Lopta — površina i zapremina

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati da je radijus r jedini element potreban za loptu.
Izračunati površinu lopte formulom P = 4πr².
Izračunati zapreminu lopte formulom V = 4/3 · πr³.

1. Elementi lopte

Lopta nastaje obrtanjem polukruga oko njegovog prečnika. Za razliku od valjka i kupe, lopti je potreban samo jedan podatak — radijus r (poluprečnik).

2. Površina lopte

P = 4πr²

Primjer: Lopta r = 3 cm (π ≈ 3,14).
P = 4 · 3,14 · 3² = 4 · 3,14 · 9 = 4 · 28,26 = 113,04 cm².

3. Zapremina lopte

V = 4/3 · πr³

Primjer: Lopta r = 3 cm (π ≈ 3,14).
V = 4/3 · 3,14 · 3³ = 4/3 · 3,14 · 27 = 4/3 · 84,78 = 113,04 cm³.

💡 Zabavna zanimljivostZa r = 3, brojevna vrijednost površine (113,04 cm²) i zapremine (113,04 cm³) ispadaju iste! To je slučajnost baš za ovaj radijus (dešava se kad je r = 3) — jedinice su im, naravno, i dalje različite (cm² naspram cm³).

Primjer iz života: Košarkaška lopta ima poluprečnik r = 12 cm (π ≈ 3,14). Koliko kože treba za njenu površinu i koliko zraka stane unutra?
Površina (koža lopte): P = 4πr² = 4 · 3,14 · 12² = 4 · 3,14 · 144 = 4 · 452,16 = 1808,64 cm².
Zapremina (zrak unutra): V = 4/3 · πr³ = 4/3 · 3,14 · 1728 = 4/3 · 5425,92 = 7234,56 cm³ (to je oko 7,2 litra zraka!).

4. Isprobaj uživo

Promijeni radijus r i gledaj kako rastu površina i zapremina lopte.

⚽ Kalkulator lopte

Koristimo π ≈ 3,14. Pomjeri klizač ili klikni dugme — lopta se glatko animira do novog radijusa.

r (cm) 3

P = 113,04 cm² • V = 113,04 cm³

5. Rješenje korak po korak

Izračunajmo površinu i zapreminu lopte r = 6 cm, korak po korak (π ≈ 3,14).

r²=6² = 36 cm²Poluprečnik je 6 cm. Prvo izračunaj njegov kvadrat.

P=4π·36 = 144π ≈ 452,16 cm²Za približan račun koristi π ≈ 3,14.

r³=6·6·6 = 216 cm³Za zapreminu treba treći stepen poluprečnika.

V=4π·2163 = 288π ≈ 904,32 cm³Jedinica zapremine je cm³; približna vrijednost koristi π ≈ 3,14.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Površina lopte — tri riješena primjera

Primjer 1: Površina lopte

Poluprečnik lopte je 2 cm. Odredi površinu.

r=2 cmProvjeri da je zadana polovina prečnika.

P=4r²πZapiši formulu.

P=4 · 4πNajprije kvadriraj poluprečnik.

P=16π cm²Površinu izrazi u kvadratnim centimetrima.

Primjer 2: Površina lopte

Poluprečnik lopte je 3 cm. Odredi površinu.

r=3 cmProvjeri da je zadana polovina prečnika.

P=4r²πZapiši formulu.

P=4 · 9πNajprije kvadriraj poluprečnik.

P=36π cm²Površinu izrazi u kvadratnim centimetrima.

Primjer 3: Površina lopte

Poluprečnik lopte je 4 cm. Odredi površinu.

r=4 cmProvjeri da je zadana polovina prečnika.

P=4r²πZapiši formulu.

P=4 · 16πNajprije kvadriraj poluprečnik.

P=64π cm²Površinu izrazi u kvadratnim centimetrima.

Zapremina lopte — tri riješena primjera

Primjer 1: Zapremina lopte

Lopta ima prečnik 4 cm. Odredi zapreminu.

r=4 : 2 = 2 cmPoluprečnik je pola prečnika.

V=4r³π3Zapiši formulu za zapreminu.

V=4 · 8π3Stepen se odnosi samo na r.

V=(323) · π cm³Ostavi tačan razlomak uz π.

Primjer 2: Zapremina lopte

Lopta ima prečnik 6 cm. Odredi zapreminu.

r=6 : 2 = 3 cmPoluprečnik je pola prečnika.

V=4r³π3Zapiši formulu za zapreminu.

V=4 · 27π3Stepen se odnosi samo na r.

V=(36) · π cm³Ostavi tačan razlomak uz π.

Primjer 3: Zapremina lopte

Lopta ima prečnik 8 cm. Odredi zapreminu.

r=8 : 2 = 4 cmPoluprečnik je pola prečnika.

V=4r³π3Zapiši formulu za zapreminu.

V=4 · 64π3Stepen se odnosi samo na r.

V=(2563) · π cm³Ostavi tačan razlomak uz π.

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Zabuna 4πr² i 4/3πr³. Površina ima r² (kvadrat), zapremina ima r³ (kub) i razlomak 4/3 — ne miješaj formule.
Korištenje prečnika umjesto radijusa. Formule koriste r (poluprečnik) — ako imaš prečnik d, prvo izračunaj r = d/2.
Pogrešno stepenovanje. r³ = r · r · r (tri puta), ne r · 3.
Zaboravljen razlomak 4/3. Bez njega dobijaš pogrešnu zapreminu — uvijek pomnoži sa 4, pa podijeli sa 3 (ili obrnuto).

7. Kviz

1. Lopta r = 3 cm. Kolika je površina (π ≈ 3,14)?

2. Ista lopta r = 3 cm. Kolika je zapremina (π ≈ 3,14)?

3. Lopta r = 6 cm. Kolika je površina (π ≈ 3,14)?

4. Koji podatak je dovoljan da izračunaš i površinu i zapreminu lopte?

8. Šta dalje?

🎉 Čestitamo — završio/la si 9. razred!Prošao/la si Pitagorinu teoremu, linearne funkcije, sisteme jednačina, sličnost trouglova i geometrijska tijela (prizmu, piramidu, valjak, kupu i loptu). To je ozbiljno znanje! U 9. razredu te čekaju kvadratne jednačine, Vietove formule i još zanimljive geometrije. Ako ti je neki kviz iz ove oblasti bio težak, vrati se i ponovi ga — nema žurbe, matematika pamti strpljenje.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.

Može li lopta imati ravnu mrežu?

Površinu lopte ne možemo razviti u ravan bez istezanja ili kidanja. Zato lopta nema tačnu ravnu mrežu poput valjka i kupe. Pokušaj omotati lopticu papirom: nastaju nabori. Geografske karte zato moraju iskriviti barem neka rastojanja, uglove ili površine. Presjek lopte ravni kroz središte je veliki krug poluprečnika r.