Početna / 9. razred / 9.3 Trigonometrija pravouglog trougla / Sinus i kosinus oštrog ugla

Sinus i kosinus oštrog ugla

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuDodatno gradivo: ova tema proširuje osnovni program. Prvo završi polinome i faktorizaciju te linearnu algebru.
🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: imenovati stranice pravouglog trougla u odnosu na oštar ugao; napisati definicije sinusa i kosinusa oštrog ugla; navesti tačne vrijednosti sin i cos za 30°, 45° i 60°; izračunati stranicu trougla pomoću sinusa ili kosinusa.

1. Strane pravouglog trougla

U pravouglom trouglu jedan ugao je prav (90°), a druga dva su oštra. Posmatraj jedan oštar ugao α (alfa) — u odnosu na njega, tri stranice trougla imaju imena:

  • Hipotenuza — najduža stranica, nasuprot pravom uglu (uvijek ista, bez obzira koji oštar ugao posmatraš).
  • Naspramna kateta (naspramna stranica) — kateta koja se nalazi nasuprot uglu α.
  • Priležeća kateta (priležeća stranica) — kateta koja se „naslanja" na ugao α (a nije hipotenuza).
💡 PaziNaspramna i priležeća kateta zavise od toga koji ugao posmatraš! Ako gledaš drugi oštar ugao u istom trouglu, te se dvije katete zamijene uloge.

2. Definicije sinusa i kosinusa

Za oštar ugao α u pravouglom trouglu definišemo:

sin α = naspramna / hipotenuza   •   cos α = priležeća / hipotenuza

Ovaj odnos je uvijek isti za dati ugao α, bez obzira na veličinu trougla — zato se sinus i kosinus mogu tabelarno zapisati i koristiti za bilo koji pravougli trougao s tim uglom.

3. Tabela vrijednosti za 30°, 45°, 60°

Ove tri vrijednosti se pamte napamet — stalno se pojavljuju u zadacima:

α30°45°60°
sin α1/2√2/2√3/2
cos α√3/2√2/21/2

Primijeti simetriju: sin 30° = cos 60° i sin 60° = cos 30°. To nije slučajno — u pravouglom trouglu zbir oštrih uglova je 90°, pa je sinus jednog ugla uvijek kosinus drugog.

4. Isprobaj sam: pomjeri ugao

📐 Interaktivni pravougli trougao

Pomjeri klizač da promijeniš ugao α i gledaj kako se mijenjaju sin α i cos α.

5. Glavni primjer

Primjer: Pravougli trougao ima hipotenuzu c = 10 cm i oštar ugao α = 30°. Izračunaj obje katete.
Naspramna kateta: a = c · sin α = 10 · sin 30° = 10 · (1/2) = 5 cm.
Priležeća kateta: b = c · cos α = 10 · cos 30° = 10 · (√3/2) = 5√3 ≈ 8,66 cm.
Provjera Pitagorinom teoremom: a² + b² = 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10² ✓
Primjer iz života: Tobogan u parku je dug (hipotenuza) 5 m i nagnut je pod uglom α = 45° u odnosu na tlo. Koliko je tobogan visok?
Visina je naspramna kateta uglu α: visina = c · sin α = 5 · sin 45° = 5 · (√2/2) ≈ 5 · 0,707 ≈ 3,54 m.
Koliko prostora tobogan zauzima na tlu (priležeća kateta)? dužina na tlu = c · cos α = 5 · cos 45° = 5 · (√2/2) ≈ 3,54 m.
Provjera: 3,54² + 3,54² ≈ 12,53 + 12,53 = 25,06 ≈ 5² = 25 ✓ (mala razlika je zbog zaokruživanja √2/2).

6. Rješenje korak po korak

Pravougli trougao ima hipotenuzu c = 8 cm i oštar ugao α = 60°. Pronađimo naspramnu katetu.

α=60°, c = 8 cmTražiš naspramnu katetu, a poznaješ hipotenuzu.
a=c·sin αOmjer naspramne katete i hipotenuze jeste sinus.
sin 60°=√32 ≈ 0,866Razlikuj tačnu i približnu vrijednost.
a=8·√32 = 4√3 ≈ 6,93 cmZa tačan rezultat zadrži korijen do kraja.
6,93 cm < 8 cm ✓Kateta je kraća od hipotenuze, pa je red veličine smislen.
⚠️ Česte greške
  • Zamjena naspramne i priležeće katete: uvijek prvo pogledaj u odnosu na KOJI ugao računaš — uloge kateta se mijenjaju.
  • Korištenje pogrešne stranice u imeniocu: i sin i cos u imeniocu uvijek imaju hipotenuzu, nikad drugu katetu.
  • Zaboravljene tačne vrijednosti: sin 30° = 1/2 (ne √3/2!) — lako se pobrkaju sin 30° i cos 30°.
  • Zaboravljena provjera Pitagorinom teoremom: nakon računanja obje katete, uvijek provjeri da a² + b² = c².

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Sinus oštrog ugla α definiše se kao:

2. Koliko je sin 30°?

3. Pravougli trougao ima hipotenuzu 10 cm i ugao α = 30°. Kolika je naspramna kateta?

4. Zašto je sin 30° = cos 60°?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Sinus i kosinus iz stranica — tri riješena primjera

Primjer 1: Sinus i kosinus iz stranica

U pravouglom trouglu naspramna kateta ugla α je 3 cm, priležna 4 cm, a hipotenuza 5 cm. Odredi sin α i cos α.

sin α=naspramnahipotenuza = 35Ugao α određuje koja je kateta naspramna.
cos α=priležnahipotenuza = 45Kosinus koristi priležnu katetu.
sin² α + cos² α=9+1625 = 1 ✓Provjeri osnovni trigonometrijski identitet.

Primjer 2: Sinus i kosinus iz stranica

U pravouglom trouglu naspramna kateta ugla α je 5 cm, priležna 12 cm, a hipotenuza 13 cm. Odredi sin α i cos α.

sin α=naspramnahipotenuza = 513Ugao α određuje koja je kateta naspramna.
cos α=priležnahipotenuza = 1213Kosinus koristi priležnu katetu.
sin² α + cos² α=25+144169 = 1 ✓Provjeri osnovni trigonometrijski identitet.

Primjer 3: Sinus i kosinus iz stranica

U pravouglom trouglu naspramna kateta ugla α je 8 cm, priležna 15 cm, a hipotenuza 17 cm. Odredi sin α i cos α.

sin α=naspramnahipotenuza = 817Ugao α određuje koja je kateta naspramna.
cos α=priležnahipotenuza = 1517Kosinus koristi priležnu katetu.
sin² α + cos² α=64+225289 = 1 ✓Provjeri osnovni trigonometrijski identitet.

Stranica pomoću sinusa — tri riješena primjera

Primjer 1: Stranica pomoću sinusa

Ljestve dužine 6 m naslonjene su pod uglom 30° prema tlu. Koliko visoko dosežu?

sin 30°=h6Visina je kateta nasuprot uglu od 30°.
sin 30°=12Koristi tačnu vrijednost posebnog ugla.
h=6 · 12 = 3 mPomnoži hipotenuzu sinusom.
3 < 6 ✓Kateta mora biti kraća od hipotenuze.

Primjer 2: Stranica pomoću sinusa

Ljestve dužine 10 m naslonjene su pod uglom 30° prema tlu. Koliko visoko dosežu?

sin 30°=h10Visina je kateta nasuprot uglu od 30°.
sin 30°=12Koristi tačnu vrijednost posebnog ugla.
h=10 · 12 = 5 mPomnoži hipotenuzu sinusom.
5 < 10 ✓Kateta mora biti kraća od hipotenuze.

Primjer 3: Stranica pomoću sinusa

Ljestve dužine 14 m naslonjene su pod uglom 30° prema tlu. Koliko visoko dosežu?

sin 30°=h14Visina je kateta nasuprot uglu od 30°.
sin 30°=12Koristi tačnu vrijednost posebnog ugla.
h=14 · 12 = 7 mPomnoži hipotenuzu sinusom.
7 < 14 ✓Kateta mora biti kraća od hipotenuze.

Stranica pomoću kosinusa — tri riješena primjera

Primjer 1: Stranica pomoću kosinusa

Hipotenuza je 6 cm, a ugao α = 60°. Odredi priležnu katetu.

cos 60°=b6Priležna kateta je uz ugao od 60°.
cos 60°=12Uvrsti poznatu vrijednost.
b=6 · 12 = 3 cmIzdvoji traženu katetu.
b6=12 ✓Vrati rezultat u odnos kosinusa.

Primjer 2: Stranica pomoću kosinusa

Hipotenuza je 10 cm, a ugao α = 60°. Odredi priležnu katetu.

cos 60°=b10Priležna kateta je uz ugao od 60°.
cos 60°=12Uvrsti poznatu vrijednost.
b=10 · 12 = 5 cmIzdvoji traženu katetu.
b10=12 ✓Vrati rezultat u odnos kosinusa.

Primjer 3: Stranica pomoću kosinusa

Hipotenuza je 14 cm, a ugao α = 60°. Odredi priležnu katetu.

cos 60°=b14Priležna kateta je uz ugao od 60°.
cos 60°=12Uvrsti poznatu vrijednost.
b=14 · 12 = 7 cmIzdvoji traženu katetu.
b14=12 ✓Vrati rezultat u odnos kosinusa.
← PrethodnaSljedeća →

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.