Početna / 9. razred / 9.3 Trigonometrija pravouglog trougla / Primjena trigonometrije

Primjena trigonometrije

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuDodatno gradivo: ova tema proširuje osnovni program. Prvo završi polinome i faktorizaciju te linearnu algebru.
🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: prepoznati pravougli trougao u realnoj situaciji; odabrati pravu trigonometrijsku funkciju (sin, cos ili tan) za dati problem; izračunati visinu, udaljenost ili dužinu koju ne možeš direktno izmjeriti.

1. Plan rješavanja realnog problema

Kad u zadatku prepoznaš pravougli trougao (zgrada i njena sjenka, ljestve naslonjene na zid, brdo i put uz njega...), slijedi ovaj plan:

  1. Nacrtaj skicu i označi pravougli trougao.
  2. Označi poznati ugao α i poznatu stranicu.
  3. Odredi koja je stranica tražena: naspramna, priležeća ili hipotenuza.
  4. Izaberi formulu koja povezuje poznatu i traženu stranicu (sin, cos ili tan).
  5. Izračunaj i provjeri da li je rezultat smislen (red veličine).

2. Primjer 1: ljestve naslonjene na zid

Primjer: Ljestve dužine 6 m naslonjene su na zid tako da sa tlom zatvaraju ugao od 60°. Na koju visinu na zidu sežu ljestve, i koliko je podnožje ljestava udaljeno od zida?
Ljestve su hipotenuza (c = 6 m). Visina na zidu je naspramna kateta uglu 60°, udaljenost od zida je priležeća kateta.
Visina: a = c · sin 60° = 6 · (√3/2) = 3√3 ≈ 5,2 m.
Udaljenost: b = c · cos 60° = 6 · (1/2) = 3 m.
Provjera Pitagorinom teoremom: 3² + (3√3)² = 9 + 27 = 36 = 6² ✓

3. Primjer 2: sjenka i stub

Primjer: Ugao pod kojim sunčevi zraci padaju je 30°, a sjenka stuba je duga 9√3 m (≈ 15,59 m). Kolika je visina stuba?
Stub je naspramna kateta uglu 30°, sjenka je priležeća kateta. Koristimo tangens, jer poredimo dvije katete.
tan 30° = visina / sjenka ⇒ visina = sjenka · tan 30° = 9√3 · (√3/3) = (9 · 3)/3 = 9 m.
Stub je visok tačno 9 m.
Primjer iz života: Tvoj mobitel mjeri da gledaš vrh školske zastave pod uglom od 35° (ugao elevacije), a stojiš 10 m od stuba zastave. Koliko je zastava visoka (ne računajući tvoju visinu očiju)?
Udaljenost (10 m) je priležeća kateta, visina zastave je naspramna kateta uglu 35° ⇒ koristimo tangens.
visina = udaljenost · tan 35° = 10 · tan 35° ≈ 10 · 0,700 ≈ 7,00 m.
Provjera reda veličine: ugao je blizu 45°, pa visina treba biti blizu udaljenosti (10 m) — 7 m je razumno manje, jer je ugao manji od 45°. ✓

4. Isprobaj sam: kalkulator visine preko tangensa

🧮 Visina iz ugla i dužine sjenke

Upiši ugao sunca i dužinu sjenke — kalkulator izračuna visinu objekta pomoću tangensa. Ili klikni na gotov primjer.

5. Rješenje korak po korak

Avion se penje pod uglom 45° u odnosu na tlo. Nakon što pređe horizontalnu udaljenost od 300 m, kolika je njegova visina?

b=300 m, α = 45°Skica je pravougli trougao: b je horizontalna udaljenost, a h tražena visina.
tg α=hbPorediš dvije katete, pa koristi tangens.
h=b·tg αIzdvoji nepoznatu visinu.
h=300·tg 45° = 300·1 = 300 mUvrsti udaljenost i tačnu vrijednost tangensa.
h=b = 300 m ✓Kod ugla 45° katete moraju biti jednake.
⚠️ Česte greške
  • Pogrešno prepoznata stranica: uvijek prvo označi koja je stranica hipotenuza, naspramna i priležeća — tek onda biraj formulu.
  • Korištenje sinusa/kosinusa kad nema hipotenuze: ako zadatak povezuje samo dvije katete (bez hipotenuze), koristi tangens.
  • Zaboravljena jedinica mjere: rezultat uvijek napiši sa jedinicom (m, cm...).
  • Nerealan rezultat bez provjere: ako ti visina zgrade ispadne 3000 m, nešto je pogrešno — uvijek provjeri red veličine.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Ljestve dužine 6 m naslonjene su na zid pod uglom od 60°. Na koju visinu sežu (naspramna kateta)?

2. Sjenka stuba je 9√3 m, ugao sunca 30°. Kolika je visina stuba?

3. Koju funkciju koristiš kad znaš samo dvije katete (bez hipotenuze)?

4. Avion se penje pod uglom 45° i prelazi horizontalnu udaljenost od 300 m. Kolika je njegova visina?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Stranica pomoću sinusa — tri riješena primjera

Primjer 1: Stranica pomoću sinusa

Ljestve dužine 6 m naslonjene su pod uglom 30° prema tlu. Koliko visoko dosežu?

sin 30°=h6Visina je kateta nasuprot uglu od 30°.
sin 30°=12Koristi tačnu vrijednost posebnog ugla.
h=6 · 12 = 3 mPomnoži hipotenuzu sinusom.
3 < 6 ✓Kateta mora biti kraća od hipotenuze.

Primjer 2: Stranica pomoću sinusa

Ljestve dužine 10 m naslonjene su pod uglom 30° prema tlu. Koliko visoko dosežu?

sin 30°=h10Visina je kateta nasuprot uglu od 30°.
sin 30°=12Koristi tačnu vrijednost posebnog ugla.
h=10 · 12 = 5 mPomnoži hipotenuzu sinusom.
5 < 10 ✓Kateta mora biti kraća od hipotenuze.

Primjer 3: Stranica pomoću sinusa

Ljestve dužine 14 m naslonjene su pod uglom 30° prema tlu. Koliko visoko dosežu?

sin 30°=h14Visina je kateta nasuprot uglu od 30°.
sin 30°=12Koristi tačnu vrijednost posebnog ugla.
h=14 · 12 = 7 mPomnoži hipotenuzu sinusom.
7 < 14 ✓Kateta mora biti kraća od hipotenuze.

Stranica pomoću kosinusa — tri riješena primjera

Primjer 1: Stranica pomoću kosinusa

Hipotenuza je 6 cm, a ugao α = 60°. Odredi priležnu katetu.

cos 60°=b6Priležna kateta je uz ugao od 60°.
cos 60°=12Uvrsti poznatu vrijednost.
b=6 · 12 = 3 cmIzdvoji traženu katetu.
b6=12 ✓Vrati rezultat u odnos kosinusa.

Primjer 2: Stranica pomoću kosinusa

Hipotenuza je 10 cm, a ugao α = 60°. Odredi priležnu katetu.

cos 60°=b10Priležna kateta je uz ugao od 60°.
cos 60°=12Uvrsti poznatu vrijednost.
b=10 · 12 = 5 cmIzdvoji traženu katetu.
b10=12 ✓Vrati rezultat u odnos kosinusa.

Primjer 3: Stranica pomoću kosinusa

Hipotenuza je 14 cm, a ugao α = 60°. Odredi priležnu katetu.

cos 60°=b14Priležna kateta je uz ugao od 60°.
cos 60°=12Uvrsti poznatu vrijednost.
b=14 · 12 = 7 cmIzdvoji traženu katetu.
b14=12 ✓Vrati rezultat u odnos kosinusa.

Visina iz ugla i udaljenosti — tri riješena primjera

Primjer 1: Visina iz ugla i udaljenosti

Tačka posmatranja je 6 m od podnožja stuba. Ugao prema vrhu je 45°. Odredi visinu iznad nivoa posmatranja.

tg 45°=h6Visina i udaljenost su katete.
tg 45°=1Za 45° katete su jednake.
h=6 · 1 = 6 mPomnoži udaljenost tangensom.
h6=1 ✓Ako je oko iznad tla, njegovu visinu dodaj tek za ukupnu visinu stuba.

Primjer 2: Visina iz ugla i udaljenosti

Tačka posmatranja je 10 m od podnožja stuba. Ugao prema vrhu je 45°. Odredi visinu iznad nivoa posmatranja.

tg 45°=h10Visina i udaljenost su katete.
tg 45°=1Za 45° katete su jednake.
h=10 · 1 = 10 mPomnoži udaljenost tangensom.
h10=1 ✓Ako je oko iznad tla, njegovu visinu dodaj tek za ukupnu visinu stuba.

Primjer 3: Visina iz ugla i udaljenosti

Tačka posmatranja je 14 m od podnožja stuba. Ugao prema vrhu je 45°. Odredi visinu iznad nivoa posmatranja.

tg 45°=h14Visina i udaljenost su katete.
tg 45°=1Za 45° katete su jednake.
h=14 · 1 = 14 mPomnoži udaljenost tangensom.
h14=1 ✓Ako je oko iznad tla, njegovu visinu dodaj tek za ukupnu visinu stuba.
← PrethodnaSljedeća →

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.