = πrs = 3,14 · 3 · 5 = 47,1 cm².
Površina: P = B + M = 28,26 + 47,1 = 75,36 cm².

4. Zapremina kupe

Zapremina kupe je trećina zapremine valjka s istom bazom i visinom (baš kao piramida i prizma!):

V = ⅓ · πr² · H

Primjer: Kupa r = 3 cm, H = 4 cm (π ≈ 3,14).
V = ⅓ · 3,14 · 9 · 4 = ⅓ · 113,04 = 37,68 cm³.

💡 Pazi koju visinu koristišZa zapreminu koristiš pravu visinu H, a za površinu izvodnicu s. Ne zamjenjuj ih!

Primjer iz života: Korneta za sladoled ima otvor poluprečnika r = 4 cm i dubinu (visinu) H = 3 cm. Koliko je dugačka izvodnica, i koliko papira treba za omotač korneta (π ≈ 3,14)?
Izvodnica: s = √(r² + H²) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm.
Omotač (papir za kornetu, bez gornjeg otvora): M = πrs = 3,14 · 4 · 5 = 62,8 cm².
Koliko sladoleda stane u kornetu (zapremina)? V = ⅓πr²H = ⅓ · 3,14 · 16 · 3 = ⅓ · 150,72 = 50,24 cm³.

5. Isprobaj uživo

Promijeni r i H — alat sam računa izvodnicu Pitagorinom teoremom, pa površinu i zapreminu.

🍦 Kalkulator kupe

Koristimo π ≈ 3,14. Izvodnica s = √(r² + H²). Pomjeri klizače ili klikni dugme za nasumičnu kupu.

r (cm) 3 H (cm) 4

s = √(3²+4²) = 5 • P = 75,36 cm² • V = 37,68 cm³

6. Rješenje korak po korak

Izračunajmo površinu i zapreminu kupe r = 6 cm, H = 8 cm, korak po korak (π ≈ 3,14).

s=√(6²+8²) = 10 cmIzvodnica je hipotenuza trougla s katetama r = 6 cm i H = 8 cm.

B=36π ≈ 113,04 cm²Baza je krug; približne vrijednosti računaj s π ≈ 3,14.

M=60π; P = 36π+60π = 96π ≈ 301,44 cm²Omotač je πrs, a ukupna površina je baza plus omotač.

V=36π·83 = 96π ≈ 301,44 cm³Zapremina koristi visinu 8 cm, a ne izvodnicu 10 cm.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Izvodnica kupe — tri riješena primjera

Primjer 1: Izvodnica kupe

Prava kružna kupa ima poluprečnik 3 cm i visinu 4 cm. Odredi izvodnicu.

r=3 cm, H = 4 cmOsni presjek sadrži pravougli trougao.

s²=r² + H²Izvodnica je hipotenuza.

s²=9 + 16 = 25Saberi kvadrate.

s=5 cmUzmi pozitivan korijen.

Primjer 2: Izvodnica kupe

Prava kružna kupa ima poluprečnik 5 cm i visinu 12 cm. Odredi izvodnicu.

r=5 cm, H = 12 cmOsni presjek sadrži pravougli trougao.

s²=r² + H²Izvodnica je hipotenuza.

s²=25 + 144 = 169Saberi kvadrate.

s=13 cmUzmi pozitivan korijen.

Primjer 3: Izvodnica kupe

Prava kružna kupa ima poluprečnik 8 cm i visinu 15 cm. Odredi izvodnicu.

r=8 cm, H = 15 cmOsni presjek sadrži pravougli trougao.

s²=r² + H²Izvodnica je hipotenuza.

s²=64 + 225 = 289Saberi kvadrate.

s=17 cmUzmi pozitivan korijen.

Površina kupe — tri riješena primjera

Primjer 1: Površina kupe

Poluprečnik kupe je 3 cm, a izvodnica 5 cm. Odredi tačnu površinu.

B=r²π = 9π cm²Baza je krug.

M=rsπ = 15π cm²Omotač je kružni isječak.

P=B + M = (9 + 15)πSaberi jednu bazu i omotač.

P=24π cm²Ostavi tačan izraz s π.

Primjer 2: Površina kupe

Poluprečnik kupe je 5 cm, a izvodnica 13 cm. Odredi tačnu površinu.

B=r²π = 25π cm²Baza je krug.

M=rsπ = 65π cm²Omotač je kružni isječak.

P=B + M = (25 + 65)πSaberi jednu bazu i omotač.

P=90π cm²Ostavi tačan izraz s π.

Primjer 3: Površina kupe

Poluprečnik kupe je 8 cm, a izvodnica 17 cm. Odredi tačnu površinu.

B=r²π = 64π cm²Baza je krug.

M=rsπ = 136π cm²Omotač je kružni isječak.

P=B + M = (64 + 136)πSaberi jednu bazu i omotač.

P=200π cm²Ostavi tačan izraz s π.

Zapremina kupe — tri riješena primjera

Primjer 1: Zapremina kupe

Kupa ima poluprečnik 3 cm i visinu 4 cm. Odredi zapreminu.

B=3²π = 9π cm²Izračunaj površinu kružne baze.

V=B · H3Kupa zauzima trećinu odgovarajućeg valjka.

V=9π · 43Uvrsti visinu, a ne izvodnicu.

V=(12) · π cm³Sačuvaj tačan rezultat.

Primjer 2: Zapremina kupe

Kupa ima poluprečnik 5 cm i visinu 12 cm. Odredi zapreminu.

B=5²π = 25π cm²Izračunaj površinu kružne baze.

V=B · H3Kupa zauzima trećinu odgovarajućeg valjka.

V=25π · 123Uvrsti visinu, a ne izvodnicu.

V=(100) · π cm³Sačuvaj tačan rezultat.

Primjer 3: Zapremina kupe

Kupa ima poluprečnik 8 cm i visinu 15 cm. Odredi zapreminu.

B=8²π = 64π cm²Izračunaj površinu kružne baze.

V=B · H3Kupa zauzima trećinu odgovarajućeg valjka.

V=64π · 153Uvrsti visinu, a ne izvodnicu.

V=(320) · π cm³Sačuvaj tačan rezultat.

7. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Korištenje H umjesto s u formuli za površinu. Omotač kupe je πrs, ne πrH — prvo nađi izvodnicu!
Korištenje s umjesto H u formuli za zapreminu. Zapremina uvijek koristi pravu visinu H.
Zaboravljen korak s Pitagorom. Izvodnica se ne daje uvijek direktno — često je treba izračunati iz r i H.
Zaboravljeno ⅓ kod zapremine. Kupa je trećina valjka sa istom bazom i visinom.

8. Kviz

1. Kupa r = 3 cm, H = 4 cm. Kolika je izvodnica s?

2. Ista kupa (r = 3, s = 5). Kolika je površina (π ≈ 3,14)?

3. Kupa r = 3 cm, H = 4 cm. Kolika je zapremina (π ≈ 3,14)?

4. Koji trougao grade r, H i s kod kupe?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.

Mreža kupe: kružni isječak i baza

Omotač kupe je kružni isječak poluprečnika s. Dužina njegovog luka mora biti obim baze 2πr. Zato je ugao isječka α=360°·r/s. Za r=3 cm i s=5 cm dobijamo α=216°. Površina isječka je(216/360)π·5²=15π cm², što je isto kao πrs.

Prikaži dio mreže:

Skica pokazuje oblik. Za preciznu mrežu koristi šestar i uglomjer. Isijeci isječak i spoji njegova dva prava ruba; luk postaje rub kružne baze.

Samostalno: Kupa ima r=4 cm i H=3 cm. Skiciraj osni presjek, izračunaj s i ugao mreže, zatim nacrtaj mrežu na papiru.

Provjera mjera i računa

s=√(16+9)=5 cm. Ugao isječka je 360°·4/5=288°. Baza ima poluprečnik 4. Omotač 20π cm², ukupna površina 36π cm² i zapremina 16π cm³. Osni presjek je jednakokraki trougao osnovice 8 i visine 3.