Jednačine s pozitivnim razlomcima i decimalnim brojevima

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

sastaviti jednačinu iz jednostavne priče
riješiti sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje s nepoznatom
provjeriti rješenje i pripadnost skupu pozitivnih racionalnih brojeva

1. Razumij pojam

Jednačina je jednakost s nepoznatim brojem. Riješiti je znači naći sve dozvoljene vrijednosti koje daju tačnu jednakost. U ovoj lekciji rješenja tražimo u Q⁺, skupu pozitivnih racionalnih brojeva. Brojevi 1/2, 3 i 2,75 pripadaju Q⁺; nula i negativni brojevi ne pripadaju tom skupu. Svaki prirodan broj je pozitivan racionalan broj jer je n = n/1.

Koristi vezu suprotnih operacija: x + a = b daje x = b − a; x − a = b daje x = b + a; a − x = b daje x = a − b. Primjer: 3,2 − x = 1,5 znači x = 3,2 − 1,5 = 1,7. Za provjeru vrati broj na mjesto x.

2. Poveži i objasni

Za a · x = b ili x · a = b, gdje a nije nula, rješenje je x = b : a. Za x : a = b dobijaš x = a · b. Za a : x = b, uz x ≠ 0 i b ≠ 0, dobijaš x = a : b. Položaj nepoznate mijenja postupak: 6 : x = 3 ne rješava se jednako kao x : 6 = 3.

Izraz sa zagradom prvo posmatraj kao jednu cjelinu. Ako je (x + 1/4) · 2 = 3, podijeli sa 2: x + 1/4 = 3/2. Zatim oduzmi 1/4: x = 6/4 − 1/4 = 5/4. Rezultat je pozitivan racionalan broj, pa je dozvoljen.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Pokušaj x (broj četvrtina)

4. Riješi korak po korak

x − 1,25=2,5Iz kanistera je izliveno 1,25 litara. Ostalo je 2,5 litara. Početnu količinu označi x: x − 1,25 = 2,5.

x=2,5 + 1,25Nepoznati umanjenik dobijaš sabiranjem razlike i umanjioca: x = 2,5 + 1,25.

x=3,75Računaj s poravnatom decimalnom zarezom: x = 3,75 litara.

3,75 − 1,25=2,50Provjeri: 3,75 − 1,25 = 2,50. Rješenje je u Q⁺ i veće je od preostale količine, što ima smisla.

5. Primijeni znanje

Primjer: Razlomljena jednačina (3/4) : x = 3/2 daje x = (3/4) : (3/2) = (3/4) · (2/3) = 1/2. Provjera: (3/4) : (1/2) = 3/2. Za x + 2 = 1 račun daje x = −1, ali to nije u Q⁺, pa ova jednačina u zadanom skupu nema rješenja.

6. Vježbaj i obrazloži

Riješi u Q⁺: 4 − x = 1,5; 3x = 9/4; x : 0,4 = 2,5. Za svaku jednačinu zapiši provjeru.

Provjeri

x = 2,5 jer 4 − 2,5 = 1,5; x = 3/4 jer 3 · 3/4 = 9/4; x = 1 jer 1 : 0,4 = 2,5. Sva rješenja su pozitivna i racionalna.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

U a − x = b ne piši x = b − a.
Provjeri da imenilac ili djelilac nije nula.
Tačan račun ne znači dozvoljeno rješenje: provjeri zadani skup.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Nepoznati sabirak ili umanjenik

Primjer 1

Riješi x + 14 = 56.

x=56 − 14Od obje strane oduzmi poznati sabirak.

x=712Svedi na zajednički imenilac i izračunaj.

712 + 14=56Uvrsti rješenje u početnu jednačinu.

Primjer 2

Riješi x + 25 = 910.

x=910 − 25Od obje strane oduzmi poznati sabirak.

x=12Svedi na zajednički imenilac i izračunaj.

12 + 25=910Uvrsti rješenje u početnu jednačinu.

Primjer 3

Riješi x + 13 = 78.

x=78 − 13Od obje strane oduzmi poznati sabirak.

x=1324Svedi na zajednički imenilac i izračunaj.

1324 + 13=78Uvrsti rješenje u početnu jednačinu.

Nepoznati faktor

Primjer 1

Riješi (23) · x = 56.

x=56 : 23Obje strane podijeli nenultim koeficijentom uz x.

x = 56 · 32 = 54Dijeljenje zamijeni množenjem recipročnim razlomkom.

23 · 54=56Provjeri početnu jednakost.

Primjer 2

Riješi (34) · x = 98.

x=98 : 34Obje strane podijeli nenultim koeficijentom uz x.

x = 98 · 43 = 32Dijeljenje zamijeni množenjem recipročnim razlomkom.

34 · 32=98Provjeri početnu jednakost.

Primjer 3

Riješi (57) · x = 1021.

x=1021 : 57Obje strane podijeli nenultim koeficijentom uz x.

x = 1021 · 75 = 23Dijeljenje zamijeni množenjem recipročnim razlomkom.

57 · 23=1021Provjeri početnu jednakost.

8. Provjeri znanje

1. Riješi x + 3/4 = 5/4.

2. Riješi 2,4 : x = 3.

3. Ima li x + 4 = 2 rješenje u Q⁺?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 6. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 29. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.