🎯 Cilj lekcije
Nakon ove lekcije znat ćeš: navesti komutativnost, asocijativnost i distributivnost množenja •
koristiti distributivnost za lakše računanje • navesti osobine dijeljenja, uključujući zašto se ne smije dijeliti sa 0.
Prije početkaPonovi činioce, proizvod, djeljenik, djelitelj i količnik.
1. Osobine množenja
Komutativnost: a × b = b × a (redoslijed činilaca ne mijenja proizvod).
Asocijativnost: (a × b) × c = a × (b × c) (grupisanje činilaca ne mijenja proizvod).
Distributivnost prema sabiranju: a × (b + c) = a × b + a × c (množenje se "raspoređuje" na sabirke).
Množenje sa 1: a × 1 = a. Množenje sa 0: a × 0 = 0.
2. Osobine dijeljenja
Dijeljenje sa 1: a : 1 = a (svaki broj podijeljen sa 1 je taj isti broj).
Dijeljenje jednakih brojeva: a : a = 1 (za a različito od 0).
Nula podijeljena brojem: 0 : a = 0 (za a različito od 0).
Dijeljenje sa 0 je nemoguće — nijedan broj se ne može podijeliti sa 0!
💡 Zapamti
Dijeljenje nije ni komutativno ni asocijativno (12 : 3 ≠ 3 : 12) — ove osobine vrijede samo za sabiranje i množenje.
3. Isprobaj sam: distributivnost uživo
🧩 a × (b + c) = a × b + a × c
Upiši brojeve i vidi kako se pravougaonik dijeli na dva dijela — isti princip kao i distributivnost.
4. Primijeni svojstvo korak po korak
Zadatak: Izračunaj 6 × 23 koristeći distributivnost.
Primjer: 7 učenika kupuje po 1 svesku — 7 : 7 = 1 sveska po učeniku ako imaju 7 svezaka.
Ali ako nema učenika koji dijele 10 svezaka (dijeljenje sa 0 učenika), pitanje "10 : 0" nema smisla — zato dijeljenje sa 0 nije dozvoljeno.
Primjer iz života: U prodavnici sportske opreme lopta košta 8 KM.
Kupuješ lopte za cijeli tim: 12 fudbalera i 5 rezervnih igrača, dakle 12 + 5 = 17 lopti ukupno.
Umjesto da množiš 8 × 17 odjednom, koristiš distributivnost: 8 × (12 + 5) = 8 × 12 + 8 × 5 = 96 + 40 = 136 KM.
Isti rezultat dobiješ i direktno: 8 × 17 = 136 KM — distributivnost ti samo olakšava računanje napamet! ⚽
Vježbaj uz riješene primjere
Prati zapis kao u svesci, red po red. Objašnjenje uz red govori ti zašto taj korak vrijedi. Najprije pokušaj samostalno, pa otkrivaj postupak korak po korak.
Zamjena i združivanje faktora — korak po korak
Primjer 1 · Zamjena i združivanje faktora
Izračunaj 25 · 7 · 4 pogodnim redoslijedom.
25 · 7 · 4=(25 · 4) · 7Zamijeni i združi faktore da dobiješ punu deseticu ili stotinu.
=100 · 7Prvo izračunaj proizvod u zagradi.
=700Proizvod se promjenom redoslijeda nije promijenio.
Primjer 2 · Zamjena i združivanje faktora
Izračunaj 5 · 18 · 2 pogodnim redoslijedom.
5 · 18 · 2=(5 · 2) · 18Zamijeni i združi faktore da dobiješ punu deseticu ili stotinu.
=10 · 18Prvo izračunaj proizvod u zagradi.
=180Proizvod se promjenom redoslijeda nije promijenio.
Primjer 3 · Zamjena i združivanje faktora
Izračunaj 125 · 3 · 8 pogodnim redoslijedom.
125 · 3 · 8=(125 · 8) · 3Zamijeni i združi faktore da dobiješ punu deseticu ili stotinu.
=1000 · 3Prvo izračunaj proizvod u zagradi.
=3000Proizvod se promjenom redoslijeda nije promijenio.
=8 · 50 − 8 · 1Pomnoži oba člana u zagradi istim brojem.
=400 − 8Izračunaj oba proizvoda.
=392Saberi ili oduzmi dobijene proizvode.
Primjer 2 · Množenje razlike brojem
Izračunaj 7 · 98 pomoću razlike.
7 · 98=7 · (100 − 2)Broj 98 je blizu pune stotine.
=7 · 100 − 7 · 2Pomnoži i umanjenik i umanjilac.
= 700 − 14=686Oduzmi proizvode.
Primjer 3 · Množenje razlike brojem
Izračunaj 6 · 199 pomoću razlike.
6 · 199=6 · (200 − 1)Dopuni do 200 pa oduzmi jednu jedinicu.
=6 · 200 − 6 · 1Pomnoži oba člana razlike istim faktorom.
= 1 200 − 6=1 194Ne oduzimaj samo 1; treba oduzeti šest jedinica.
⚠️ Česte greške
• Dijeljenje sa 0 nikada nije dozvoljeno — rezultat ne postoji (nije ni 0, ni beskonačno).
• Ne miješaj a : 1 = a sa a : a = 1 — pažljivo čitaj koji broj je djelilac.
• Komutativnost i asocijativnost vrijede samo za sabiranje i množenje, ne za oduzimanje ni dijeljenje.
Primijeni i objasni postupak
Samostalan zadatak:
Računaj 17 · 9 kao 17 · (10 − 1). Objasni koji jednostavniji račun koristiš i provjeri sabiranjem.
Provjeri rješenje i obrazloženje
17 · (10 − 1) = 17 · 10 − 17 · 1 = 170 − 17 = 153. Množenje je raspodijeljeno na razliku. Provjera: 153 + 17 = 170, što je 17 · 10. Ovo pravilo zove se distributivnost prema oduzimanju.
Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na prikaz korak po korak i objasni svaki račun svojim riječima.
🎓 Kviz — provjeri sebe (5 pitanja)
1. Koja jednakost predstavlja distributivnost množenja prema sabiranju?
2. Koliko je 15 : 0?
3. Koliko je 48 : 1?
4. Koliko je 23 : 23?
5. Da li je dijeljenje komutativno (tj. da li je a : b = b : a)?
🎉 Čestitamo — završio/la si oblast 5.5!
Sada znaš pismeno množiti i dijeliti, brzo računati sa dekadskim jedinicama i koristiti svojstva
množenja i dijeljenja. Sljedeća stanica je oblast 5.6 — Površina pravougaonika.
Svaki pokušaj pomaže ti učiti. Ako odgovor nije tačan, vrati se na model i riješeni postupak, objasni korak koji treba popraviti, pa pokušaj ponovo.
Veza s programom
Pokazatelji koje ovdje vježbaš:
Koristi svojstva računskih operacija.
Povezuje rješenja s odabranim računskim radnjama i obrazlaže ih suprotnim njima tamo gdje je to moguće.
Oznake ishoda u izvoru: .5.2 (MTP-1.2.1), .5.3 (MTP-1.1.2). Oznake se čitaju uz odgovarajuću oblast i stranicu izvora.