Kriteriji djeljivosti

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

napamet navesti kriterije djeljivosti brojevima 2, 3, 4, 5, 9 i 10;
bez dugog dijeljenja provjeriti je li broj djeljiv nekim od njih;
izračunati zbir cifara i njime provjeriti djeljivost sa 3 i sa 9;
kombinovati dva kriterija (npr. djeljivost sa 10 znači i sa 2 i sa 5).

Prije nego počneš

Ponovi tablicu množenja i dijeljenje s ostatkom. Provjeri da 17 = 3 · 5 + 2 i objasni zašto ostatak mora biti manji od djelioca.

1. Čemu služe kriteriji?

Zamisli da trebaš provjeriti je li broj 7 245 djeljiv sa 3. Dugim dijeljenjem bi se namučio/la. Kriteriji djeljivosti su kratka pravila — pogledaš posljednju cifru ili sabereš cifre — i odmah znaš odgovor. To su prečice koje uvijek rade, i rješavamo ih korak po korak, cijelim postupkom.

2. Kriteriji za 2, 5 i 10 — gleda se posljednja cifra

Ova tri kriterija su najlakša jer gledaš samo posljednju cifru broja:

Sa 2: broj je djeljiv ako je paran, tj. završava cifrom 0, 2, 4, 6 ili 8. Primjer: 7 318 je djeljivo sa 2 (7 318 : 2 = 3 659).
Sa 5: broj je djeljiv ako završava cifrom 0 ili 5. Primjer: 7 245 je djeljivo sa 5 jer završava peticom (7245 : 5 = 1449).
Sa 10: broj je djeljiv ako završava cifrom 0. Primjer: 1 230 je djeljivo sa 10 (1230 : 10 = 123).

1 230 : 10 = 123 ✔ • 7 245 : 5 = 1 449 ✔

3. Kriteriji za 3 i 9 — saberi cifre

Kod brojeva 3 i 9 gledaš zbir cifara:

Sa 3: broj je djeljiv ako mu je zbir cifara djeljiv sa 3. Primjer: 7 245 → 7 + 2 + 4 + 5 = 18, a 18 je djeljivo sa 3 (18 : 3 = 6). Dakle 7 245 je djeljivo sa 3 (provjera: 7245 : 3 = 2415).
Sa 9: broj je djeljiv ako mu je zbir cifara djeljiv sa 9. Za 7 245 zbir je 18, a 18 : 9 = 2. Dakle 7 245 je djeljivo i sa 9 (provjera: 7245 : 9 = 805).

💡 Zapamti vezu Svaki broj djeljiv sa 9 ujedno je djeljiv i sa 3 (jer je 9 = 3 · 3), ali ne vrijedi obrnuto: broj 12 je djeljiv sa 3, ali nije sa 9.

4. Kriterij za 4 — gledaju se posljednje dvije cifre

Sa 4: broj je djeljiv ako mu je dvocifreni završetak djeljiv sa 4 (ili su posljednje dvije cifre 00). Primjer: 3 456 završava sa 56, a 56 : 4 = 14. Dakle 3 456 je djeljivo sa 4 (provjera: 3456 : 4 = 864).

5. Vizual: provjeri djeljivost

🔍 Provjeri svoj broj kriterijima

Upiši broj od 1 do 100 000 i pritisni dugme — računar primjenjuje kriterije za 2, 3, 4, 5, 9 i 10 i pokazuje objašnjenje za svaki.

Tvoj broj:

6. Rješavamo korak po korak: je li 3 456 djeljivo sa 3?

Primijenit ćemo kriterij za broj 3 na broj 3 456, korak po korak, cijelim postupkom:

n = 3 456; d = 3Prepiši broj i odaberi kriterij: broj je 3 456, provjeravamo djeljivost sa 3. Kriterij kaže: saberi cifre.

3 + 4 + 5 + 6=18Saberi cifre: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. Zbir cifara je 18.

18 : 3=6Provjeri zbir: 18 : 3 = 6 bez ostatka. Zbir je djeljiv sa 3, pa je i cijeli broj djeljiv sa 3.

3 456 : 3=1 152Zaključak i provjera dijeljenjem: 3 456 je djeljivo sa 3. Provjera: 3456 : 3 = 1152 (jer je 3 · 1152 = 3456). Tačno!

7. Primjer: broj 7 245

Primjer: Kojim je od brojeva 2, 3, 5, 9 i 10 djeljiv broj 7 245?
Sa 2? Ne — završava peticom, neparan je.
Sa 3? Da — zbir cifara 7 + 2 + 4 + 5 = 18, a 18 : 3 = 6 (provjera: 7245 : 3 = 2415).
Sa 5? Da — završava peticom (7245 : 5 = 1449).
Sa 9? Da — zbir 18 je djeljiv sa 9 (18 : 9 = 2; provjera: 7245 : 9 = 805).
Sa 10? Ne — ne završava nulom.
Dakle 7 245 je djeljivo sa 3, 5 i 9.

Još jedan primjer: Dobio/la si 2 340 feninga (23,40 KM) džeparca i želiš ga tačno podijeliti na troje — sebe i dvoje prijatelja — bez ikakvog kusura. Je li to moguće?
Provjera kriterijem za 3: zbir cifara je 2 + 3 + 4 + 0 = 9, a 9 je djeljivo sa 3 (9 : 3 = 3). Dakle 2 340 jeste djeljivo sa 3 — podjela bez kusura je moguća! Svako od vas troje dobije 2340 : 3 = 780 feninga (7,80 KM). ✅

⚠️ Česte greške

Zbir cifara se koristi za pogrešan broj. Zbir cifara vrijedi samo za 3 i 9 — nikad za 2, 5 ili 10 (tu se gleda posljednja cifra).
„Djeljivo sa 9 pa nije sa 3". Nemoguće! Svaki broj djeljiv sa 9 djeljiv je i sa 3.
Kod broja 4 gleda se samo posljednja cifra. Ne — moraju se gledati posljednje dvije cifre (npr. 316: 16 : 4 = 4, pa je djeljivo).

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Kriteriji za 2, 5 i 10

Primjer 1

Ispitaj djeljivost broja 340 sa 2, 5 i 10.

Posljednja cifra: 0Za ova tri kriterija gledaj samo posljednju cifru.

340 jeste djeljiv sa 2Djeljivost sa 2 prepoznaješ po parnoj posljednjoj cifri.

340 jeste djeljiv sa 5Posljednja cifra mora biti 0 ili 5.

340 jeste djeljiv sa 10Posljednja cifra mora biti 0.

Primjer 2

Ispitaj djeljivost broja 725 sa 2, 5 i 10.

Posljednja cifra: 5Za ova tri kriterija gledaj samo posljednju cifru.

725 nije djeljiv sa 2Djeljivost sa 2 prepoznaješ po parnoj posljednjoj cifri.

725 jeste djeljiv sa 5Posljednja cifra mora biti 0 ili 5.

725 nije djeljiv sa 10Posljednja cifra mora biti 0.

Primjer 3

Ispitaj djeljivost broja 418 sa 2, 5 i 10.

Posljednja cifra: 8Za ova tri kriterija gledaj samo posljednju cifru.

418 jeste djeljiv sa 2Djeljivost sa 2 prepoznaješ po parnoj posljednjoj cifri.

418 nije djeljiv sa 5Posljednja cifra mora biti 0 ili 5.

418 nije djeljiv sa 10Posljednja cifra mora biti 0.

Kriteriji za 3 i 9

Primjer 1

Ispitaj broj 234 po kriterijima za 3 i 9.

2 + 3 + 4=9Saberi cifre broja.

9 : 3 nema ostatkaZato broj 234 jeste djeljiv sa 3.

9 : 9 nema ostatkaZato broj 234 jeste djeljiv sa 9.

Primjer 2

Ispitaj broj 513 po kriterijima za 3 i 9.

5 + 1 + 3=9Saberi cifre broja.

9 : 3 nema ostatkaZato broj 513 jeste djeljiv sa 3.

9 : 9 nema ostatkaZato broj 513 jeste djeljiv sa 9.

Primjer 3

Ispitaj broj 421 po kriterijima za 3 i 9.

4 + 2 + 1=7Saberi cifre broja.

7 : 3 ima ostatakZato broj 421 nije djeljiv sa 3.

7 : 9 ima ostatakZato broj 421 nije djeljiv sa 9.

Kriterij za 4

Primjer 1

Je li broj 1324 djeljiv sa 4?

Posljednje dvije cifre: 24Posmatraj broj koji čine posljednje dvije cifre.

24=4 · 6 + 0Izračunaj ostatak pri dijeljenju sa 4.

1324 jeste djeljiv sa 4Cijeli broj je djeljiv sa 4 tačno kada je ostatak jednak nuli.

Primjer 2

Je li broj 2718 djeljiv sa 4?

Posljednje dvije cifre: 18Posmatraj broj koji čine posljednje dvije cifre.

18=4 · 4 + 2Izračunaj ostatak pri dijeljenju sa 4.

2718 nije djeljiv sa 4Cijeli broj je djeljiv sa 4 tačno kada je ostatak jednak nuli.

Primjer 3

Je li broj 5600 djeljiv sa 4?

Posljednje dvije cifre: 00Posmatraj broj koji čine posljednje dvije cifre.

0=4 · 0 + 0Izračunaj ostatak pri dijeljenju sa 4.

5600 jeste djeljiv sa 4Cijeli broj je djeljiv sa 4 tačno kada je ostatak jednak nuli.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koji od brojeva je djeljiv sa 5?

2. Koji od brojeva je djeljiv sa 3?

3. Koji od brojeva je djeljiv sa 9?

4. Koji od brojeva je djeljiv i sa 2 i sa 5 (dakle i sa 10)?

5. Je li broj 2 340 djeljiv sa 3?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 6. razred, štampana str. 28. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.