Obim i površina mnogougla

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

izračunati obim mnogougla kao zbir dužina stranica,
izračunati površinu trougla formulom P = a·h / 2,
izračunati površinu pravougaonika i paralelograma,
izračunati površinu trapeza formulom P = (a+b)/2 · h.

Prije nego počneš

Pripremi ravnalo, šestar i uglomjer. Razlikuj duž od prave i obim od površine. Na crtežu prvo označi poznate podatke.

1. Obim mnogougla

Obim svakog mnogougla je zbir dužina svih njegovih stranica. Za pravougaonik sa stranicama a i b vrijedi O = 2(a + b). Za kvadrat sa stranicom a vrijedi O = 4a.

Primjer iz života: Školsko igralište ima oblik pravougaonika sa stranicama 25 m i 15 m. Obim igrališta (ograda oko njega) je O = 2(25 + 15) = 2 · 40 = 80 m. Toliko metara pretrčiš ako jednom optrčiš cijelo igralište!

2. Površina trougla

Površina trougla računa se preko jedne stranice (osnovice a) i visine h koja na nju pada:

P = (a · h) / 2

Primjer: Trougao ima osnovicu a = 8 cm i visinu h = 5 cm. P = (8 · 5) / 2 = 40 / 2 = 20 cm².

3. Površina pravougaonika i paralelograma

Površina pravougaonika je proizvod njegovih stranica, a površina paralelograma je proizvod osnovice i visine koja na nju pada:

P(pravougaonik) = a · b • P(paralelogram) = a · h

Primjer: Paralelogram ima osnovicu a = 10 cm i visinu h = 6 cm. P = 10 · 6 = 60 cm².

4. Površina trapeza

Trapez ima dvije paralelne stranice — osnovice a (duža) i b (kraća) — i visinu h. Površina trapeza je proizvod srednje linije (polovine zbira osnovica) i visine:

P = ((a + b) / 2) · h

Primjer: Trapez ima osnovice a = 10 cm, b = 6 cm i visinu h = 4 cm. P = ((10 + 6) / 2) · 4 = 8 · 4 = 32 cm².

5. Vizual: izračunaj površinu trapeza

📏 Kalkulator površine trapeza

Pomjeri klizače za osnovice a i b te visinu h — slika trapeza se odmah mijenja, a ispod vidiš postupak i površinu. Dugme "Slučajan trapez" animirano mijenja oblik.

a (duža osnovica): 10 cm b (kraća osnovica): 6 cm h (visina): 4 cm

P = ((10+6)/2) · 4 = 32 cm²

Srednja linija (10+6)/2 = 8 cm, pomnožena visinom 4 cm.

6. Primjer korak po korak: površina trapeza a = 12 cm, b = 8 cm, h = 5 cm

P=(a + b) · h : 2Zapiši formulu. P = ((a + b) / 2) · h.

a + b = 12 + 8 = 20Saberi osnovice. a + b = 12 + 8 = 20.

20 : 2=10 cmPodijeli sa 2 (srednja linija). 20 / 2 = 10 cm.

10 · 5=50Pomnoži sa visinom. 10 · 5 = 50.

P=50 cm²Zapiši rješenje sa jedinicom. P = 50 cm².

Primjer: Pravougli trougao ima katete 6 cm i 8 cm (one su ujedno osnovica i visina). P = (6 · 8) / 2 = 48 / 2 = 24 cm².

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno dijeljenje sa 2 kod trougla: P = a·h, ali formula je a·h / 2 — polovina pravougaonika iste osnovice i visine.
Kod paralelograma korištena kosa stranica umjesto visine: u P = a·h mora se koristiti PRAVA visina (okomita na osnovicu), ne kosa stranica.
Kod trapeza zaboravljeno sabrati obje osnovice: formula koristi ZBIR a + b, podijeljen sa 2, a ne samo jednu osnovicu.
Zaboravljena jedinica mjere na kvadrat: površina se uvijek izražava u cm², m² i sl., ne u cm ili m.

Površina složene figure iz poznatih dijelova

Nepravilan oblik podijeli na figure čije formule znaš. Dijelovi se ne smiju preklapati niti ostaviti prazninu. Možeš i od većeg pravougaonika oduzeti izrez. Za obim prati samo vanjski rub: pomoćna linija kojom dijeliš figuru nije dio obima.

Površina složene figure i jedinice — korak po korak

Primjer 1

Iz ugla pravougaonika 8 m × 6 m izrezan je pravougaonik 3 m × 2 m. Nađi površinu preostalog vrta.

P₁ = 8 · 6 = 48 m²Prvo izračunaj cijelu površinu prije izrezivanja.

P₂ = 3 · 2 = 6 m²Izrez je pravougaonik: računaj njegovu površinu.

P = 48 − 6 = 42 m²Oduzmi dio koji ne pripada vrtu. Rezultat mora biti manji od 48 m².

Primjer 2

Pročelje čine pravougaonik širine 6 m i visine 4 m i trougaoni krov iznad njega, iste osnovice 6 m i visine 2 m. Nađi ukupnu površinu.

P₁ = 6 · 4 = 24 m²Pravougaonik i trougao imaju zajedničku duž, ali se njihove unutrašnjosti ne preklapaju.

P₂ = 6 · 2 : 2 = 6 m²Visina krova je okomita na osnovicu, a ne dužina kosog ruba.

P = 24 + 6 = 30 m²Saberi površine dijelova, ne njihove obime.

Primjer 3

Pravougaona naljepnica je 20 cm × 1 dm. Iz nje je izrezan pravougli trougao kateta 6 cm i 5 cm. Kolika površina ostaje?

1 dm = 10 cmPrije računanja sve dužine pretvori u istu jedinicu.

P₁ = 20 · 10 = 200 cm²Izračunaj površinu cijele naljepnice.

P₂ = 6 · 5 : 2 = 15 cm²Katete su međusobno okomite pa služe kao osnovica i visina.

P = 200 − 15 = 185 cm²Oduzmi izrezanu površinu i zapiši kvadratnu jedinicu.

Pokušaj samostalno

Iz pravougaonika 10 cm × 7 cm izrezan je ugaoni pravougaonik 4 cm × 3 cm. Nacrtaj skicu i odredi preostalu površinu. Zatim pročelje širine 8 m sastavljeno od pravougaonika visine 3 m i krova visine 2 m podijeli na dva poznata dijela.

Provjeri i obrazloži

Prva površina je 10 · 7 − 4 · 3 = 70 − 12 = 58 cm². Druga je 8 · 3 + 8 · 2 : 2 = 24 + 8 = 32 m². Zajednička osnovica krova i zida nije dio vanjskog obima pročelja.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Obim pravilnog mnogougla

Primjer 1

Pravilni 5-ugao ima stranicu 4 cm. Nađi obim.

O=n · aSve stranice pravilnog mnogougla su jednake.

O=5 · 4Pomnoži broj stranica njihovom dužinom.

O=20 cmObim izrazi jedinicom dužine.

Primjer 2

Pravilni 6-ugao ima stranicu 7 cm. Nađi obim.

O=n · aSve stranice pravilnog mnogougla su jednake.

O=6 · 7Pomnoži broj stranica njihovom dužinom.

O=42 cmObim izrazi jedinicom dužine.

Primjer 3

Pravilni 8-ugao ima stranicu 3 cm. Nađi obim.

O=n · aSve stranice pravilnog mnogougla su jednake.

O=8 · 3Pomnoži broj stranica njihovom dužinom.

O=24 cmObim izrazi jedinicom dužine.

Površina trougla

Primjer 1

Osnovica trougla je 8 cm, a odgovarajuća visina 5 cm. Izračunaj površinu.

P=a · h : 2Visina mora odgovarati izabranoj osnovici.

P=8 · 5 : 2Uvrsti podatke.

P=20 cm²Trougao zauzima polovinu odgovarajućeg paralelograma.

Primjer 2

Osnovica trougla je 10 cm, a odgovarajuća visina 7 cm. Izračunaj površinu.

P=a · h : 2Visina mora odgovarati izabranoj osnovici.

P=10 · 7 : 2Uvrsti podatke.

P=35 cm²Trougao zauzima polovinu odgovarajućeg paralelograma.

Primjer 3

Osnovica trougla je 12 cm, a odgovarajuća visina 9 cm. Izračunaj površinu.

P=a · h : 2Visina mora odgovarati izabranoj osnovici.

P=12 · 9 : 2Uvrsti podatke.

P=54 cm²Trougao zauzima polovinu odgovarajućeg paralelograma.

Površina pravougaonika i paralelograma

Primjer 1

Pravougaonik ima osnovicu 8 cm i širinu 3 cm. Nađi površinu.

P=a · hPomnoži osnovicu odgovarajućom visinom.

P=8 · 3Kod pravougaonika susjedna stranica ujedno je visina.

P=24 cm²Dopiši kvadratnu jedinicu.

Primjer 2

Paralelogram ima osnovicu 7 cm i odgovarajuću visinu 6 cm. Nađi površinu.

P=a · hPomnoži osnovicu odgovarajućom visinom.

P=7 · 6Kod pravougaonika susjedna stranica ujedno je visina.

P=42 cm²Dopiši kvadratnu jedinicu.

Primjer 3

Paralelogram ima osnovicu 11 cm i odgovarajuću visinu 4 cm. Nađi površinu.

P=a · hPomnoži osnovicu odgovarajućom visinom.

P=11 · 4Kod pravougaonika susjedna stranica ujedno je visina.

P=44 cm²Dopiši kvadratnu jedinicu.

Površina trapeza

Primjer 1

Osnovice trapeza su 8 cm i 4 cm, a visina 3 cm. Nađi površinu.

P=(a + b) · h : 2Saberi paralelne osnovice, pa koristi visinu između njih.

P=(8 + 4) · 3 : 2Uvrsti podatke.

P = 12 · 3 : 2 = 18 cm²Površinu izrazi u cm².

Primjer 2

Osnovice trapeza su 14 cm i 8 cm, a visina 5 cm. Nađi površinu.

P=(a + b) · h : 2Saberi paralelne osnovice, pa koristi visinu između njih.

P=(14 + 8) · 5 : 2Uvrsti podatke.

P = 22 · 5 : 2 = 55 cm²Površinu izrazi u cm².

Primjer 3

Osnovice trapeza su 17 cm i 9 cm, a visina 4 cm. Nađi površinu.

P=(a + b) · h : 2Saberi paralelne osnovice, pa koristi visinu između njih.

P=(17 + 9) · 4 : 2Uvrsti podatke.

P = 26 · 4 : 2 = 52 cm²Površinu izrazi u cm².

Kviz — provjeri sebe

1. Trougao ima osnovicu 10 cm i visinu 6 cm. Kolika je njegova površina?

2. Paralelogram ima osnovicu 9 cm i visinu 4 cm. Kolika je njegova površina?

3. Trapez ima osnovice 14 cm i 6 cm te visinu 5 cm. Kolika je njegova površina?

4. Koliki je obim pravougaonika sa stranicama 7 cm i 5 cm?

Provjeri i objasni rezultat

Provjeri jesi li kao visinu koristio okomitu udaljenost do osnovice i jesu li sve dužine u istoj jedinici. Obim zapisuj u jedinicama dužine, a površinu u kvadratnim jedinicama. Kod pravilnog mnogougla provjeri da koristiš jednakost svih stranica i uglova; rastavljanjem na trouglove nezavisno provjeri zbir uglova.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 34. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.