Izvedi četiri računske operacije uz dodatne uslove dijeljenja.
1. Prije početka
Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.
2. Razumij pojam
Algebarski razlomak ima izraz u brojniku i imenilac koji ne smije biti nula. Prvo zapiši uslove, pa preoblikuj izraz. Uslovi iz početnog zapisa ostaju važni i nakon skraćivanja.
3. Pravila i veze
Razlomak proširuješ množenjem brojnika i imenioca istim nenultim izrazom. Skraćuješ zajedničke faktore. Za sabiranje i oduzimanje tražiš zajednički imenilac; za množenje množiš brojnike i imenioce. Pri dijeljenju množiš recipročnim razlomkom, a djelilac mora biti različit od nule.
4. Istraži primjere
Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.
Prije skraćivanja provjeri početne uslove x ≠ 0 i x ≠ −3.
5. Rješenje korak po korak
x²+3x=x(x+3) ⇒ x ≠ 0 i x ≠ −3Prije skraćivanja zabilježi uslove iz početnog imenioca.
x²−9=(x−3)(x+3)Brojnik rastavi kao razliku kvadrata.
(x−3)(x+3)x(x+3)=x−3xSkrati zajednički nenulti faktor x+3. Oba početna uslova ostaju na snazi.
x=6: 2754 = 36 = 12 ✓Provjeri dopuštenom vrijednošću. Broj −3 i dalje je isključen.
Riješeni primjeri
Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.
Skraćivanje algebarskog razlomka — tri riješena primjera
Primjer 1: Skraćivanje algebarskog razlomka
Skrati x² − 4x − 2. Navedi uslov.
x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2Uslov odredi prije skraćivanja.
x² − 4x − 2=(x − 2)(x + 2)x − 2Brojnik rastavi kao razliku kvadrata.
=x + 2, x ≠ 2Skrati zajednički nenulti faktor.
Za x=0: −4−2 = 2 ✓Provjeri jednom dopuštenom vrijednošću.
Primjer 2: Skraćivanje algebarskog razlomka
Skrati x² − 9x − 3. Navedi uslov.
x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3Uslov odredi prije skraćivanja.
x² − 9x − 3=(x − 3)(x + 3)x − 3Brojnik rastavi kao razliku kvadrata.
=x + 3, x ≠ 3Skrati zajednički nenulti faktor.
Za x=0: −9−3 = 3 ✓Provjeri jednom dopuštenom vrijednošću.
Primjer 3: Skraćivanje algebarskog razlomka
Skrati x² − 16x − 4. Navedi uslov.
x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4Uslov odredi prije skraćivanja.
x² − 16x − 4=(x − 4)(x + 4)x − 4Brojnik rastavi kao razliku kvadrata.
=x + 4, x ≠ 4Skrati zajednički nenulti faktor.
Za x=0: −16−4 = 4 ✓Provjeri jednom dopuštenom vrijednošću.
Sabiranje algebarskih razlomaka — tri riješena primjera
4·x5·x=45, x ≠ 0Skrati faktor x i zadrži početni uslov.
Različiti imenioci — tri riješena primjera
Primjer 1: Različiti imenioci
Saberi 1x + 1x + 2.
x ≠ 0, x ≠ −2Zabilježi zabrane iz oba imenioca.
1x + 1x+2=x+2x(x+2) + xx(x+2)Proširi do zajedničkog imenioca.
=2x+2x(x+2)Saberi brojnike i sačuvaj imenilac.
x ≠ 0, −2Početni uslovi vrijede i za konačni izraz.
Primjer 2: Različiti imenioci
Saberi 1x + 1x + 3.
x ≠ 0, x ≠ −3Zabilježi zabrane iz oba imenioca.
1x + 1x+3=x+3x(x+3) + xx(x+3)Proširi do zajedničkog imenioca.
=2x+3x(x+3)Saberi brojnike i sačuvaj imenilac.
x ≠ 0, −3Početni uslovi vrijede i za konačni izraz.
Primjer 3: Različiti imenioci
Saberi 1x + 1x + 4.
x ≠ 0, x ≠ −4Zabilježi zabrane iz oba imenioca.
1x + 1x+4=x+4x(x+4) + xx(x+4)Proširi do zajedničkog imenioca.
=2x+4x(x+4)Saberi brojnike i sačuvaj imenilac.
x ≠ 0, −4Početni uslovi vrijede i za konačni izraz.
Množenje algebarskih razlomaka — tri riješena primjera
Primjer 1: Množenje algebarskih razlomaka
Pomnoži (x + 2x) · (xx − 2).
x ≠ 0, x ≠ 2Oba početna imenioca moraju biti nenulta.
=(x+2)·xx·(x−2)Množi brojnike međusobno i imenioce međusobno.
=x+2x−2, x ≠ 0 i x ≠ 2Skrati nenulti faktor x i sačuvaj početne uslove.
Primjer 2: Množenje algebarskih razlomaka
Pomnoži (x + 3x) · (xx − 3).
x ≠ 0, x ≠ 3Oba početna imenioca moraju biti nenulta.
=(x+3)·xx·(x−3)Množi brojnike međusobno i imenioce međusobno.
=x+3x−3, x ≠ 0 i x ≠ 3Skrati nenulti faktor x i sačuvaj početne uslove.
Primjer 3: Množenje algebarskih razlomaka
Pomnoži (x + 4x) · (xx − 4).
x ≠ 0, x ≠ 4Oba početna imenioca moraju biti nenulta.
=(x+4)·xx·(x−4)Množi brojnike međusobno i imenioce međusobno.
=x+4x−4, x ≠ 0 i x ≠ 4Skrati nenulti faktor x i sačuvaj početne uslove.
Oduzimanje algebarskih razlomaka — tri riješena primjera
Primjer 1: Oduzimanje algebarskih razlomaka
Oduzmi x + 2x − 1.
x ≠ 0Zapiši početni uslov.
x+2x − xxJedinicu zapiši s istim imeniocem.
=x+2−xx = 2xOduzmi cijeli drugi brojnik.
x ≠ 0Početni uslov ostaje na snazi.
Primjer 2: Oduzimanje algebarskih razlomaka
Oduzmi x + 3x − 1.
x ≠ 0Zapiši početni uslov.
x+3x − xxJedinicu zapiši s istim imeniocem.
=x+3−xx = 3xOduzmi cijeli drugi brojnik.
x ≠ 0Početni uslov ostaje na snazi.
Primjer 3: Oduzimanje algebarskih razlomaka
Oduzmi x + 4x − 1.
x ≠ 0Zapiši početni uslov.
x+4x − xxJedinicu zapiši s istim imeniocem.
=x+4−xx = 4xOduzmi cijeli drugi brojnik.
x ≠ 0Početni uslov ostaje na snazi.
6. Primijeni i provjeri
Primjer i zadatak: Sabiranje: 1/x+1/(x+1)=(x+1+x)/(x(x+1))=(2x+1)/(x(x+1)), x≠0,−1. Oduzimanje daje 1/x−1/(x+1)=1/(x(x+1)). Množenje x/(x−1)·(x−1)/(x+2)=x/(x+2), x≠1,−2. Dijeljenje x/(x−1) : x/(x+1)=(x+1)/(x−1), uz x≠1,−1,0.
Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.
Samostalni zadaci s provjerom
Zadatak 1. Skrati(x²−4)/(x²−2x) uz sve uslove.
Provjeri rješenje i postupak
Imenilac x(x−2), zato x≠0,2. Skrati u(x+2)/x, uz iste uslove.
Zadatak 2. Izračunaj 1/(x−1)+2/(x+1).
Provjeri rješenje i postupak
Zajednički imenilac(x−1)(x+1); brojnik x+1+2x−2=3x−1. Uslovi x≠1,−1.
Zadatak 3. Izračunaj x/(x−1) : (x+2)/(x−1).
Provjeri rješenje i postupak
x/(x+2), uz x≠1,−2. Prvi uslov dolazi iz imenilaca, drugi iz nenultog djelioca.
7. Česte greške
⚠️ Česte greške
Ne skraćuj sabirke: (x+2)/x nije 2.
Ne izgubi početni uslov nakon skraćivanja.
Pri dijeljenju provjeri i da brojnik djelioca nije nula.
8. Provjeri znanje
1. (x²−1)/(x−1) je, za x≠1
2. 1/x+1/x je
3. x/(x−2) zahtijeva
Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.