Linearne jednačine i nejednačine u R

🎯 Cilj lekcije

Riješi linearnu jednačinu i obrazloži broj rješenja.
Riješi nejednačinu i prikaži rješenje intervalom i na osi.
Sastavi model stvarnog problema i provjeri rubnu vrijednost.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Jednačina traži jednakost, a nejednačina opisuje dozvoljene vrijednosti. Svaki korak treba sačuvati isti skup rješenja. Računaj uredno i provjeri odgovor u početnom zapisu.

3. Pravila i veze

Na obje strane smiješ dodati ili oduzeti isti broj. Jednačinu smiješ množiti ili dijeliti istim nenultim brojem. Kod nejednačine množenje ili dijeljenje negativnim brojem okreće znak. Jednačina ax=b ima jedno rješenje za a≠0; za a=0,b=0 sva realna, a za a=0,b≠0 nema rješenja.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

Otvorena tačka: rub −2 nije uključen.

5. Rješenje korak po korak

5 − 2x ≥ 11 ⇒ −2x ≥ 6Oduzmi 5 objema stranama nejednačine.

x ≤ −3Podijeli s −2 i promijeni smjer znaka.

x ∈ (−∞,−3]Na osi označi punu tačku −3 i dio ulijevo.

5−2·(−3)=11; 5−2·(−4) = 13; 5−2·0 = 5Granična tačka −3 i broj −4 zadovoljavaju nejednačinu, a 0 ne zadovoljava.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Linearna jednačina — tri riješena primjera

Primjer 1: Linearna jednačina

Riješi 2x + 3 = 11.

2x + 3=11Prepiši jednačinu.

2x=11 − 3 = 8Oduzmi isti broj s obje strane.

x=8 : 2 = 4Podijeli obje strane nenultim koeficijentom.

2 · 4 + 3=11 ✓Provjeri u početnoj jednačini.

Primjer 2: Linearna jednačina

Riješi 3x + 4 = 19.

3x + 4=19Prepiši jednačinu.

3x=19 − 4 = 15Oduzmi isti broj s obje strane.

x=15 : 3 = 5Podijeli obje strane nenultim koeficijentom.

3 · 5 + 4=19 ✓Provjeri u početnoj jednačini.

Primjer 3: Linearna jednačina

Riješi 4x + 5 = 29.

4x + 5=29Prepiši jednačinu.

4x=29 − 5 = 24Oduzmi isti broj s obje strane.

x=24 : 4 = 6Podijeli obje strane nenultim koeficijentom.

4 · 6 + 5=29 ✓Provjeri u početnoj jednačini.

Nejednačina s negativnim koeficijentom — tri riješena primjera

Primjer 1: Nejednačina s negativnim koeficijentom

Riješi 3 − 2x ≥ 11.

−2x ≥ 11 − 3Oduzmi isti broj s obje strane.

−2x ≥ 8Sredi desnu stranu.

x ≤ −4Podijeli s negativnim brojem i promijeni smjer znaka.

x ∈ (−∞, −4]Granična tačka pripada skupu rješenja.

3 − 2 · (−4)=11 ✓Provjeri rubnu vrijednost.

Primjer 2: Nejednačina s negativnim koeficijentom

Riješi 4 − 3x ≥ 19.

−3x ≥ 19 − 4Oduzmi isti broj s obje strane.

−3x ≥ 15Sredi desnu stranu.

x ≤ −5Podijeli s negativnim brojem i promijeni smjer znaka.

x ∈ (−∞, −5]Granična tačka pripada skupu rješenja.

4 − 3 · (−5)=19 ✓Provjeri rubnu vrijednost.

Primjer 3: Nejednačina s negativnim koeficijentom

Riješi 5 − 4x ≥ 29.

−4x ≥ 29 − 5Oduzmi isti broj s obje strane.

−4x ≥ 24Sredi desnu stranu.

x ≤ −6Podijeli s negativnim brojem i promijeni smjer znaka.

x ∈ (−∞, −6]Granična tačka pripada skupu rješenja.

5 − 4 · (−6)=29 ✓Provjeri rubnu vrijednost.

Kada nepoznata nestane: korak po korak

Ako dobiješ 0x, ne dijeli nulom. Provjeri je li preostala tvrdnja tačna. Tačna tvrdnja daje sve realne brojeve, netačna nijedan.

Primjer 1: Kada nepoznata nestane

Riješi 3(x−2) ≤ 3 x+1.

3x−6 ≤ 3x+1Otvori zagradu.

−6 ≤ 1Oduzmi 3 x objema stranama.

S = ℝTvrdnja je tačna za svaki realni x; na osi je cijela prava.

Primjer 2: Kada nepoznata nestane

Riješi 2(x+4) < 2 x+3.

2x+8 < 2x+3Pomnoži oba člana zagrade.

8 < 3Oduzmi 2 x.

S = ∅Tvrdnja je netačna, pa na osi nema označenih tačaka.

Primjer 3: Kada nepoznata nestane

Riješi 4(x−1) ≥ 2(2 x−2).

4x−4 ≥ 4x−4Sredi obje strane.

0 ≥ 0Oduzmi cijelu desnu stranu; jednakost je dopuštena.

S = ℝSvaki broj zadovoljava nejednačinu.

Samostalno: Riješi 5(x+1)>5x+5 i 5(x+1)≥5x+5.

Provjeri postupak

Prva daje 5>5, pa S=∅. Druga daje 5≥5, pa S=ℝ. Razlika je u tome da li znak dopušta jednakost.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Ulaznica košta 4 KM, a prevoz 6 KM. Budžet je najviše 30 KM: 4n+6≤30, pa n≤6. Pošto broj ulaznica mora biti nenegativan cijeli broj, n∈{0,1,2,3,4,5,6}. Grafički jednačinu 2x+1=7 posmatraj kao presjek y=2x+1 i y=7: x=3.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Riješi 3(x−2)=2x+1 i provjeri.

Provjeri rješenje i postupak

3x−6=2x+1, pa x=7. Obje strane daju 15.

Zadatak 2. Riješi −4x+3>11 i nacrtaj skup rješenja.

Provjeri rješenje i postupak

−4x>8, x<−2. Otvorena tačka na−2 i poluprava ulijevo; interval(−∞,−2).

Zadatak 3. Uporedi 2x+1=2x+1 i 2x+1=2x+3.

Provjeri rješenje i postupak

Prva se svodi na 0=0 i ima sva realna rješenja. Druga daje 1=3 pa nema rješenja.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

Pri dijeljenju negativnim brojem okreni znak nejednakosti.
Otvorena tačka označava isključen rub, puna uključen.
Rješenje u R nekad treba ograničiti stvarnim značenjem zadatka.

8. Provjeri znanje

1. −3x<6 daje

2. 0x=5 ima

3. 2x+1=7 daje

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 40. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.