Vjerovatnoća složenih događaja

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuPonavljanje i proširenje ranije uvedenih tema. U 8. razredu obrađuješ koordinate i funkcije te osnove podataka i vjerovatnoće.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: razlikovati složen događaj od nezavisnosti događaja; primijeniti pravilo množenja P(A i B) = P(A) · P(B); izračunati vjerovatnoću kod bacanja dvije kockice ili dva novčića.

1. Šta je složen događaj?

Složen događaj sadrži više elementarnih ishoda. Na primjer, pri bacanju kockice događaj „pao je paran broj” sadrži ishode 2, 4 i 6. Nezavisnost je druga osobina: događaji A i B su nezavisni ako saznanje da se jedan desio ne mijenja vjerovatnoću drugog. Dva odvojena bacanja pravilnog novčića modelujemo kao nezavisna. Složen događaj ne mora biti nezavisan od nekog drugog događaja.

2. Pravilo množenja za nezavisne događaje

Ako su događaji A i B nezavisni, vjerovatnoća da se oba dese (A i B) jednaka je proizvodu njihovih pojedinačnih vjerovatnoća:

P(A i B) = P(A) · P(B)

Primjer: Baci se novčić dva puta. Kolika je vjerovatnoća da oba puta padne pismo?
P(pismo) = 1/2 za svako bacanje. Bacanja su nezavisna.
P(pismo i pismo) = 1/2 · 1/2 = 1/4.

3. Glavni primjer: dvije kockice, zbir 7

Primjer: Bacamo dvije kockice istovremeno. Kolika je vjerovatnoća da je zbir brojeva jednak 7?
Ukupan broj mogućih ishoda (parova): 6 · 6 = 36.
Parovi čiji je zbir 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — ukupno 6 povoljnih ishoda.
P(zbir = 7) = 6/36 = 1/6.

Primjer iz košarke: Košarkaš šutira dva slobodna bacanja zaredom. Iz dosadašnjih utakmica zna se da pogađa slobodno bacanje sa vjerovatnoćom 0,8 (80%), i to je uvijek isto bez obzira na prethodni šut (nezavisni događaji). Kolika je vjerovatnoća da pogodi OBA slobodna bacanja?
P(pogodak 1. šuta) = 0,8. P(pogodak 2. šuta) = 0,8. Šutevi su nezavisni.
P(oba pogotka) = P(A i B) = 0,8 · 0,8 = 0,64 (64%).
Vjerovatnoća da promaši oba: P(promašaj) = 1 − 0,8 = 0,2 po šutu, pa P(oba promašaja) = 0,2 · 0,2 = 0,04 (samo 4%) — zato je mnogo vjerovatnije da pogodi makar jedno bacanje!

4. Isprobaj sam: tabela dvije kockice

🎲🎲 Tabela svih ishoda dvije kockice

Izaberi traženi zbir i pogledaj koji su parovi (ishodi) povoljni u mreži svih 36 mogućnosti. Ili klikni „Baci obje kockice" da vidiš animirano bacanje i provjeriš da li je tvoj zbir pogođen.

Traženi zbir

5. Rješenje korak po korak

Bacaju se dva novčića. Kolika je vjerovatnoća da padnu različite strane (jedno pismo, jedna glava)?

Ω={(P,P),(P,G),(G,P),(G,G)}Za dva pravilna nezavisna novčića postoje četiri jednako vjerovatna uređena ishoda.

A={(P,G),(G,P)}Različite strane pojavljuju se u dva ishoda.

P(A)=24Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

P(A)=12Skrati razlomak s 2.

12·12 + 12·12=12 ✓Druga provjera: saberi vjerovatnoće dviju međusobno isključivih mogućnosti.

⚠️ Česte greške

Sabiranje umjesto množenja: za nezavisne događaje „i" uvijek znači množenje vjerovatnoća, ne sabiranje.
Zaboravljeno brojanje svih parova: kod dvije kockice ima 36 parova, ne 6 — (1,2) i (2,1) su različiti ishodi.
Mišljenje da su prethodni rezultati bitni: kod nezavisnih događaja prošlost ne utiče na budućnost.
Neskraćen razlomak: uvijek skrati razlomak na kraju (npr. 6/36 = 1/6).

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Bacaju se dvije kockice. Koliko ukupno ima mogućih parova ishoda?

2. Kolika je vjerovatnoća da je zbir dvije kockice jednak 7?

3. Baca se novčić dva puta. Kolika je vjerovatnoća da oba puta padne pismo?

4. Da li rezultat prvog bacanja novčića utiče na drugo bacanje?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Zbir na dvije kockice — tri riješena primjera

Primjer 1: Zbir na dvije kockice

Dvije pravilne kockice bacaju se nezavisno. Odredi vjerovatnoću da je zbir 4.

N=6 · 6 = 36Ishod je uređeni par rezultata prve i druge kockice.

A={(1,3), (2,2), (3,1)}Navedi sve parove s traženim zbirom.

m=3Prebroj povoljne parove, a ne različite zbirove.

P(A)=336 = 112Podijeli povoljne ishode sa 36.

Primjer 2: Zbir na dvije kockice

Dvije pravilne kockice bacaju se nezavisno. Odredi vjerovatnoću da je zbir 6.

N=6 · 6 = 36Ishod je uređeni par rezultata prve i druge kockice.

A={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}Navedi sve parove s traženim zbirom.

m=5Prebroj povoljne parove, a ne različite zbirove.

P(A)=536 = 536Podijeli povoljne ishode sa 36.

Primjer 3: Zbir na dvije kockice

Dvije pravilne kockice bacaju se nezavisno. Odredi vjerovatnoću da je zbir 8.

N=6 · 6 = 36Ishod je uređeni par rezultata prve i druge kockice.

A={(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}Navedi sve parove s traženim zbirom.

m=5Prebroj povoljne parove, a ne različite zbirove.

P(A)=536 = 536Podijeli povoljne ishode sa 36.

Množenje nezavisnih vjerovatnoća — tri riješena primjera

Primjer 1: Množenje nezavisnih vjerovatnoća

Iz vreće s 2 crvenih i 4 plavih kuglica izvuci jednu, vrati je i promiješaj. Izvuci opet. Kolika je vjerovatnoća obje crvene?

P(C₁)=26Prebroj kuglice prije prvog izvlačenja.

P(C₂)=26Vraćanjem kuglice sastav vreće ostaje isti.

P(C₁ i C₂)=26 · 26Za nezavisna izvlačenja množi vjerovatnoće.

P(C₁ i C₂)=19Skrati konačni razlomak.

Primjer 2: Množenje nezavisnih vjerovatnoća

Iz vreće s 3 crvenih i 3 plavih kuglica izvuci jednu, vrati je i promiješaj. Izvuci opet. Kolika je vjerovatnoća obje crvene?

P(C₁)=36Prebroj kuglice prije prvog izvlačenja.

P(C₂)=36Vraćanjem kuglice sastav vreće ostaje isti.

P(C₁ i C₂)=36 · 36Za nezavisna izvlačenja množi vjerovatnoće.

P(C₁ i C₂)=14Skrati konačni razlomak.

Primjer 3: Množenje nezavisnih vjerovatnoća

Iz vreće s 4 crvenih i 2 plavih kuglica izvuci jednu, vrati je i promiješaj. Izvuci opet. Kolika je vjerovatnoća obje crvene?

P(C₁)=46Prebroj kuglice prije prvog izvlačenja.

P(C₂)=46Vraćanjem kuglice sastav vreće ostaje isti.

P(C₁ i C₂)=46 · 46Za nezavisna izvlačenja množi vjerovatnoće.

P(C₁ i C₂)=49Skrati konačni razlomak.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.