Rastojanje dvije tačke

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuPonavljanje i proširenje ranije uvedenih tema. U 8. razredu obrađuješ koordinate i funkcije te osnove podataka i vjerovatnoće.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: objasniti odakle dolazi formula za rastojanje dvije tačke; izračunati razlike koordinata Δx i Δy; primijeniti formulu d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²); izračunati rastojanje između bilo koje dvije tačke u ravni.

1. Ideja: pravougli trougao između tačaka

Da nađeš rastojanje između dvije tačke A i B, zamisli pravougli trougao: jedna kateta je razlika x-koordinata (Δx), druga kateta je razlika y-koordinata (Δy), a rastojanje AB je baš hipotenuza tog trougla! Zato koristimo Pitagorinu teoremu.

2. Formula za rastojanje

d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Gdje su A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂). Nije bitno koju tačku zoveš prvom a koju drugom — kvadrati razlika su nenegativni i ne mijenjaju se zamjenom redoslijeda tačaka. Ako su tačke jednake, udaljenost je 0.

3. Glavni primjer: A(1, 2), B(4, 6)

Primjer: Izračunaj rastojanje tačaka A(1, 2) i B(4, 6).
Δx = x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3. Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.
d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Rastojanje AB iznosi tačno 5 jedinica — prepoznaješ poznati pravougli trougao 3-4-5!

Primjer iz igre: U online igri tvoj lik stoji u tački (2, 3) na mapi, a sakriveno blago je u tački (8, 11). Igra mjeri udaljenost u „koracima".
Δx = 8 − 2 = 6. Δy = 11 − 3 = 8.
d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 koraka.
Ako se može kretati ravno do blaga, najkraći put iznosi 10 jedinica dužine da stigne do blaga! 🎮

4. Isprobaj sam: kalkulator rastojanja

📏 Kalkulator rastojanja dvije tačke

Upiši koordinate tačaka A i B (ili klikni dugme) i gledaj kako se trougao i linija rastojanja glatko mijenjaju.

A x A y B x B y

Upiši koordinate i pritisni „Izračunaj rastojanje".

5. Rješenje korak po korak: A(−2, 1), B(3, −3)

A(−2,1), B(3,−3)Prepiši koordinate tačaka.

Δx=3 − (−2) = 5Izračunaj horizontalnu razliku.

Δy=−3 − 1 = −4Izračunaj vertikalnu razliku; znak nestaje pri kvadriranju.

d=√(5²+(−4)²) = √41Primijeni Pitagorinu teoremu.

d ≈ 6,4 jediniceBroj 41 nije potpuni kvadrat. Tačan rezultat je √41, a približan je zaokružen na jednu decimalu.

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno kvadriranje: formula ima (x₂−x₁)² i (y₂−y₁)², ne samo razlike — rezultat je uvijek pod korijenom.
Pogrešan znak kod negativnih koordinata: pazi na oduzimanje negativnih brojeva, npr. 3 − (−2) = 5, ne 1.
Zaboravljen korijen na kraju: d = √(...), ne samo zbir kvadrata.
Miješanje redoslijeda x i y unutar formule: oduzimaj x-koordinatu od x-koordinate i y-koordinatu od y-koordinate. Redoslijed sabiranja dva kvadrata nije važan.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koja formula daje rastojanje tačaka A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂)?

2. Rastojanje tačaka A(1, 2) i B(4, 6) iznosi:

3. Za tačke A(−2, 1) i B(3, −3), koliko je Δx?

4. Da li je bitno koju tačku zoveš A, a koju B pri računanju rastojanja?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Rastojanje tačaka — tri riješena primjera

Primjer 1: Rastojanje tačaka

Odredi rastojanje A(−1, 2) i B(2, 6).

Δx=2 − (−1) = 3Odredi horizontalnu razliku.

Δy=6 − 2 = 4Odredi vertikalnu razliku.

d²=(Δx)² + (Δy)²Spojnica tačaka je hipotenuza.

d=√(9+16) = √25 = 5Rastojanje je nenegativan broj.

Primjer 2: Rastojanje tačaka

Odredi rastojanje A(−1, 2) i B(4, 14).

Δx=4 − (−1) = 5Odredi horizontalnu razliku.

Δy=14 − 2 = 12Odredi vertikalnu razliku.

d²=(Δx)² + (Δy)²Spojnica tačaka je hipotenuza.

d=√(25+144) = √169 = 13Rastojanje je nenegativan broj.

Primjer 3: Rastojanje tačaka

Odredi rastojanje A(−1, 2) i B(7, 17).

Δx=7 − (−1) = 8Odredi horizontalnu razliku.

Δy=17 − 2 = 15Odredi vertikalnu razliku.

d²=(Δx)² + (Δy)²Spojnica tačaka je hipotenuza.

d=√(64+225) = √289 = 17Rastojanje je nenegativan broj.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.