Razlikuj jedno, nijedno i beskonačno mnogo rješenja.
1. Prije početka
Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.
2. Razumij pojam
Rješenje sistema sa dvije nepoznate je uređeni par koji zadovoljava obje jednačine. Geometrijski ga tražimo kao zajedničku tačku dvije prave.
3. Pravila i veze
Metoda zamjene izražava jednu nepoznatu i uvrštava u drugu jednačinu. Metoda suprotnih koeficijenata sabira jednačine nakon prikladnog množenja. Grafička metoda traži presjek. Za a₁x+b₁y=c₁ i a₂x+b₂y=c₂, D=a₁b₂−a₂b₁≠0 znači jedno rješenje. Za D=0 provjeri jesu li jednačine višekratnici zajedno sa slobodnim članom: tada ista prava ima beskonačno rješenja; inače su paralelne i nema rješenja. Ne dijeli koeficijentom koji može biti nula.
Posebne i izrođene jednačine
Jednačina x=2 prikazuje uspravnu pravu, a y=3 vodoravnu; zajedno daju(2,3). Ako jednačina nakon sređivanja glasi 0x+0y=0, ona ne ograničava parove. Ako glasi 0x+0y=1, nijedan par je ne zadovoljava. Zato prije diskusije odnosa koeficijenata provjeri da li svaka jednačina zaista opisuje pravu.
4. Istraži primjere
Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.
Prave y=−x+6 i y=x sijeku se u(3,3).
5. Rješenje korak po korak
x+y=7; 2x−y = 2 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3Saberi jednačine da poništiš y.
y=7−3 = 4; 3+4 = 7; 6−4 = 2 ✓Vrati x u prvu jednačinu i provjeri obje.
y=7−x ⇒ 2x−(7−x) = 2 ⇒ 3x = 9Zamjena daje isti par (3,4).
y=7−x; y = 2x−2; S(3,4)Grafički obje prave imaju presjek u istom rješenju.
Riješeni primjeri
Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.
Metoda zamjene — tri riješena primjera
Primjer 1: Metoda zamjene
Riješi sistem y = x + (1), 2x + y = 7.
y=x + (1)Prva jednačina već izražava y.
2x + x + (1)=7Zamijeni y njegovim izrazom.
3x=6Sredi slične članove i izdvoji nepoznatu.
x=2Podijeli s 3.
y=2 + (1) = 3Vrati x u prvu jednačinu.
3=2+1; 2·2+3=7 ✓Provjeri izvorne jednakosti; prva je ekvivalentna zapisu y = x + konstanta.
Primjer 2: Metoda zamjene
Riješi sistem y = x + (-2), 2x + y = 7.
y=x + (-2)Prva jednačina već izražava y.
2x + x + (-2)=7Zamijeni y njegovim izrazom.
3x=9Sredi slične članove i izdvoji nepoznatu.
x=3Podijeli s 3.
y=3 + (-2) = 1Vrati x u prvu jednačinu.
1=3−2; 2·3+1=7 ✓Provjeri izvorne jednakosti; prva je ekvivalentna zapisu y = x + konstanta.
Primjer 3: Metoda zamjene
Riješi sistem y = x + (5), 2x + y = 2.
y=x + (5)Prva jednačina već izražava y.
2x + x + (5)=2Zamijeni y njegovim izrazom.
3x=-3Sredi slične članove i izdvoji nepoznatu.
x=-1Podijeli s 3.
y=-1 + (5) = 4Vrati x u prvu jednačinu.
4=−1+5; 2·(−1)+4=2 ✓Provjeri izvorne jednakosti; prva je ekvivalentna zapisu y = x + konstanta.
Suprotni koeficijenti — tri riješena primjera
Primjer 1: Suprotni koeficijenti
Riješi sistem 2x + y = 7, x − y = -1.
2x + y=7; x − y = -1Članovi y i −y imaju suprotne koeficijente.
3x=7 + (-1) = 6Saberi lijeve i desne strane.
x=2Podijeli zbirnu jednačinu s 3.
y=7 − 2 · (2) = 3Vrati x u prvu jednačinu.
2 − (3)=-1 ✓Provjeri i drugu jednačinu.
Primjer 2: Suprotni koeficijenti
Riješi sistem 2x + y = 7, x − y = 2.
2x + y=7; x − y = 2Članovi y i −y imaju suprotne koeficijente.
3x=7 + (2) = 9Saberi lijeve i desne strane.
x=3Podijeli zbirnu jednačinu s 3.
y=7 − 2 · (3) = 1Vrati x u prvu jednačinu.
3 − (1)=2 ✓Provjeri i drugu jednačinu.
Primjer 3: Suprotni koeficijenti
Riješi sistem 2x + y = 2, x − y = -5.
2x + y=2; x − y = -5Članovi y i −y imaju suprotne koeficijente.
3x=2 + (-5) = -3Saberi lijeve i desne strane.
x=-1Podijeli zbirnu jednačinu s 3.
y=2 − 2 · (-1) = 4Vrati x u prvu jednačinu.
-1 − (4)=-5 ✓Provjeri i drugu jednačinu.
Broj rješenja sistema — tri riješena primjera
Primjer 1: Broj rješenja sistema
Uporedi x + y = 2 sa svakom od jednačina: 2x + 2y = 4; 2x + 2y = 5; x − y = 0.
2(x+y)=4Udvajanje prve jednačine ne mijenja njena rješenja.
2x+2y=4 ⇒ beskonačno mnogo rješenjaPrve dvije jednačine predstavljaju istu pravu.
4=5 je netačno ⇒ nema rješenjaParalelne različite prave ne sijeku se.
x=y, 2x = 2 ⇒ x = y = 1Treći slučaj daje tačno jedan presjek.
Primjer 2: Broj rješenja sistema
Uporedi x + y = 3 sa svakom od jednačina: 2x + 2y = 6; 2x + 2y = 7; x − y = 0.
2(x+y)=6Udvajanje prve jednačine ne mijenja njena rješenja.
2x+2y=6 ⇒ beskonačno mnogo rješenjaPrve dvije jednačine predstavljaju istu pravu.
6=7 je netačno ⇒ nema rješenjaParalelne različite prave ne sijeku se.
x=y, 2x = 3 ⇒ x = y = 32Treći slučaj daje tačno jedan presjek.
Primjer 3: Broj rješenja sistema
Uporedi x + y = 4 sa svakom od jednačina: 2x + 2y = 8; 2x + 2y = 9; x − y = 0.
2(x+y)=8Udvajanje prve jednačine ne mijenja njena rješenja.
2x+2y=8 ⇒ beskonačno mnogo rješenjaPrve dvije jednačine predstavljaju istu pravu.
8=9 je netačno ⇒ nema rješenjaParalelne različite prave ne sijeku se.
x=y, 2x = 4 ⇒ x = y = 2Treći slučaj daje tačno jedan presjek.
Eliminacija uz množenje jednačine — tri riješena primjera
Primjer 1: Eliminacija uz množenje jednačine
Riješi 3x + 2y = 12, x + y = 5.
2x + 2y=10Drugu jednačinu pomnoži sa 2, uključujući desnu stranu.
(3x+2y) − (2x+2y)=12 − 10Od prve jednačine oduzmi udvostručenu drugu.
x=2Izračunaj razliku.
y=5 − 2 = 3Vrati x u drugu izvornu jednačinu.
3·2+2·3=12; 2+3 = 5 ✓Provjeri obje izvorne jednačine.
Primjer 2: Eliminacija uz množenje jednačine
Riješi 3x + 2y = 17, x + y = 7.
2x + 2y=14Drugu jednačinu pomnoži sa 2, uključujući desnu stranu.
(3x+2y) − (2x+2y)=17 − 14Od prve jednačine oduzmi udvostručenu drugu.
x=3Izračunaj razliku.
y=7 − 3 = 4Vrati x u drugu izvornu jednačinu.
3·3+2·4=17; 3+4 = 7 ✓Provjeri obje izvorne jednačine.
Primjer 3: Eliminacija uz množenje jednačine
Riješi 3x + 2y = 22, x + y = 9.
2x + 2y=18Drugu jednačinu pomnoži sa 2, uključujući desnu stranu.
(3x+2y) − (2x+2y)=22 − 18Od prve jednačine oduzmi udvostručenu drugu.
x=4Izračunaj razliku.
y=9 − 4 = 5Vrati x u drugu izvornu jednačinu.
3·4+2·5=22; 4+5 = 9 ✓Provjeri obje izvorne jednačine.
6. Primijeni i provjeri
Primjer i zadatak: Za sistem x+y=3 i 2x+2y=t: ako je t=6, druga jednačina je dvostruka prva i ima beskonačno rješenja; ako je t≠6, nema rješenja. Za dva soka i jedan sendvič plaćeno je 11 KM, a jedan sok i jedan sendvič 8 KM. Oduzimanjem dobijamo sok=3 KM, zatim sendvič=5 KM.
Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.
Samostalni zadaci s provjerom
Zadatak 1. Riješi x+y=9, x−y=1 na dva načina i nacrtaj obje prave.
Provjeri rješenje i postupak
Sabiranjem 2x=10 pa x=5,y=4. Zamjenom y=9−x daje x−9+x=1. Grafici y=9−x i y=x−1 sijeku se u(5,4).
Zadatak 2. Diskutuj x+2y=4 i 2x+4y=t.
Provjeri rješenje i postupak
Za t=8 beskonačno rješenja, jer se prave poklapaju. Za t≠8 nema rješenja: paralelne različite prave.
Zadatak 3. Učenik je kupio 3 olovke i 2 sveske za 12 KM, a 1 olovku i 2 sveske za 8 KM. Odredi cijene.
Provjeri rješenje i postupak
Oduzimanjem 2o=4 pa o=2; zatim 2+2s=8, s=3. Provjera 6+6=12,2+6=8.
7. Česte greške
⚠️ Česte greške
Par mora zadovoljiti obje jednačine.
Paralelne različite prave nemaju zajedničku tačku.
Grafički očitan približan rezultat provjeri računom.
8. Provjeri znanje
1. x+y=7, 2x−y=2 daje
2. x+y=3, 2x+2y=6 ima
3. x+y=3, x+y=4 ima
Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.